Մակերևույթ

Մակերևույթ, երկրաչափություն և երկկողմանի տոպոլոգիական բազմազանություն։

Մակերևույթների ամենահայտնի օրինակները երկրաչափական մարմինների սահմաններն են, սովորական եռաչափ էվկլիդիայի տարածքում։ Մյուս կողմից, գոյություն ունեն մարմիններ (օրինակ, Կլայնի շիշը), որոնք հնարավոր չէ տեղադրել եռաչափ էվկլիդիայի տարածության մեջ` առանց ներգրավելով եզակի կետի ֆունկցիայով կամ էլ սեփական հատման կետի։ Մակերեւույթի «երկչափություն» նշանակում է դրա վրա կոորդինատային համակարգի մեթոդների կիրառում, սկակայն ոչ բոլոր կետերի համար։ Այսպիսով Երկրի մակերեսը (իդեալական) երկկողմանի գունդ է, յուրաքանչյուր կետի լայնությունը և երկայնությունը նրա կոորդինատներն են (բացառությամբ բևեռների և 180-րդ միջօրեականի)։ Մակերեսի հասկացությունը կիրառվում է ֆիզիկայի, ճարտարագիտության, համակարգչային գրաֆիկայի և ֆիզիկական օբյեկտների ուսումնասիրման այլ բնագավառներում։ Օրինակ, ինքնաթիռի աերոդինամիկական հատկությունների վերլուծությունը հիմնված է իր մակերևույթի շուրջ օդային հոսքի վրա։

Խնդրի ձևերը

Մակերեսը սահմանվում է որպես բազմաթիվ կետեր, որոնց կոորդինատները բավարարում են որոշակի տեսակի հավասարումների`

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Եթե որոշ կետերում $F(x,\,y,\,z)$ ֆունկցիան անընդհատ է և շարունակական մասնիկի ածանցյալներ, որոնցից առնվազն մեկը չի զրոյանում, ապա այդ կետի մոտակայքում մակերեսը (1) հասավասարումում, կլինի կանոնավոր մակերևույթ։ Բացի վերը նշվածից անուղղակի խնդրի լուծման ձևից, մակերեսը որոշվում է ուղղակի, եթե փոփոխականներից մեկը՝ օրինակ z-ը, կարելի է արտահայտել մյուսներով՝

z=f(x,y)\qquad (1')

Կա նաև խնդրի պարամետրային լուծում։ Այս դեպքում մակերեսը հաշվվում է հավասարումների համակարգով`

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\qquad (1'')

Պարզ մակերևույթի հասկացություն

Ինտուիտիվ կերպով պարզ մակերեսը կարելի է պատկերացնել ինչպես հարթության մի կտոր, ենթարկված անընդհատ դեֆորմացված (ձգավծ, սեղմված և ճգված)։

Ավելի որոշակի` պարզ մակերևույթը կոչվում է պատկերի հոմեոմորֆիզմ արտացոլումը (այսինքն փոխադարձ համարժեք և փոխադարձ չընդատվող արտացոլումը) քառակուսու մեջ միավորվող։ Այս սահմանումը կարող է տրվել անալիտիկ արտահայտմամբ։

Դիցուք հարթության վրա ուղղանկյուն համակարգով կոորդինատներ $u$ և $v$ տրված է քառակուսի, ներքին կետերի կոորդինատները, որոնք բավարարում են անհավասարություններին $0<u<1,0<v<1$ : Քառակուսու հոմեոմորֆային պատկերը տարածության մեջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգով $x,y,z$ տվում է բանաձևի միջոցով $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$ (մակերեսի պարամետրային սահմանում)։ Այս դեպքում ֆունկցիան $x(u,v),y(u,v)$ и $z(u,v)$ պահանջում է, այնպես որ նրանք անընդհատ են և նաև տարբեր կետերի համար $(u,v)$ և $(u',v')$ համապատասխանաբար լինեն տարբեր կետեր $(x,y,z)$ և $(x',y',z')$ ։

Պարզ մակերևույթի օրինակ է հանդիսանում կիսագունդը։ Ամեն դեպքում գունդը չի հանդիսանում պարզ մակերևույթ։ Սա պահանջում է մակերեսի հասկացության հետագա ընդհանրացում։

Տիեզերքի ենթաբազմությունը, որի յուրաքանչյուր կետ ունի միջակայք, հանդիսանում է պարզ մակերևույթ, կոչվում է ճիշտ մակերևույթ։

Դիֆերենցիալ երկրաչափական մակերևույթ

Դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ ուսումնասիրվող մակերևույթները սովորաբար ենթարկվում են պայմանների, կապված դիֆերենցիալ հաշվարկի մեթոդների կիրառման հնարավորության հետ։

Որպես կանոն, դրանք պայմաններ են կապված մակերևույթի ողորկության հետ, այսինքն `առանձին մակերեսի յուրաքանչյուր կետում գոյություն ունենի շոշոփող հարթություն, թեքություններ և այլն։

Այս պահանջներից բխում է, որ ֆունկցիաները, մակերևույթ սահմանող ֆունկցիաները, ենթադրվում է մեկ, երկու, երեք անգամներ և որոշ հարցերում անսահմանափակ անգամներ դիֆերենցիալ ֆունկցիաների կամ էլ նույնիսկ անալիտիկ ֆունկցիաներով։ Բացի այդ, օրինաչափության պայմանը պարտադիր է։

Տրված է անհայտով խնդիր՝ մակերևույթ, տրված է հավասարում $F(x,\,y,\,z)=0,\;F:\Omega \to \mathbb {R} ^{3}$ , հանդիսանում է հարթ մակերես, եթե $\exists P_{0}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}):\;F(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0$ , $F$ ֆունկցիան անընդհատ դիֆերենցիալ է իր տարածքում $\Omega$ որոշելու համար, և դրա մասնակի ածանցյալները միաժամանակ չեն վերանում (ճշգրտության պայման) $\Omega$ չի հավասարվում զրոյի։

\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}>0

Պարամետրային նշանակության խնդիր Սահմանենք մակերևույթը վեկտորային ֆունկցիայով $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)$ , կամ նույնը, երեք հավասարումներ համակարգով՝

\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&x(u,v)\\y&=&y(u,v)\\z&=&z(u,v)\end{array}}\right.\quad (u,\,v)\in \Omega

Այս հավասարումների համակարգը սահմանում է հարթ մակերեսը, եթե պահպանվել են պայմանները՝

համակարգը հաստատում է պատկերի և նախատիպի միջև մեկից-մեկ հաղորդումը $\Omega$
$x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ ֆունկցիան չընդհատվող դիֆերենցիալ է $\Omega$
պահպանվել է անհավասարության պայմանները

{\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}}^{2}>0

Երկրաչափական վերջին պայմանը նշանակում է, որ վեկտորները ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$ զուգահեռ չեն։

Պարամետրեր u, v կարելի է դիտել որպես մակերևույթի ներքին կետերի կոորդինատներ։ Ֆիքսելով կոորդինատներից մեկը, մենք ունենում են երկու օջախ կորերի կոորդինատներ, որոնք մակերևույթը ծածկում են կոորդինատային ցանցով։

Պարզ խնդիր։ $S$ մակերևույթը կարող է սահմանվել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ $z=f(x,y)$ ՝ երբ $S$ հանդիսանում է հարթ մակերևույթ, եթե $f$ ֆունկցիան դիֆերենցվում է։ Այս տարբերակը կարելի է դիտել որպես մասնավոր դեպք պարամետրային խնդիրներում՝ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$ ։

Շոշափողի գծի հարթություն

Մակերևույթի կետով տարված շոշոփող հարթություն

Շփվող հարթություն՝ հարթ մակերևույթի առումով՝ սա հարթություն է, որը ունի առավելագույն կարգի շփումը այս կետի մակերևույթի հետ։ Համարժեք տարբերակը սահմանվում է՝ շփվող հարթությունը դա հարթություն է, որը ներառում է շոշափող ուղիղներ, որոնք շփում են այդ կետով անցնող բոլոր ուղիղ կորերին։

Դիցուք հարթ կորը պարամետրային խնդրում տրված ՝ $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)$ ձևով՝

u=u(t);\ v=v(t)

.

Ուղղությամբ $\mathbf {v}$ կոր շփվողը դառում է վեկտոր՝

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}{\frac {dv}{dt}}

Այստեղից պարզ է դառնում, որ բոլոր շոշափողները հատվում են կորի նույն կետում, և գտնվում են միևնույն հարթության վրա՝ վեկտոր պարունակող ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$ , որը մենք վերևում նշել ենք, որ չեն հատվում։

Նույն կետի շոշափողի հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝ $\mathbf {r_{0}} =(x_{0},y_{0},z_{0})$

\left(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ,{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)=0\quad

(խառն արտադրյալով վեկտորներ).

Հավասարման մեջ շոշափողի կոորդինատները տարբեր խնդիրների համար ներկայացված են աղյուսակում՝

	Մակերևույթին տարված շոշափող հարթություն $(x_{0},y_{0},z_{0})$ կետում
ոչ բացահայտ խնդիր	${\frac {\partial F}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(y-y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(z-z_{0})=0$
բացահայտ խնդիր	${\frac {\partial f}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(y-y_{0})=(z-z_{0})$
պարամետրային խնդիր	${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x_{u}'&y_{u}'&z_{u}'\\x_{v}'&y_{v}'&z_{v}'\end{vmatrix}}=0$

Բոլոր ածանցյալները վերցվում է կետից՝ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ ։

Մետրական և ներքին երկրաչափություն

Կրկին քննարկենք հարթ կորը՝

u=u(t);\ v=v(t)

Նրա երկարության տարրը որոշվում է հարաբերակցությունից՝

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

,

որտեղ $E=\mathbf {r'_{u}} \mathbf {r'_{u}} ;\ F=\mathbf {r'_{u}} \mathbf {r'_{v}} ;\ G=\mathbf {r'_{v}} \mathbf {r'_{v}}$ .

Այս քառանկյուն ձևը կոչվում է առաջին քառակուսի ձև և իրենից ներկայացնում է երկակի ձևի մետրիկ մակերևույթ։ Կանոնավոր մակերևույթի համար դիսկրիմինանտ։ Մասնավորապես, հարթ մակերևույթում դեկարտյան կոորդինատները $u,\ v$ մետրիկայում ստացվում է $ds^{2}=du^{2}+dv^{2}$ (Պյութագորասի թեորեմ)։

Մետրիկան բացառապես չի որոշում մակերևույթի ձևը։ Օրինակ՝ հելեկոիդի և կատենոիդի մետրային չափումը, համապատասխան պարամետրերով, համընկնում է այսինքն նրանց միջև կա համապատասխան հեռավորություն պահպանելով ամբողջ երկարությունը (իզոմետրիա)։ Հատկություններ, որոնք պահվում են իզոմետրիկ փոփոխությունների ժամանակ, կոչվում են ներքին երկրաչափական մակերևույթ։ Ներքին երկրաչափական մակերևույթը կախված չէ տարածության մեջ մակերևույթի դիրքից և չի փոփոխվում նրա տարածքի մեջ թեքվելուց և սեղմվելուց (օրինակ, գլանը թեքվելիս կոն)^[1]։

Մետրային գործակիցները $E,\ F,\ G$ որոշում են ոչ միայն բոլոր կորերի երկարությունները, ինչպես նաև մակերևույթի ներսում բոլոր չափումների արդյունքները (անկյունները, մակերեսը, կորությունը և այլն)։ Հետևաբար այն ամենը ինչը կախված է մետրային չափումներից, վերագրվում են ներքին երկրաչափությանը։

Ուղղահայաց և կանոնավոր հատում

Մակերևույթի հիմնական հատկանիշներից մեկն է հանդիսանում նորմալը՝ միավոր վեկտորը, ուղղահայաց շոշափողի հարթությունը տրված կետում՝ շոշափողի հարթությունը տրված կետում՝ մակերևույթում որոշակի անկյուն $\theta$ ։ Այս դեպքում կորությունը $k$ կորը կապված է կորության հետ $k_{n}$ կանոնավոր հատումը (նույն շոշափողով) Մյոնի թեորեմն է։

k_{n}=\pm k\,\cos \,\theta

Մակերեսի որոշման տարբեր եղանակների համար նորմալի միջանկյալ կոորդինատները ներկայացված են աղյուսակում՝

	Կոորդինատների նորմալը մակերևույթի կետի վրա
ոչ բացահայտ խնդիր	${\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}$
բացահայտ խնդիր	${\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}$
պարամետրային խնդիր	${\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}$

Որտեղ ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$ .

Բոլոր ածանցյալները վերցված են հետևյալ կետից՝ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ .

Մակերես

Մակերևույթի կարևոր հատկանիշներից է նրա մակերեսը, որը հաշվարկվում է բանաձևով՝

S=\iint \,|[\mathbf {r} '_{u}\times \mathbf {r} '_{v}]|\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v

Որտեղ $\mathbf {r} '_{u}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right\},\ \mathbf {r} '_{v}=\left\{{\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right\}$ .

Կոորդինատներում ստանում ենք՝

	բացահայտ խնդիր	պարամետրային խնդիր
մակերեսի արտահայտման համար	$\iint \,{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\;\mathrm {d} \,x\,\mathrm {d} \,y$	$\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v$

Մակերևույթը տոպոլոգիայի մեջ

Կողմնորոշում

Մակերևույթի կարևոր առանձնահատկություն է նրա կողմնորոշումը։

Մակերևույթը կոչվում է երկկողմանի, եթե նա ամբողջ երկարությամբ ունի շարունակական նորմալ վեկտոր։ Հակառակ դեպքում մակերևույթը անվանում են միակողմանի։

Ուղղորդված կոչվում է երկկողմանի մակերևույթը ընտրված նորմալի ուղղությամբ։

Հետևաբար միակողմանի մակերևույթների օրինակներ են ոչ կողմնորոշված մակերևույթները՝ Կլայնի շիշը կամ Մյոբիուսի թերթը։

Տոպոլոգիական ձևի մակերևույթներ

Ըստ տոպոլոգիական կառուցվածքի, մակերևույթները լինում են ինպես երկակի, այնպես էլ բազմաձև։

Ընդհանրացում

Տեսության բազմաշերտ անալոգային տեսակների մասին, տես՝

Գրականություն

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — М.: Дрофа. — 570 с.
Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия. — 6-е издание. — М.: Наука, 1974.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — 3-е издание. — М.: ГИТТЛ, 1950.
«Մակերևույթ». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)

Ծանոթագրություններ

↑ Рашевский П. К., 1950, Глава 7

Արտաքին հղումներ

The Classification of Surfaces and the Jordan Curve Theorem

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Մակերևույթ» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 8, էջ 264)։

[Рашевский_П._К.—1950—Глава_7—-1] Рашевский П. К., 1950, Глава 7

[1]