Sokaság (matematika)

Klein-féle palack, amely egy kétdimenziós sokaság

A matematikában a sokaság egy olyan topologikus tér, amely lokálisan minden pontja körül egy Euklidészi térre hasonlít. Pontosabban megfogalmazva, egy $n$-dimenziós sokaság egy olyan topologikus tér, melyben minden pontnak van olyan környezete, amely homeomorf az $n$ dimenziós Euklidészi tér egy nyílt részhalmazához.

Egydimenziós sokaság például az egyenes, a kör, viszont nem tartozik a sokaságok közé a lemniszkáta, azaz a végtelen jele. Kétdimenziós sokaságokat általánosan felszínnek nevezünk, ismertebb példái a sík, a gömb, a tórusz vagy a Klein-féle palack.

A sokaság fogalma jelentős fontossággal bír a geometria számos területein és a matematikai fizikában, mert lehetővé teszi bonyolult alakzatok egyszerűbb leírását ismert terek topológiai tulajdonságai által. A sokaságok megjelenhetnek egyenletrendszerek megoldáshalmazaiként vagy függvények grafikonjaiként egyaránt.

A sokaságokat el lehet látni további struktúrával, hogy konkrétabb példákban legyenek alkalmazhatóak: a differenciálható sokaság, mely egy halmaz ellátva egy differenciálható struktúrával, a differenciálgeometria egyik legfontosabb fogalma. Egy Riemann-metrikával ellátott sima sokaságon meghatározhatóak szögek és hosszak egy nem feltétlenül lapos (Euklidészi) téren. Szimplektikus sokaságokkal modellezhetőek a Hamilton-féle klasszikus mechanika fázisterei, továbbá Lorentz-sokaságokkal leírható a téridő az általános relativitáselméletben.

Definíciók

Topologikus sokaságok

Geometriában és topológiában minden sokaság egy topologikus sokaság, amely a következőképp van definiálva:

Egy adott $(X,{\mathcal {T}})$ topologikus tér egy $n$-dimenziós sokaság, ha Hausdorff (T₂), megszámlálható bázisa van (M₂), és minden $x\in X$-nek létezik olyan környezete, ami homeomorf $\mathbb {R} ^{n}$-nel. Homeomorfiának nevezünk egy olyan leképezést két topologikus tér között, amely bijekció, folytonos és az inverze is folytonos. Habár léteznek nem-Hausdorff sokaságok is, ezek inkább tekinthetőek a sokaság-fogalom általánosításaként, így a leggyakrabban egy sokaság Hausdorff-nak és megszámlálható bázisúnak van definiálva.

Peremes sokaságok

Habár a sokaságokat nyílt halmazok segítségével definiáljuk, ez nem zárja ki a lehetőségét annak, hogy egy sokaságnak pereme legyen. Például, a körlap (vagy korong) egy kétdimenziós sokaság, melynek pereme a kör, mely egy egydimenziós sokaság. Precízebb megfogalmazásban egy peremes sokaság egy olyan $(X,{\mathcal {T}})$ topologikus tér, mely T₂, M₂, és bármely $x\in X$ pontnak létezik egy olyan környezete, ami homeomorf a $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{n}\geq 0\}$ halmazhoz. Az így definiált sokaság pereme (általános jelölés szerint $\partial X$) azon pontok halmaza, melynek nem létezik $\mathbb {R} ^{n}$-nel homeomorf környezete. Továbbá, egy $n$-dimenziós peremes sokaság pereme egy $(n-1)$-dimenziós (nemperemes) sokaság.

Differenciálható sokaságok

Ahhoz, hogy egy adott sokaságon differenciálszámítást végezzünk, nem elegendő a topologikus sokaság definíciója, további struktúrára van szükség. Amennyiben $X$ egy $n$-dimenziós topologikus sokaság, $U$ olyan nyílt részhalmaza $X$-nek, mely homeomorf $\mathbb {R} ^{n}$-nel és $a\in U$, akkor egy $\eta :U\to \mathbb {R} ^{n}$ homeomorfizmust egy $a$ körüli térképnek nevezünk. Olyan térképek halmazát, melyek értelmezési tartománya lefedi $X$-et, $X$ egy atlaszának nevezzük.

Amennyiben $U$ és $V$ nem diszjunkt nyílt részhalmazai $X$-nek és $\eta :U\to \mathbb {R} ^{n}$, $\theta :V\to \mathbb {R} ^{n}$ térképek, akkor a következő kompozíció segítségével definiálható egy homeomorfia $\mathbb {R} ^{n}$ két részhalmaza között:

$\theta \circ \eta ^{-1}:\eta (U\cap V)\to \theta (U\cap V),$

melyre ezáltal alkalmazhatóak a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Ha egy ilyen függvény és az inverze is $r$-szer differenciálható, akkor ${\mathcal {C}}^{r}$-diffeomorfizmusnak nevezzük. Ha egy atlaszban minden térképpárból alkotható egy ilyen ${\mathcal {C}}^{\infty }$-diffeomorfizmus (tehát tetszőlegesen sokszor differenciálható) $\mathbb {R} ^{n}$ két részhalmaza között, akkor az atlasz kiterjeszthető egy sima struktúrává. Egy sima struktúrával ellátott topologikus sokaságot sima sokaságnak hívunk. Amennyiben ezek a diffeomorfizmusok csak $r$-szer deriválhatóak, akkor a sokaságot ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálható sokaságnak nevezzük.

Tulajdonságok

Definíció szerint minden sokaság lokálisan Euklideszi, viszont a definíció nem mindig tartalmazza a feltételeket, hogy egy sokaság Hausdorff-tér vagy megszámlálható bázisú. Pusztán a lokálisan Euklideszi definíció is több topologikus tulajdonságra enged következtetni: minden sokaság teljesíti az első szétválaszthatósági axiómát (T₁), tehát Fréchet-tér; teljesíti az első megszámlálhatósági axiómát (M₁), lokálisan ívszerűen összefüggőség (tehát lokálisan összefüggő), ívszerűen összefüggő és lokálisan összehúzható.

Amennyiben egy sokaságot Hausdorff-térként definiálunk, akkor bármely sokaság lokálisan kompakt és lokálisan metrizálható. Egy sokaságnak nem muszáj összefüggőnek lennie, viszont minden Hausdorff és M₂ sokaság összefüggő sokaságok diszjunkt uniója.

Példák

Általános példák

• Bármely megszámlálható diszkrét topologikus tér egy 0-dimenziós sokaság.
• A kör egy egydimenziós kompakt sokaság. Továbbá, minden nemüres parakompakt összefüggő sokaság homeomorf vagy a körhöz, vagy $\mathbb {R}$-hez.
• A tórusz és a Klein-féle palack kétdimenziós kompakt sokaságok.
• A Möbius-szalag egy kétdimenziós nem irányítható sokaság.
• A Lie-csoportok olyan differenciálható sokaságok, melyek csoportstruktúrával is el vannak látva, ahol a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Konstrukciók

$A$ és $B$ összefüggő összegének illusztrálása

Már ismert sokaságok segítségével további sokaságok hozhatóak létre:

• Amennyiben $M$ egy $m$-dimenziós sokaság, $N$ pedig egy $n$-dimenziós sokaság, a Descartes-szorzatuk $M\times N$ egy $(m+n)$-dimenziós sokaság, amennyiben a szorzat-topológiával el van látva.
• Egy topologikus sokaság bármely részhalmaza egy topologikus sokaság, ha el van látva az altér-topológiával.
• $n$-dimenziós sokaságok bármely megszámlálható halmazcsaládjának diszjunkt uniója $n$-dimenziós sokaság.
• Két $n$-dimenziós sokaság összefüggő összege $n$-dimenziós sokaság. Az összefüggő összeg létrehozható úgy, hogy mindkét $n$-dimenziós sokaságból eltávolítunk egy-egy $n$-dimenziós golyót, az így létrejövő két határgömböt pedig "összeragasztjuk".

Források

• Kalmár Boldizsár: Differenciálható sokaságok
• Gergely Árpád László: Bevezetés a differenciálgeometriába

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Topological manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mannigfaltigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.