Մաթեմատիկական օպտիմիզացիա

Պարաբոլոիդի գրաֆ, որն տրված է f(x, y) = −(x² + y²) + 4 ֆունկցիայով։ Ֆունկցիայի գլոբալ մաքսիմումը (0, 0, 4) կետում նշված է կարմիրով։

Մաթեմատիկական ծրագրավորում, մաթեմատիկայի կիրառական բաժիններից. ուսումնասիրում է օպտիմալացման խնդիրների որոշակի տեսակների առանձնահատկությունները, մշակում դրանց լուծման տեսական հիմունքներ և արդյունավետ հաշվողական մեթոդներ։ Օպտիմալ պլանավորման և կառավարման, ինչպես նաև ժողովրդական տնտեսության տարբեր բնագավառների մի շարք խնդիրներ մաթեմատիկորեն ձևակերպելիս բերվում են մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրներին։ Վերջիններս ձևակերպվում են հետևյալ կերպ՝ գտնել $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ փոփոխականների այնպիսի թվային արժեքներ, որոնք էքստրեմումի (մինիմումի կամ մաքսիմումի) հասցնեն $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ֆունկցիայի (կոչվում է նպատակային ֆունկցիա) արժեքը

$g_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\geqslant 0;i=1,2,...,m_{1}$ (1)

$g_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0;i=m_{1}+1,m_{1}+2,...,m$ (2)

սահմանափակումների առկայությամբ։ $n$-չափանի տարածության այն $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ կետը, որը բավարարում է (1) և (2) սահմանափակումներին, կոչվում է խնդրի պլան կամ թույլատրելի լուծում։ Այն պլանը, որի դեպքում $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ նպատակային ֆունկցիան ընդունում է իր էքստրեմալ արժեքը, կոչվում է օպտիմալ պլան կամ օպտիմալ լուծում։

Մաթեմատիկական ծրագրավորումն ունի մի շարք բաժիններ, որոնց զգալի մասն արդեն հասել են զարգացման բարձր մակարդակի և ձևավորվել որպես ինքնուրույն առարկաներ։ Այն խնդիրները, որոնցում $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ և $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ֆունկցիաները գծային են, ուսումնասիրում է գծային ծրագրավորման տեսությունը։ Վերջինս մաթեմատիկական ծրագրավորման առավել հանգամանորեն մշակված բաժինն է, որի ընդհանուր խնդրի և նրա առանձին մասնավոր տեսքերի համար մշակվել են մի շարք ճշգրիտ և մոտավոր մեթոդներ։ Ըստ այդմ էլ գծային ծրագրավորման շրջանակներում ստեղծվել են նոր ուղղություններ. պարամետրական ծրագրավորում (ուսումնասիրում է այնպիսի խնդիրներ, որոնցում սկզբնական տվյալները կամ նրանց մի մասը կախված են խնդրի անհայտների հետ կապ չունեցող պարամետրերից, ամբողջ-թվային (դիսկրետ կամ կոմբինատորային) ծրագրավորում (ուսումնասիրում է այնպիսի խնդիրներ, որոնցում փոփոխականների կամ նրանց մի մասի վրա դրվում է ամբողջ թիվ լինելու լրացուցիչ պայման), ստոխաստիկական ծրագրավորում (ուսումնասիրում է այնպիսի խնդիրներ, որոնցում սկզբնական տվյալները, ամբողջությամբ կամ մասնակիորեն, պատահական մեծություններ են) և այլն։

Այն խնդիրները, որոնցում $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ և $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ֆունկցիաներից գոնե մեկը գծային չէ, ուսումնասիրում է ոչ գծային ծրագրավորումը։ Վերջինս իր հերթին բաժանվում է ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ ծրագրավորման բաժինների։ Ուռուցիկ ծրագրավորումը ուսումնասիրում է այնպիսի խնդիրներ, որոնցում պահանջվում է գտնել ուռուցիկ բազմության վրա ուռուցիկ ֆունկցիայի առավելագույն (կամ գոգավոր ֆունկցիայի նվազագույն) արժեքը։

Ուռուցիկ ծրագրավորման խնդիրներն օժտված են այն հատկությամբ, որ յուրաքանչյուր տեղային (լոկալ) մաքսիմում միաժամանակ տվյալ բազմության վրա ֆունկցիայի ընդունած արժեքներից ամենամեծն է։ Ուռուցիկ ծրագրավորման ամենից հանգամանորեն մշակված բաժինը քառակուսային ծրագրավորումն է, որի շրջանակներում ուսումնասիրվող խնդիրների սահմանափակումները գծային են, իսկ նպատակային ֆունկցիան՝ քառակուսային։

Ոչ ուռուցիկ ծրագրավորման շըրջանակներում արդեն ձևավորվել է երկրաչափական ծրագրավորումը, որն ուսումնասիրում է այնպիսի խնդիրներ, որոնցում $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ և $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ֆունկցիաները դրական արժեքներ ընդունող որոշակի աստիճանային ֆունկցիաներ են։ Ներկայումս մշակված են երկրաչափական ծրագրավորման բավականաչափ լայն դասի խնդիրների լուծման մեթոդներ։

Մաթեմատիկական ծրագրավորման շատ խնդիրներ բազմափուլ են։ Նման խնդիրներն ուսումնասիրում է դինամիկական ծրագրավորումը, որի մեթոդները հնարավորություն են ընձեռում բավական մեծ ճշտությամբ լուծել հեռանկարային պլանավորման խնդիրներ։

Գրականություն

Հարությունյան Ա.Գ., Գծային ծրագրավորումը և նրա մի քանի կիրառությունները, Ե., 1967:

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 139)։