Téglalapszámok

A számelméletben a téglalapszámok olyan figurális számok, melyek felírhatók két, egymást követő nemnegatív egész szám szorzataként, tehát n(n + 1) alakban. Már Arisztotelész is tanulmányozta őket. A téglalapszámok általánosíthatók az n(n + k) alakú számokra.

Az első néhány téglalapszám:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … (A002378 sorozat az OEIS-ben).

Figurális számokként

Arisztotelész metafizikájában a téglalapszámokat más figurális számokkal, a háromszögszámokkal és négyzetszámokkal együtt tanulmányozták, felfedezésük még korábbra, a püthagoreusokhoz köthető. A sokszögszámok mintájára:

1×2	2×3	3×4	4×5

Az n-edik téglalapszám épp kétszerese az n-edik háromszögszámnak és n-nel haladja meg az n-edik négyzetszámot, ami az alternatív n² + n képletükből is világos. Az n-edik téglalapszám éppen a páratlan négyzetszám (2n + 1)² és az (n+1)-edik középpontos hatszögszám közötti különbség.

Első n téglalapszám összege

A téglalapszámok egy részösszegének vizuális ábrázolása

A téglalapszámok figurális mivoltuk miatt a legegyszerűbben téglalapokként ábrázolhatóak, ahogyan az ábrán látható. Az első n téglalapszám összegét meghatározhatjuk, ha a nagy téglalap területéből kivonjuk a nem kellő területeket.

A nagy téglalap területe $(1+2+\cdots +n)\cdot (n+1)={\frac {n(n+1)^{2}}{2}}$.

Megfigyelhető, hogy a felesleges részek területei soronként az első 1, 2, ..., n-1 pozitív szám összegei, azaz $(1)+(1+2)+\cdots +(1+2+\cdots +n-1)={\frac {1(2)}{2}}+{\frac {2(3)}{2}}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}}$.

Továbbá látható, hogy a felesleges részek pontosan az első n-1 téglalapszám összegének a fele.

Ekkor ha $f(n)$ az első n téglalapszám összegét adja meg, akkor $f(n)={\frac {n(n+1)^{2}}{2}}-{\frac {f(n-1)}{2}}$.

Felhasználva, hogy $f(n)=f(n-1)+n(n+1)$ és az algebra szabályait segítségül hívva:

$f(n)={\frac {n(n+1)^{2}-f(n)+n(n+1)}{2}}$

$2f(n)=n(n+1)^{2}-f(n)+n(n+1)$

$3f(n)=n(n+1)^{2}+n(n+1)$

$3f(n)=n(n+1)(n+1+1)$

$f(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Azaz

$\sum _{i=1}^{n}i(i+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Reciprokösszegek

Az első n pozitív téglalapszám reciprokösszege a következőképpen alakul:

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\cdot n}}+{\frac {1}{n\cdot (n+1)}}$

$=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)$

$={\frac {1}{1}}+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n-1}}\right)+\left(-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n+1}}$

$=1-{\frac {1}{n+1}}$

$={\frac {n}{n+1}}$

Ebből kifolyólag a pozitív téglalapszámok reciprokösszege 1:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{n+1}}=1$

Általánosítás

A téglalapszámok általánosíthatóak $n(n+k)$ alakúra, ahol $k\in \mathbb {Z} ^{+}$. Ebben az esetben az első n pozitív téglalapszám reciprokösszege a következő:

${\frac {1}{1\cdot (1+k)}}+{\frac {1}{2\cdot (2+k)}}+{\frac {1}{3\cdot (3+k)}}+\cdots +{\frac {1}{(n-1)\cdot (n+k-1)}}+{\frac {1}{n\cdot (n+k)}}$

$={\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1+k}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2+k}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n+k-1}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+k}}\right){\Biggr ]}$

$={\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)+\left(-{\frac {1}{1+k}}-{\frac {1}{2+k}}-\cdots -{\frac {1}{n+k}}\right){\Biggr ]}$

$={\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}H_{n}-\left(H_{n+k}-H_{k}\right){\Biggr ]}={\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}H_{k}+H_{n}-H_{n+k}{\Biggr ]}$

ahol a $H_{n}$ az első n pozitív egész szám reciprokainak összegét, azaz az n-dik harmonikus számot adja meg.

Ezen összeg $n\rightarrow \infty$ esetben:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+k)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}H_{k}+H_{n}-H_{n+k}{\Biggr ]}={\frac {1}{k}}\cdot {\Biggr [}\lim _{n\rightarrow \infty }H_{k}+\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-H_{n+k}\right){\Biggr ]}={\frac {H_{k}}{k}}$

Következtetésképpen megállapíthatjuk, hogy a k különbségű pozitív téglalapszámok reciprokainak összege ${\frac {H_{k}}{k}}$, ahol $H_{k}$ a k-dik harmonikus szám.

További tulajdonságaik

Az n-edik téglalapszám megegyezik az első n páros egész szám összegével. Ebből következik az is, hogy az összes téglalapszám páros, és közülük egyedül a 2 prímszám. Szintén a 2 az egyetlen Fibonacci-téglalapszám és az egyetlen téglalap Lucas-szám.

A négyzetes mátrix átlón kívüli elemeinek száma mindig téglalapszám.

A tény, hogy az egymást követő egészek mindig relatív prímek, a téglalapszámok pedig két egymást követő egész szorzatai, néhány új tulajdonsághoz vezetnek. A téglalapszám minden prímtényezője az őt alkotó tényezők közül pontosan az egyikben fordul elő. Tehát egy téglalapszám csakkor négyzetmentes, ha n és n + 1 is négyzetmentesek. A téglalapszámok különböző prímtényezőinek száma megegyezik az n és n + 1 különböző prímtényezői számának összegével.

További tulajdonsága a téglalapszámoknak, hogy az n-nél 0,5-del nagyobb szám négyzete pont az n-edik téglalapszámnál 0,25-dal nagyobb. Például: 7,5² = 56,25. Ezért az 5-re végződő egész négyzetszámok négyzete 25-re végződik úgy, hogy az azt megelőző számjegyek téglalapszámot alkotnak.

Még egy másik tulajdonságuk, hogy bármelyik n alapú számrendszerben az n-edik, vagyis a számrendszer alapszámával megegyező sorszámú téglalapszám 110 alakban írható fel. Például a nyolcas számrendszerben az 110₈ szám 72-t jelent, amely pont a 8. téglalapszám. A tízes számrendszerben épp a tizedik téglalapszám írható fel 110 (száztíz) alakban. Ennek oka ugyanaz, ami miatt a n² + n is az egyik kiszámítási képlet alternatívája, vagyis az n-edik téglalapszám az n szám (számrendszer alapszáma) első két hatványának összege.

További információk

• Tuzson Zoltán: A figurális számokról (II)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Pronic number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.