Pembagi

Pembagi bilangan 10 diilustrasikan dengan Cuisenaire rods: 1, 2, 5, dan 10

Dalam ilmu matematika, pembagi (bahasa Inggris: divisor) atau faktor (bahasa Inggris: factor) dari suatu bilangan bulat $n$ adalah suatu bilangan bulat $m$ yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan $n$, sehingga $n$ merupakan hasil perkalian $m$. Dalam kasus tersebut, $n$ habis dibagi dengan $m$ jika $m$ merupakan pembagi dari $n$, sehingga $n$ dibagi $m$ tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

Definisi

Suatu bilangan bulat $n$ habis dibagi oleh bilangan bulat taknol $m$ jika terdapat bilangan bulat $k$ yang memenuhi $n=km$. Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

$m\mid n$

Notasi tersebut dapat dibaca: $m$ membagi $n,$ $m$ adalah pembagi $n,$ $m$ adalah faktor dari $n,$ atau $n$ adalah hasil perkalian $m.$ Jika $m$ tidak membagi $n$, maka notasinya adalah $m\not \mid n.$

Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk $m$:

• Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk $m$, $m\mid 0$ untuk setiap bilangan bulat $m$.
• Jika ekspresi tersebut mensyaratkan $m$ bukan bilangan nol, $m\mid 0$ untuk setiap bilangan bulat taknol $m$.

Pengertian umum

Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.

1, −1, $n$ dan $-n$ disebut pembagi trivial dari $n$, sedangkan pembagi $n$ yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial. Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.

Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

Contoh

Plot bilangan pembagi bilangan bulat dari 1 sampai 1000. Bilangan prima mempunyai tepat dua pembagi, dan bilangan yang sangat komposit dalam huruf tebal.

• 7 adalah pembagi dari 42 karena $7\times 6=42$, sehingga dapat dikatakan $7\mid 42$. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
• Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
• Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• $5\mid 0$, karena $5\times 0=0$.
• Himpunan semua faktor 60, $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$, yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:

Pembahasan lanjutan

Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

• Jika $a\mid b$ dan $b\mid c$, maka $a\mid c$. Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
• Jika $a\mid b$ dan $b\mid a$, maka $a=b$ atau $a=-b.$
• Jika $a\mid b$ dan $a\mid c,$ maka $a\mid (b+c)$ berlaku, seperti halnya $a\mid (b-c).$ Namun, jika $a\mid b$ dan $c\mid b,$ maka $(a+c)\mid b$ tidak selalu berlaku (misalnya, $2\mid 6$ dan $3\mid 6$, tapi $5\not \mid 6.$).

Jika $a\mid bc$ dan $\gcd(a,b)=1$, maka $a\mid c$. Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.

Jika $p$ merupakan bilangan prima dan $p\mid ab$, maka $p\mid a$ atau $p\mid b.$

Bilangan pembagi postif $n$ yang tidak sama dengan $n$ disebut pembagi sejati atau bagian alikuot dari $n$ (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi $n$ melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut bagian alikuan dari $n$.

Bilangan bulat $n>1$ yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan $n$ merupakan hasil kali atas bilangan faktor prima dari $n$ yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.

Bilangan $n$ merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari $n,$ atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari $n.$

Lihat pula

• Fungsi aritmetik
• Kaidah divisibilitas
• Fungsi pembagi
• Algoritme Euclid
• Pecahan
• Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
• Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000

Pustaka

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7. 
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1 
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9