Csillagsokszög
Csillagsokszöget olyan zárt töröttvonal alkot a síkban, ami metszi saját magát. Emiatt a tulajdonsága miatt sokszor nem is tekintik sokszögnek. Vannak szabályos csillagsokszögek is; sokszor ezeket nevezik csillagsokszögnek, mert csak ezeket tanulmányozták részletesebben.
Szabályos csillagsokszög
A sík véges sok egymáshoz csatlakozó szakasza szabályos csillagsokszöget alkot, ha bármelyik szakasz alkalmas egybevágósággal bármelyik szakaszba átvihető úgy, hogy közben az egész alakzat önmagába megy át. A szabályos sokszögeket - bár e feltételt kielégítik - nem nevezzük csillagsokszögeknek. Ilyen csillagsokszöget alkot egy szabályos sokszög azon átlóinak összessége, amelyek a középponttól (zérustól különböző) egyenlő távolságra vannak. Általánosabb csillagsokszöget kapunk akkor, ha egy szabályos sokszög csúcsait - egyesek bizonyos szabály szerinti elhagyásával - az összes nem szomszédos többi csúccsal összekötjük.
Tulajdonságok
- Nem teljesül a többi síksokszögre vonatkozó szögösszegképlet; például a szabályos csillagötszög szögeinek összege nem lesz 540 fok (5*36=180).
- Egy adott oldalszámhoz több szabályos csillagsokszög is lehet; például kilenc oldalú szabályos sokszög minden második, vagy minden negyedik csúcsát összekötve szintén szabályos csillagkilencszöget kapunk. A csúcsok távolságának és az oldalszámnak relatív prímeknek kell lenniük. Ekkor a csillagsokszög Schläfli-szimbóluma a csúcsszám/csúcsok távolsága.
- Egyes matematikusok területet tulajdonítanak a csillagsokszögeknek. Ehhez a háromszögeléses módszert használják. Kijelölnek egy pontot a sokszögben, és összekötik a sokszög csúcsaival; ezzel kész a háromszögelés. Az így kapott háromszögek területét összeadják, ügyelve arra, hogy a sokszöggel ellentétes irányítású háromszögek területét negatívnak vegyék.
- Az előbbi területszámítás multiplicitással tekinti a csillagsokszög belsejét. Ezen kívül lehet a belsőt paritási alapon tekinteni. Ekkor a csillagötszög kétszer számolt belső ötszöge a sokszög külsejéhez tartozik, és így a terület is kisebb lesz.
- Azok, akik poliédereket modelleznek, a belső élek nélkül építik meg a csillagsokszög alakú lapokat.
Nem szabályos csillagsokszögek
Nem minden csillagsokszög szabályos. Nem szabályos, de körbe írható csillagsokszögek például egyes félig szabályos testek csúcsalakzatai. Ezt az egy csúcs körüli lapok sorrendje határozza meg, amiben lehetséges mind a visszafelé haladás, mind a többszörös körüljárás.[1]
Egy másik példa egy olyan hatszögű alakzat, amiben két konkáv deltoid fonódik össze.
Források
- ↑ H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954 (Tables 6-8)
- Matematikai kislexikon, Műszaki könyvkiadó
- Bizonyítások és cáfolatok
- A Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok cikke a csillagsokszögekről
- Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5.
- Grünbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
- Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)
- Csillagsokszögek és általánosításaik a MathWorldnél
- Csillagsokszögek - java applet
|
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |