„M/M/1-típusú sorbanállás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
Niza (vitalap | szerkesztései) a →Meghatározás: Hiv. beszúr |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
==Meghatározás== |
==Meghatározás== |
||
A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a rendszerben lévő sorbanállók száma megfelel a számoknak. |
A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek [[állapottér|állapottere]] {0,1,2,3...}, ahol a rendszerben lévő sorbanállók száma megfelel a számoknak. |
||
*Az érkezési sebesség λ, a Poisson-folyamatnak megfelelően történik, és az ''i'' - ''i''+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett, |
*Az érkezési sebesség λ, a Poisson-folyamatnak megfelelően történik, és az ''i'' - ''i''+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett, |
||
*A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású, μ paraméterrel, |
*A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású, μ paraméterrel, |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
\end{pmatrix}</math> |
\end{pmatrix}</math> |
||
Ez ugyanaz a mátrix, mint amivel a [[születés-halálozás folyamat]]ot írják le. |
Ez ugyanaz a mátrix, mint amivel a [[születés-halálozás folyamat]]ot írják le. |
||
Az |
Az állapottér {0,1,2,3,...}. |
||
[[Fájl:MM1 queue state space.svg]] |
[[Fájl:MM1 queue state space.svg]] |
||
==Az átmenet képlete== |
==Az átmenet képlete== |
||
Az M/M/1-típusú sorbanállási modellnél a ''t'' időtől függő [[valószínűségi tömegfüggvény]] írja le, hogy a modell egy adott állapotban van. Tegyük fel, hogy a sorbanállási folyamat a kezdetben ''i'' állapotban van, és a ''p''<sub>''k''</sub>(''t'') valószínűség ''t'' időben , és ''k'' állapotban:<ref>{{cite book | title = Queueing Systems Volume 1: Theory | first1=Leonard | last1=Kleinrock | authorlink = Leonard Kleinrock | isbn = 0471491101 | year=1975 | page=77}}</ref> |
Az M/M/1-típusú sorbanállási modellnél a ''t'' időtől függő [[valószínűségi tömegfüggvény]] írja le, hogy a modell egy adott állapotban van. Tegyük fel, hogy a sorbanállási folyamat a kezdetben ''i'' állapotban van, és a ''p''<sub>''k''</sub>(''t'') valószínűség ''t'' időben , és ''k'' állapotban:<ref>{{cite book | title = Queueing Systems Volume 1: Theory | first1=Leonard | last1=Kleinrock | authorlink = Leonard Kleinrock | isbn = 0471491101 | year=1975 | page=77}}</ref> |
A lap jelenlegi, 2024. április 28., 08:03-kori változata
A sorbanállási elméletben az M/M/1-típusú sorbanállásra jellemző, hogy egy kiszolgáló van, a rendszerbe érkezések a Poisson-folyamat szerint történnek, és a kiszolgálási idő exponenciális eloszlású. A megnevezés (M/M/1) a Kendall-féle jelölés szerint történt. Ez a típus a legegyszerűbb modell.[1]
Meghatározás[szerkesztés]
A sorbanállás sztochasztikus folyamat, melynek állapottere {0,1,2,3...}, ahol a rendszerben lévő sorbanállók száma megfelel a számoknak.
- Az érkezési sebesség λ, a Poisson-folyamatnak megfelelően történik, és az i - i+1 átmenet jelzi, hogy új sorbanálló tag érkezett,
- A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású, μ paraméterrel,
- A sor elején egy kiszolgáló látja el a beérkezőket, a FCFS szerint (aki elsőnek jött, elsőnek lesz kiszolgálva); Amikor a kiszolgálás megtörtént, az ügyfél (entitás) elhagyja a rendszert, és eggyel csökken a rendszerben az ügyfelek száma,
- A tároló (a kiszolgálás helye) végtelen nagy, így nincs korlátja a belépő ügyfelekre nézve.
Ezt a modellt a folytonos idejű Markov-lánccal lehet leírni, átmeneti mátrixxal:
Ez ugyanaz a mátrix, mint amivel a születés-halálozás folyamatot írják le. Az állapottér {0,1,2,3,...}.
Az átmenet képlete[szerkesztés]
Az M/M/1-típusú sorbanállási modellnél a t időtől függő valószínűségi tömegfüggvény írja le, hogy a modell egy adott állapotban van. Tegyük fel, hogy a sorbanállási folyamat a kezdetben i állapotban van, és a pk(t) valószínűség t időben , és k állapotban:[2]
ahol , és Ik a módosított elsőfajú Bessel függvény.
Állandósult eloszlás[szerkesztés]
Csak λ<μ esetben stabil a modell. Ha átlagosan, a beérkezések gyorsabban történnek, mint a kiszolgálások, akkor a sor végtelen nagyra nő, és a rendszernek nem lesz állandósult eloszlása. Az állandósult eloszlás a korlátozó tényező a nagy t-kre.
A rendszerben lévő ügyfelek száma[szerkesztés]
Annak a valószínűsége, hogy az állandósult folyamat i állapotban van (i ügyfelet tartalmaz, beleértve a kiszolgálás alatt lévőket is):[3]
Látható, hogy az ügyfelek száma a geometriai eloszlást követi 1−ρ paraméterrel. Így az ügyfelek átlagos száma: ρ/(1−ρ). .[4]
A kiszolgáló foglaltsági periódusa[szerkesztés]
A kiszolgáló foglaltsági periódusa az az idő, mely az ügyfél – az üres rendszerbe való -beérkezésének pillanatától számít addig, amíg az ügyfél elhagyja a rendszert, mely újra üres lesz. A foglaltsági periódus valószínűségi sűrűségfüggvénye: [5][6][7] ahol I1 a módosított elsőfajú Bessel függvény,Laplace-transzformációt alkalmazva,[8] és invertálva az eredményt.[9] Az M/M/1-típusú sorbanállási modell foglaltsági periódusának Laplace-transzformáltja:[10]
Válaszidő[szerkesztés]
Az átlagos válaszidő (a teljes idő, amit az ügyfél a rendszerben tölt) a Little-törvény segítségével számolható ki, mivel 1/(μ−λ). Az átlagos várakozási idő: 1/(μ − λ) − 1/μ = ρ/(μ − λ).
Irodalom[szerkesztés]
- Khintchine, A. Y: Mathematical theory of a stationary queue. (hely nélkül): Matematicheskii Sbornik 39 (4):. 1932. 73–84. o.
- Harrison, P. G: Response time distributions in queueing network models. (hely nélkül): Computer Science. 1993.
Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]
- http://www.win.tue.nl/~iadan/que/h4.pdf
- Sorbanállási elmélet
- M/D/1-típusú sorbanállás
- M/M/c-típusú sorbanállás
- Pollaczek–Khinchine-formula
- M/G/1-típusú sorbanállás
- Valószínűségi tömegfüggvény
- Exponenciális eloszlás
- Laplace–Stieltjes transzformáció
- Valószínűségi változó
- Sűrűségfüggvény
- Skálaparaméter
- Alakparaméter
- Gamma-eloszlás
- Gumbel-eloszlás
- Eloszlásfüggvény
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Markov-lánc
- Matematikai statisztika
Források[szerkesztés]
- ↑ http://www.win.tue.nl/~iadan/que/h4.pdf
- ↑ Queueing Systems Volume 1: Theory, 77. o. (1975). ISBN 0471491101
- ↑ Harrison, Peter. Performance Modelling of Communication Networks and Computer Architectures. Addison–Wesley, 172–173. o. (1992)
- ↑ doi:10.1023/A:1013913827667
- ↑ doi:10.1007/BF01157854
- ↑ (1958) „Many server queueing processes with Poisson input and exponential service times”. Pacific J. Math. 8 (1), 87-118. o.
- ↑ 2.12 Busy-Period Analysis, Fundamentals of Queueing Theory. Wiley (1974). ISBN 1118211642
- ↑ Adan, Ivo: Course QUE: Queueing Theory, Fall 2003: The M/M/1 system. (Hozzáférés: 2012. augusztus 6.)
- ↑ Stewart, William J.. Probability, Markov chains, queues, and simulation: the mathematical basis of performance modeling. Princeton University Press, 530. o. (2009). ISBN 0-691-14062-6
- ↑ Asmussen, Søren. Applied Probability and Queues. Springer, 105. o. (2003). ISBN 0387002111