Sokaság (matematika)

Klein-féle palack, amely egy kétdimenziós sokaság

A matematikában a sokaság egy olyan topologikus tér, amely lokálisan minden pontja körül egy Euklidészi térre hasonlít. Pontosabban megfogalmazva, egy $n$-dimenziós sokaság egy olyan topologikus tér, melyben minden pontnak van olyan környezete, amely homeomorf az $n$-dimenziós Euklidészi tér egy nyílt részhalmazához.

Egydimenziós sokaság például az egyenes, a kör, viszont nem tartozik a sokaságok közé a lemniszkáta, azaz a végtelen jele. Kétdimenziós sokaságokat általánosan felületeknek nevezünk, ismertebb példái a sík, a gömb, a tórusz vagy a Klein-féle palack.

A sokaság fogalma jelentős fontossággal bír a geometria számos területein és a matematikai fizikában, mert lehetővé teszi bonyolult alakzatok egyszerűbb leírását ismert terek topológiai tulajdonságai által. A sokaságok megjelenhetnek egyenletrendszerek megoldáshalmazaiként vagy függvények grafikonjaiként egyaránt.

A sokaságokat el lehet látni további struktúrával, hogy konkrétabb példákban legyenek alkalmazhatóak: a differenciálható sokaság, mely egy halmaz ellátva egy differenciálható struktúrával, a differenciálgeometria egyik legfontosabb fogalma. Egy Riemann-metrikával ellátott sima sokaságon meghatározhatóak szögek és hosszak egy nem feltétlenül lapos (Euklidészi) téren. Szimplektikus sokaságokkal modellezhetőek a Hamilton-féle klasszikus mechanika fázisterei, továbbá Lorentz-sokaságokkal leírható a téridő az általános relativitáselméletben.

Definíciók

Topologikus sokaságok

Geometriában és topológiában minden sokaság egy topologikus sokaság, amely a következőképp van definiálva:

Egy adott $(X,{\mathcal {T}})$ topologikus tér egy $n$-dimenziós sokaság, ha Hausdorff (T₂), megszámlálható bázisa van (M₂), és minden $x\in X$-nek létezik olyan környezete, ami homeomorf $\mathbb {R} ^{n}$-nel. Homeomorfiának nevezünk egy olyan leképezést két topologikus tér között, amely bijekció, folytonos és az inverze is folytonos. Habár léteznek nem-Hausdorff sokaságok is, ezek inkább tekinthetőek a sokaság-fogalom általánosításaként, így a leggyakrabban egy sokaság Hausdorff-nak és megszámlálható bázisúnak van definiálva.

Peremes sokaságok

Habár a sokaságokat nyílt halmazok segítségével definiáljuk, ez nem zárja ki a lehetőségét annak, hogy egy sokaságnak pereme legyen. Például, a körlap (vagy korong) egy kétdimenziós sokaság, melynek pereme a kör, mely egy egydimenziós sokaság. Precízebb megfogalmazásban egy peremes sokaság egy olyan $(X,{\mathcal {T}})$ topologikus tér, mely T₂, M₂, és bármely $x\in X$ pontnak létezik egy olyan környezete, ami homeomorf a $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|x_{n}\geq 0\}$ halmazhoz. Az így definiált sokaság pereme (általános jelölés szerint $\partial X$) azon pontok halmaza, melynek nem létezik $\mathbb {R} ^{n}$-nel homeomorf környezete. Továbbá, egy $n$-dimenziós peremes sokaság pereme egy $(n-1)$-dimenziós (nemperemes) sokaság.

Differenciálható sokaságok

Ahhoz, hogy egy adott sokaságon differenciálszámítást végezzünk, nem elegendő a topologikus sokaság definíciója, további struktúrára van szükség. Amennyiben $X$ egy $n$-dimenziós topologikus sokaság, $U$ olyan nyílt részhalmaza $X$-nek, mely homeomorf $\mathbb {R} ^{n}$-nel és $a\in U$, akkor egy $\eta :U\to \mathbb {R} ^{n}$ homeomorfizmust egy $a$ körüli térképnek nevezünk. Olyan térképek halmazát, melyek értelmezési tartománya lefedi $X$-et, $X$ egy atlaszának nevezzük.

Amennyiben $U$ és $V$ nem diszjunkt nyílt részhalmazai $X$-nek és $\eta :U\to \mathbb {R} ^{n}$, $\theta :V\to \mathbb {R} ^{n}$ térképek, akkor a következő kompozíció segítségével definiálható egy homeomorfia $\mathbb {R} ^{n}$ két részhalmaza között:

$\theta \circ \eta ^{-1}:\eta (U\cap V)\to \theta (U\cap V),$

melyre ezáltal alkalmazhatóak a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Ha egy ilyen függvény és az inverze is $r$-szer differenciálható, akkor ${\mathcal {C}}^{r}$-diffeomorfizmusnak nevezzük. Ha egy atlaszban minden térképpárból alkotható egy ilyen ${\mathcal {C}}^{\infty }$-diffeomorfizmus (tehát tetszőlegesen sokszor differenciálható) $\mathbb {R} ^{n}$ két részhalmaza között, akkor az atlasz kiterjeszthető egy sima struktúrává. Egy sima struktúrával ellátott topologikus sokaságot sima sokaságnak hívunk. Amennyiben ezek a diffeomorfizmusok csak $r$-szer deriválhatóak, akkor a sokaságot ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálható sokaságnak nevezzük.

A térkép és az atlasz definiálásának nem előfeltétele, hogy a sokaság differenciálható vagy sima legyen. Sőt, térképek segítségével rendkívül hatékony sokaságokat konstruálni.

Egyéb sokaságok

• A komplex sokaság olyan sokaság, melynek térképeinek értékkészlete $\mathbb {R} ^{n}$ helyett $\mathbb {C} ^{n}$, és a térképek által definiált homeomorfiák $\mathbb {C} ^{n}$ adott részhalmazain holomorfak. A komplex sokaság a komplex geometriának egyik legfontosabb fogalma.
• A szimplektikus sokaság olyan sokaság, mely el van látva egy 2-formával, mely a Poisson-zárójelet definiálja.
• A Riemann-sokaság egy olyan sima sokaság, melynek bármely pontbeli tangenstere egy skalárszorzatos vektortér, ami így lehetővé teszi hosszok és szögek kiszámítását egy sima sokaságon.
• A Lie-csoport olyan differenciálható sokaság, mely csoportstruktúrával is el van látva, ahol a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.

Sokaságok konstrukciója

Konstrukció térképek segítségével

Kör

A körnek és a négy térképének illusztrációja

A sokaság definíciója olyan példákból motiválódott, ahol térképek segítségével próbáltak meg bizonyos felszíneket vagy térfogatokat jellemezni. Ennek legegyszerűbb példája a kör, amelyről négy térkép segítségével könnyen látható, hogy egy topologikus sokaság. Mivel a topológia adott alakzatok folytonos (szakítás és ragasztás nélküli) deformációját az alakzattal egyenértékűnek (homeomorfnak) tekinti, így a kör egy adott ívhossza megfeleltethető egy egyenes kis részének, mivel az egyenes egy adott intervallumának meghajlítása egy folytonos deformáció. Az egységkör egyenlete $x^{2}+y^{2}=1$. A kör felső (az ábrán sárga) ívének $y$-koordinátája pozitív és minden pontját egyedien meghatározza az $x$-koordinátája. Ebből következik, hogy a

$\chi _{\text{sárga}}(x,y)=x$

egy folytonos és invertálható leképezés a sárga ív és a valós $(-1;1)$ intervallum között, így egy térkép. Hasonlóképp lehet a kör többi térképeit meghatározni:

$\chi _{\text{piros}}(x,y)=x$

$\chi _{\text{kék}}(x,y)=y$

$\chi _{\text{zöld}}(x,y)=y$.

Mivel az előbb megadott négy térkép értelmezési tartománya lefedi az egész körívet, így egy atlaszt alkotnak.

Az ábrán látható, hogy például a sárga és a zöld ívek metszete nem üres, hanem a kör azon pontjait tartalmazhatja, melyek $x$ és $y$-koordinátája is pozitív. Ennek következtében a $\chi _{\text{sárga}}$ és $\chi _{\text{zöld}}$ térképek a metszet bármely pontját a $(0;1)$ nyílt intervallum egy pontjába képezi le. A következő $T$ valós függvény

$T:(0;1)\to (0;1),\quad T=\chi _{\text{zöld}}\circ \chi _{\text{sárga}}^{-1}$

a $\chi _{\text{sárga}}$ értékkészletéből a metszet (és ezáltal a körív) egy pontjába képez le az invertált térkép segítségével, majd a zöld térképpel vissza az intervallumba. A $T$ konstrukció szerint egy homeomorfia, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is $\mathbb {R}$ nyílt részhalmaza. Ebből következik, hogy a kör egy egydimenziós sokaság. Egy tetszőleges $a\in (0;1)$ ponton kiértékelve:

${\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\text{zöld}}\left(\chi _{\text{sárga}}^{-1}(a)\right)\\&=\chi _{\text{zöld}}\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}.\end{aligned}}$

Fontos megjegyezni, hogy nem ez a kör egyetlen lehetséges atlasza, viszont egy kör jellemzéséhez legalább két térképre van szükség: a körív egészéhez lehetséges egy egyenes szakaszt hozzárendelni, viszont akkor a szakasz kezdő- és végpontja ugyanahhoz a ponthoz van hozzárendelve, így nem invertálható, tehát nem térkép. Egy lehetséges példa egy két térképes atlaszhoz a következő:

$\chi _{1}(x,y)={\frac {y}{1+x}}$

$\chi _{2}(x,y)={\frac {y}{1-x}}.$

A térképek egyike sem elegendő, hogy egymaga lefedje a körvonal egészét, hiszen $\chi _{1}$ értelmezési tartományából a $(-1,0)$, míg $\chi _{2}$ értelmezési tartományából a $(1,0)$ pont hiányzik.

Gömb

A kör példája a következőképp általánosítható a gömbfelület jellemzéséhez: a gömb az $\mathbb {R} ^{3}$ olyan részhalmaza, amely a következő egyenlőséget teljesíti:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

A $z=0$ sík két részre osztja a gömböt: felső ($z>0$) és alsó ($z<0$) félgömbre. A felső félgömb összes pontja egyedileg meghatározható az $x$ és $y$ koordinátáik megadásával, így a

$\chi _{z>0}(x,y,z)=(x,y)$

egy lehetséges térkép. A térkép értékkészlete $\mathbb {R} ^{2}$ egy részhalmaza, így a gömb egy kétdimenziós sokaság. Hasonlóképp határozható meg az alsó félgömb térképe is, viszont ez a két térkép nem fedi le a gömbfelület egészét, ugyanis a gömb és a $z=0$ sík metszete hiányzik. A legegyszerűbb megoldás további négy térkép megadása a bal, jobb, elülső és hátulsó félgömb meghatározására, így a gömbfelület összes pontja legalább egy térkép értelmezési tartományában szerepel. Habár létezik a gömbnek olyan atlasza, mely mindösszesen két térképet tartalmaz, ez a konstrukció szemlélteti, hogy magasabb dimenziójú gömbfelületekre ($\mathbb {S} ^{n}$) is létrehozható egy atlasz.

Konstrukció más sokaságokból

$A$ és $B$ összefüggő összegének illusztrálása

Már ismert sokaságok segítségével további sokaságok hozhatóak létre:

• Amennyiben $M$ egy $m$-dimenziós sokaság, $N$ pedig egy $n$-dimenziós sokaság, a Descartes-szorzatuk $M\times N$ egy $(m+n)$-dimenziós sokaság, amennyiben a szorzat-topológiával el van látva. Ilyen formában létrehozható például két kör Descartes-szorzatából egy tórusz, vagy egy kör és egy valós intervallum szorzatából egy cilinder.
• Egy topologikus sokaság bármely részhalmaza egy topologikus sokaság, ha el van látva az altér-topológiával.
• $n$-dimenziós sokaságok bármely megszámlálható halmazcsaládjának diszjunkt uniója $n$-dimenziós sokaság.
• Két $n$-dimenziós sokaság összefüggő összege $n$-dimenziós sokaság. Az összefüggő összeg létrehozható úgy, hogy mindkét $n$-dimenziós sokaságból eltávolítunk egy-egy $n$-dimenziós golyót, az így létrejövő két határgömböt pedig "összeragasztjuk".

Tulajdonságok

Definíció szerint minden sokaság lokálisan Euklideszi, viszont a definíció nem mindig tartalmazza a feltételeket, hogy egy sokaság Hausdorff-tér vagy megszámlálható bázisú. Pusztán a lokálisan Euklideszi definíció is több topológiai tulajdonságra enged következtetni: minden sokaság teljesíti az első szétválaszthatósági axiómát (T₁), teljesíti az első megszámlálhatósági axiómát (M₁), lokálisan ívszerűen összefüggő (tehát lokálisan összefüggő), ívszerűen összefüggő és lokálisan összehúzható.

Amennyiben egy sokaságot lokálisan Euklideszi Hausdorff-térként definiálunk, akkor bármely sokaság lokálisan kompakt és lokálisan metrizálható. Egy sokaság számára a második megszámlálhatósági axióma, a σ-kompaktság és hogy a sokaság Lindelöf-tér ekvivalens állítások. Minden M₂ sokaság parakompakt és metrizálható. A parakompaktságból viszont csak akkor következik a második megszámlálhatósági axióma, ha a sokaságnak megszámlálhatóan sok összefüggő komponense van. Egy sokaságnak nem muszáj összefüggőnek lennie, viszont minden Hausdorff és M₂ sokaság összefüggő sokaságok diszjunkt uniója.

Példák

• Bármely megszámlálható diszkrét topologikus tér egy 0-dimenziós sokaság.
• A kör egy egydimenziós kompakt sokaság. Továbbá, minden nemüres parakompakt összefüggő sokaság homeomorf vagy a körhöz, vagy $\mathbb {R}$-hez.
• A tórusz és a Klein-féle palack kétdimenziós kompakt sokaságok.
• A Möbius-szalag egy kétdimenziós nem irányítható sokaság.

Források

• Kalmár Boldizsár: Differenciálható sokaságok
• Gergely Árpád László: Bevezetés a differenciálgeometriába
• Gauld, D. B. (1974). „Topological Properties of Manifolds”. The American Mathematical Monthly 81 (6), 633–636. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2319220. JSTOR 2319220. 
• An Introduction to Manifolds, 2nd, New York: Springer (2011. január 2.). ISBN 978-1-4419-7399-3 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Topological manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Mannigfaltigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Alacsony dimenziós topológia - a két-, három- és négydimenziós sokaságok osztályozásához
• Poincaré-sejtés
• Lie-csoport

További információk

• Dimensions-math.org|Kisfilm a sokaságok vizualizálásához