Prímhézag
A matematika, azon belül a számelmélet területén a prímhézag (prime gap, jelölése a gap-ből gyakran g) két egymást követő prímszám közötti különbséget jelenti. Az n-edik prímhézag, jelölje gn vagy g(pn) az (n + 1)-edik és az n-edik prímszámok közötti különbség:
Így tehát g1 = 1, g2 = g3 = 2, g4 = 4 stb. A prímhézagok (gn) sorozatát átfogóan tanulmányozták, mégis számos nyitott kérdés és sejtés létezik velük kapcsolatban.
Az első 60 prímhézag:
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ... (A001223 sorozat az OEIS-ben).
A gn sorozat definíciójából következik, hogy minden prímszám felírható a következő alakban:
Egyszerű megfigyelések
szerkesztésAz első, legkisebb, és egyetlen páratlan prímhézag (1) az egyetlen páros prímszám (2) és az első páratlan prímszám (3) között van. Az összes többi prímhézag páros. Egyetlen olyan prímhézag-páros van, ami maga is prímszámokból áll, a g2 és g3 a 3, 5 és 7 között.
Bármely P prímszám esetén P#-tel jelöljük P primoriálisát, tehát az összes prímszám szorzatát P-ig bezárólag, P-t is beleértve. Ha Q a P-t közvetlenül követő prímszám, akkor a következő sorozat:
Q − 2 egymást követő egész számot tartalmaz, tehát itt a prímhézag legalább Q − 1 hosszúságú. Ebből következik, hogy tetszőlegesen nagy prímhézagok léteznek, így tehát bármely P prímszámhoz tartozik olyan n egész szám, ahol gn ≥ P. (Belátható, ha n-et úgy választjuk meg, hogy pn a legnagyobb prímszám, ami kisebb P# + 2-nél.) A tetszőlegesen nagy prímhézagok létezése a prímszámtételből kiindulva is belátható, mi szerint a prímszámok sűrűsége közelít a nullához. A tétel szerint P# igen durva közelítésben exp(P) nagyságú, exp(P) környezetében pedig az egymást követő prímszámok közötti átlagos távolság P.
A gyakorlatban a P méretű prímrések a P#-nál jóval előbb jelentkeznek. Például a 71 egymást követő összetett számból álló szekvencia először 31398 és 31468 között jelentkezik, míg a 71# huszonhét számjegyből áll – tízes számrendszerben 557940830126698960967415390.
Bár a prímszámok közti átlagos hézag nagysága a számok természetes logaritmusa szerint növekszik, a maximális prímhézag és a benne foglalt egészek közötti arány szintén nő, ahogy egyre nagyobb számok és prímhézagok fordulnak elő.
Az ellenkező irányt tekintve, az ikerprímsejtés szerint gn = 2 végtelen sok n helyen.
Numerikus eredmények
szerkesztés2017 márciusában az ismert legnagyobb prímhézag azonosítható valószínű prím végekkel 5 103 138 hosszúságú, a hozzá tartozó 216849 jegyű valószínű prímeket Robert W. Smith találta, ennek a jósága M=10,2203.[1] A legnagyobb ismert prímhézag, aminek a szélein bizonyítottan prímszámok találhatók, 1 113 106 hosszúságú, a szélein lévő 18662 jegyű prímszámokat P. Cami, M. Jansen és J. K. Andersen találták meg.[2][3]
Nevezzük gn-t maximális prímhézagnak, ha gm < gn minden m < n esetben. 2016 júniusában a legnagyobb ismert maximális prímhézag 1476 hosszúságú, Tomás Oliveira e Silva találta meg. Ez sorrendben a 75. maximális hézag, és az 1425172824437699411 prímszám után következik.[4] További maximális prímhézag-rekordok találhatók itt: A002386.
Egy prímhézag jóságán (merit) a gn / ln(pn) arány értendő. 1931-ben E. Westzynthius bebizonyította, hogy a prímhézagok logaritmikusnál gyorsabban nőnek. Tehát,[5]
Jóság | gn | számjegyek | pn | Dátum | Felfedező |
---|---|---|---|---|---|
36,858288 | 10716 | 127 | 7910896513·283#/30 − 6480 | 2016 | Dana Jacobsen |
36,590183 | 13692 | 163 | 1037600971·383#/210 − 8776 | 2016 | Dana Jacobsen |
36,420568 | 26892 | 321 | 59740589·757#/210 − 14302 | 2016 | Dana Jacobsen |
35,424459 | 66520 | 816 | 1931·1933#/7230 − 30244 | 2012 | Michiel Jansen |
35,310308 | 1476 | 19 | 1425172824437699411 | 2009 | Tomás Oliveira e Silva |
34,975687 | 1442 | 18 | 804212830686677669 | 2005 | Siegfried Herzog |
2016. novemberi adat szerint a legnagyobb ismert jósági érték 10716 / ln(7910896513·283#/30 − 6480) ≈ 36,858288 (283# 283 primoriálisát jelöli). A végpontok 127 jegyű prímek.
A Cramér–Shanks–Granville-arány a következő szám:[6]
Az arány legnagyobb ismert értéke 0,9206386, ami az 1693182318746371 prímszámhoz tartozik. Megoszlanak a vélemények, hogy az arány eléri-e az egyet; további rekordértékek itt találhatók: A111943.
|
|
|
További eredmények
szerkesztésFelső korlátok
szerkesztésAz 1852-ben bizonyított Bertrand-posztulátum kimondja, hogy k és 2k között mindig létezik prímszám, így tehát pn+1 < 2pn, amiből következik, hogy gn < pn.
Az 1896-ban bizonyított prímszámtétel szerint egy p prímszám és a rákövetkező prímszám közötti hézag átlagos nagysága ln(p). Egy konkrét hézag tényleges mérete persze ennél jóval nagyobb vagy kisebb is lehet. A prímszámtételből azonban következik egy felső korlát is: minden ε > 0-hoz létezik N szám, amire gn < εpn minden n > N esetben.
Kikövetkeztethető, hogy a prímhézagok a prímek nagyságához képest egyre kisebbek lesznek, tetszőlegesen kicsik: a hányados nullához tart:
Hoheisel (1930) mutatta meg elsőként,[9] hogy létezik egy θ < 1 konstans, amire
így tehát:
elegendően nagy n-ekre.
Hoheisel a θ értékét 32999/33000-ra tette. Ezt Heilbronn 249/250-re javította,[10] majd Chudakov θ = 3/4 + ε-re, bármilyen ε > 0-ra.[11]
Ingham nevéhez fűződik egy nagyobb előrelépés,[12] aki megmutatta, hogy ha
valamely pozitív c konstansra, ahol az O az O jelölésre utal, akkor
bármely θ > (1 + 4c)/(2 + 4c)-re. Itt a szokásos módon ζ a Riemann-féle zéta-függvény, π pedig a prímszámláló függvény. Tudva, hogy bármely c > 1/6 elfogadható, megállapítható, hogy θ bármely ⅝-nál nagyobb szám lehet.
Ingham eredményének közvetlen következménye, hogy n3 és (n + 1)3 között mindig van prímszám, ha n elegendően nagy.[13] A Lindelöf-sejtés implikálná, hogy Ingham képlete bármilyen pozitív c számra igaz, de még ez sem lenne elég annak igazolására, hogy elegendően nagy n-re mindig van prímszám n2 és (n + 1)2 között (lásd Legendre-sejtés). Ennek igazolására erősebb eredményre, például a Cramér-sejtésre volna szükség.
Huxley 1972-ben megmutatta, hogy θ választható például θ = 7/12 = 0,58(3)-ra is.[14]
Baker, Harman és Pintz 2001-es eredménye szerint θ levihető akár 0,525-ig.[15]
2005-ben Daniel Goldston, Pintz János és Cem Yıldırım bebizonyították, hogy
- ,
majd két évvel később a következőre javították az eredményt:[16]
2013-ban Yitang Zhang igazolta, hogy
ami azt jelenti, hogy végtelen sok 70 milliónál nem nagyobb prímhézag létezik.[17] A Polymath Project keretében végzett együttműködés keretében sikerült Zhang korlátját optimalizálni, 2013. július 20-ára egészen 4680-ig vitték le.[18] 2013 novemberében, James Maynard bemutatta a GPY-szita egy új finomítását, amivel a korlátot 600-ig vitte le, továbbá megmutatta, hogy bármely m-re létezik m prímszámot tartalmazó korlátos intervallum:[19]
Maynard gondolatait továbbfejlesztve a Polymath project azóta feljavította a korlátot 246-ra.[18][20] Továbbá, feltételezve az Elliott–Halberstam-sejtés és annak általánosított formájának igazságát, a Polymath project wiki állítása szerint N-et 12-re, illetve 6-ra sikerült lecsökkenteni.[18]
Alsó korlátok
szerkesztés1938-ban Robert Rankin bebizonyította, hogy létezik olyan c > 0 konstans, amire a
egyenlőtlenség végtelen sok n értékre igaz lesz, továbbfejlesztve ezzel Erik Westzynthius és Erdős Pál eredményeit. Később megmutatta, hogy bármely c < eγ konstans jó lehet, ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó. A c konstans értékét 1997-ben javították bármely 2eγ-nál kisebb értékre.[21]
Erdős Pál 10 000 dollárt ajánlott annak bizonyításáért vagy cáfolatáért, hogy a fenti egyenlőtlenség c konstansát bármilyen nagyra lehet választani.[22] Ezt 2014-ben sikerült igazolni a Ford–Green–Konyagin–Tao szerzőknek, és tőlük függetlenül James Maynardnak.[23][24]
Az eredményt Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao tovább javította a következőre:
n végtelen sok értékére.[25]
Prímhézagok láncolatára szintén sikerült alsó korlátokat megállapítani.[26]
Prímhézagokkal kapcsolatos sejtések
szerkesztésMég jobb eredmények érhetők el, ha a Riemann-sejtést igaznak feltételezzük. Harald Cramér igazolta,[27] hogy a Riemann-sejtésből következik, hogy a gn prímhézagra teljesül, hogy
a nagy O jelölést használva. Későbbi feltételezése szerint a prímhézagok még kisebbek. A Cramér-sejtés durván azt fogalmazza meg, hogy
A Firoozbakht-sejtés kimondja, hogy (ahol az n-edik prím) n szerint szigorúan csökkenő függvény, tehát
Ha ez a sejtés igaz, akkor a függvény teljesíti a [28] Következne belőle a Cramér-sejtés egy erős formája, de inkonzisztens lenne a Granville és Pintz által megfigyelt heurisztikákkal,[29][30][31] melyek szerint végtelen sokszor bármely -ra, ahol az Euler–Mascheroni-állandót jelöli.
Oppermann sejtése gyengébb, mint a Cramér-sejtés. Az Oppermann-sejtéssel becsült prímhézag mérete nagyságrendileg:
Ha ez igaz, akkor létezik egy m>0 (valószínűleg m=30) természetes szám, amire minden n>m-re teljesül, hogy
Az Andrica-sejtés, ami Oppermann sejtésének gyengébb változata, kimondja, hogy[32]
Ez enyhén erősebb a Legendre-sejtésnél, ami szerint az egymást követő négyzetszámok között mindig található prímszám.
Számelméleti függvényként
szerkesztésAz n-edik és (n + 1)-edik prímszámok közötti gn prímhézag a számelméleti függvények egy példája. Ebben a kontextusban szokásosan dn-nel jelölik (magyar kontextusban ez a jelölés általában az osztószám-függvényt illeti), neve pedig prímkülönbség-függvény (prime difference function).[32] A függvény se nem multiplikatív, se nem additív.
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztésFordítás
szerkesztés- Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime gap című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
szerkesztés- ↑ Archivált másolat. [2017. április 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. április 5.)
- ↑ The Top-20 Prime Gaps. (Hozzáférés: 2014. június 13.)
- ↑ A proven prime gap of 1113106
- ↑ Maximal Prime Gaps
- ↑ Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors 5: 1–37.
- ↑ a b NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT. [2016. július 12-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 11.)
- ↑ Dynamic prime gap statistics
- ↑ TABLES OF PRIME GAPS. [2016. június 20-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 11.)
- ↑ Hoheisel, G. (1930). „Primzahlprobleme in der Analysis”. Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33, 3–11. o.
- ↑ Heilbronn, H. A. (1933). „Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel”. Mathematische Zeitschrift 36 (1), 394–423. o. DOI:10.1007/BF01188631.
- ↑ Tchudakoff, N. G. (1936). „On the difference between two neighboring prime numbers”. Math. Sb. 1, 799–814. o.
- ↑ Ingham, A. E. (1937). „On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics 8 (1), 255–266. o. DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255.
- ↑ Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). „Explicit estimate on primes between consecutive cubes”. Rocky Mt. J. Math. 40, 117–153. o. DOI:10.1216/rmj-2010-40-1-117.
- ↑ Huxley, M. N. (1972). „On the Difference between Consecutive Primes”. Inventiones Mathematicae 15 (2), 164–170. o. DOI:10.1007/BF01418933.
- ↑ Baker, R. C. (2001). „The difference between consecutive primes, II”. Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3), 532–562. o. DOI:10.1112/plms/83.3.532.
- ↑ Primes in Tuples II. ArXiv. (Hozzáférés: 2013. november 23.)
- ↑ Zhang, Yitang (2014). „Bounded gaps between primes”. Annals of Mathematics 179 (3), 1121–1174. o. DOI:10.4007/annals.2014.179.3.7.
- ↑ a b c Bounded gaps between primes. Polymath. (Hozzáférés: 2013. július 21.)
- ↑ Maynard, James (2015). „Small gaps between primes”. Annals of Mathematics 181 (1), 383–413. o. DOI:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ↑ D.H.J. Polymath (2014). „Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. Research in the Mathematical Sciences 1. DOI:10.1186/s40687-014-0012-7.
- ↑ Pintz, J. (1997). „Very large gaps between consecutive primes”. J. Number Theory 63 (2), 286–301. o. DOI:10.1006/jnth.1997.2081.
- ↑ Erdős, Some of my favourite unsolved problems
- ↑ (2016) „Large gaps between consecutive prime numbers”. Ann. of Math. 183 (3), 935–974. o. DOI:10.4007/annals.2016.183.3.4.
- ↑ Maynard, James (2016). „Large gaps between primes”. Ann. of Math. 183 (3), 915–933. o. DOI:10.4007/annals.2016.183.3.3.
- ↑ Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2015). "Long gaps between primes".
- ↑ Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (2015-10-13). "Chains of large gaps between primes".
- ↑ Cramér, Harald (1936), "On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers", Acta Arithmetica 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-07-11
- ↑ Sinha, Nilotpal Kanti (2010), On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture, pp. 1–10, <http://arxiv.org/abs/1010.1399>.
- ↑ Granville, A. (1995), "Harald Cramér and the distribution of prime numbers", Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28, <http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf> Archiválva 2015. szeptember 23-i dátummal a Wayback Machine-ben Archivált másolat. [2015. szeptember 23-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 11.).
- ↑ Granville, Andrew (1995), "Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers", Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1: 388–399, <http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf>.
- ↑ Pintz, János (2007), "Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes", Funct. Approx. Comment. Math. 37 (2): 232–471, <http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660>
- ↑ a b Guy (2004) §A8
Irodalom
szerkesztés- Soundararajan, Kannan (2007). „Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım”. Bull. Am. Math. Soc., New Ser. 44, 1–18. o. DOI:10.1090/s0273-0979-06-01142-6.
- Mihăilescu, Preda (2014. június 1.). „On some conjectures in additive number theory”. Newsletter of the European Mathematical Society, 13–16. o. DOI:10.4171/NEWS. ISSN 1027-488X.
További információk
szerkesztés- Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
- Weisstein, Eric W.: Prime Difference Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Prime Difference Function a PlanetMath oldalain
- Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture, does not involve an 'arbitrarily big' constant as some other reported results.
- Chris Caldwell, Gaps Between Primes; an elementary introduction
- www.primegaps.com A study of the gaps between consecutive prime numbers
- Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; overview of the results obtained so far up to and including James Maynard's work of November 2013.