Fungsi gamma

Fungsi gamma pada sumbu real.

Di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks. Yaitu, jika n adalah bilangan bulat positif, maka:

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t.$

Fungsi integral ini diperluas oleh kekontinuan analitik terhadap semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak-positif (di mana fungsi ini memiliki kutub-kutub yang sederhana), menghasilkan fungsi meromorfik yang kita sebut fungsi gamma.

Fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang, dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika, serta kombinatorika.

Motivasi

Secara grafis, mudah untuk menginterpolasi fungsi faktorial ke nilai-nilai yang bukan bilangan bulat, tetapi adakah rumus yang menjelaskan kurva yang dihasilkan?

Fungsi gamma dapat dipandang sebagai solusi bagi persoalan interpolasi berikut ini:

"Tentukanlah sebuah kurva mulus yang menghubungkan titik-titik (x, y) yang diberikan oleh y = (x − 1)! pada nilai-nilai bilangan bulat positif untuk x."

Plot beberapa faktorial pertama memperjelas bahwa kurva tersebut dapat dilukis, tetapi akan lebih baik jika diketahui sebuah rumus yang secara tepat menggambarkan kurva tersebut, di mana banyaknya operasi tidak bergantung kepada ukuran  x. Rumus sederhana untuk faktorial, n! = 1 × 2 × … × n, tidak dapat digunakan secara langsung untuk nilai-nilai pecahan x karena ia hanya akan sahih ketika x merupakan bilangan asli (yakni, bilangan bulat positif). Tidak terdapat solusi sederhana untuk faktorial; sembarang paduan perjumlahan, perkalian, perpangkatan, fungsi eksponensial, atau logaritma dengan sebuah bilangan tetap dari suku-suku yang terlibat tidak akan cukup untuk menyatakan x!. Hampiran Stirling secara asimtotik sama dengan fungsi faktorial untuk nilai x yang cukup besar. Adalah dimungkinkan untuk menentukan rumus umum faktorial dengan menggunakan alat seperti integral dan limit dari kalkulus. Solusi yang baik untuk masalah ini adalah fungsi gamma.

Terdapat tak-hingga banyaknya perluasan kontinu faktorial ke bilangan-bilangan takbulat: terdapat tak-hingga banyaknya kurva yang dapat dilukis melalui sembarang himpunan titik-titik yang terkucil. Fungsi gamma adalah solusi yang paling praktis, bersifat analitik (kecuali untuk bilangan bulat tak-positif), dan fungsi gamma dapat dikarakterisasi dalam beberapa cara. Meskipun demikian, fungsi gamma bukanlah satu-satunya fungsi analitik yang memperluas faktorial, karena jika dilakukan penambahan suatu fungsi analitik yakni nol pada bilangan bulat positif akan memberi fungsi lain dengan sifat itu.

${\begin{aligned}f(1)&=1\,{\text{, dan}}\\f(x+1)&=xf(x)\,,\end{aligned}}$

untuk x yang sama dengan bilangan real positif. Teorema Bohr–Mollerup membuktikan bahwa sifat-sifat ini, bersama-sama dengan asumsi bahwa f konveks logaritmik (alias: "superkonveks"), menentukan f secara unik untuk input bilangan real positif. Dari sana, fungsi gamma dapat diperluas ke nilai-nilai real dan kompleks (kecuali bilangan bulat negatif dan nol) dengan menggunakan kekontinuan analitik f yang unik.

Definisi

Definisi utama

Versi fungsi gamma yang diperluas di dalam bidang kompleks.

Notasi Γ(z) digunakan atas jasa Legendre. Jika bagian real bilangan kompleks z adalah positif (Re(z) > 0), maka integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t$

konvergen mutlak, dan dikenal sebagai Integral Euler jenis kedua (Integral Euler jenis pertama mendefinisikan fungsi Beta). Dengan menggunakan integrasi parsial, akan diketahui bahwa fungsi gamma memenuhi persamaan fungsional:

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).$

Pemaduan ini dengan Γ(1) = 1, menghasilkan:

$\Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\dots (n-1)=(n-1)!\,$

untuk setiap bilangan bulat positif n.

Identitas Γ(z) = Γ(z+1) / z dapat digunakan (atau kekontinuan analitik dapat digunakan, juga memberikan hasil yang sama) untuk memperluas perumusan integral bagi Γ(z) ke suatu fungsi meromorfik yang terdefinisi untuk setiap bilangan kompleks z, kecuali z = −n untuk bilangan bulat n ≥ 0, di mana fungsi memiliki kutub-kutub sederhana dengan residu (−1)ⁿ/n!.

Inilah versi yang diperluas yang biasa disebut sebagai fungsi gamma.

Definisi alternatif

Definisi-definisi perkalian takhingga untuk fungsi gamma, masing-masing oleh Euler dan Weierstrass, adalah sahih untuk setiap bilangan kompleks z, kecuali bilangan bulat tak-positif:

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\end{aligned}}$

di mana $\gamma \approx 0.577216$ merupakan konstanta Euler–Mascheroni. Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa definisi Euler memenuhi persamaan fungsional (1) di atas.

Sebuah parametrisasi fungsi gamma diberikan dalam suku-suku polinom Laguerre yang diperumum,

$\Gamma (z)=t^{z}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}\,,$ yang konvergen ke  Re(z) < 1/2.

Dalam cara yang berbeda, dapat ditunjukkan bahwa

${\begin{aligned}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/(z-1)}}\,dt\,,\end{aligned}}$

dengan bagian real z lebih besar daripada 1.

Kepustakaan

• Milton Abramowitz dan Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Lihat Bab 6) Diarsipkan 2009-02-17 di Wayback Machine.
• G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-78988-2. Bab Satu, membahas fungsi beta dan gamma, cukup definitif dan ramah-pembaca.
• Emil Artin, "The Gamma Function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
• Askey, R. A.; Roy, R. (2010), "Fungsi gamma", dalam Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 
• Birkhoff, George D. (1913). "Note on the gamma function". Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1): 1–10. MR 1559418. 
• P. E. Böhmer, ´´Differenzengleichungen und bestimmte Integrale´´, Köhler Verlag, Leipzig, 1939.
• James D. Bonnar, The Gamma Function. CreateSpace Publishing, Seattle, 2010. ISBN 978-1-4636-9429-6. Sebuah buku yang cermat dan sistematis yang sepenuhnya membahas fungsi gamma.
• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," American Mathematical Monthly 66, 849-869 (1959)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.1. Gamma Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (edisi ke-3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-10-27, diakses tanggal 2013-02-05 
• O. R. Rocktaeschel, ´´Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument``, University of Dresden, Dresden, 1922.
• Nico M. Temme, "Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics", John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-11313-1,1996.
• E. T. Whittaker dan G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; cetak-ulang 1996) ISBN 978-0-521-58807-2

Pranala luar

• Pascal Sebah dan Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. Di dalam format PostScript Diarsipkan 2012-02-04 di Wayback Machine. dan HTML Diarsipkan 2012-02-04 di Wayback Machine..
• Referensi C++ untuk std::tgamma Diarsipkan 2012-03-02 di Wayback Machine.
• Contoh-contoh soal yang melibatkan fungsi gamma dapat ditemukan di Exampleproblems.com Diarsipkan 2016-10-02 di Wayback Machine..
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Gamma function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Penilai fungsi gamma Wolfram (ketelitian sembarang) Diarsipkan 2019-10-28 di Wayback Machine.
• Gamma Diarsipkan 2023-05-23 di Wayback Machine. di Situs Fungsi Wolfram
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function Diarsipkan 2012-03-05 di Wayback Machine. di MathPages
• Weisstein, Eric W., "Gamma Function Diarsipkan 2017-07-06 di Wayback Machine." dari MathWorld.
• "Elementary Proofs and Derivations" Diarsipkan 2023-07-26 di Wayback Machine.
• "Selected Transformations, Identities, and Special Values for the Gamma Function" Diarsipkan 2023-07-26 di Wayback Machine.
• Artikel ini memuat bahan-bahan dari artikel Citizendium yang berjudul "Gamma function", yang berlisensi di bawah Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, tetapi tidak di bawah GFDL.