Poliéder

Poliédernek nevezzük a tér azon véges sok sokszögek által határolt részét, amely nem tartalmaz félegyenest (azaz korlátos). Alternatív definíció szerint egy olyan térbeli test, amelyet minden oldalról síkok határolnak. Poliéder például a kocka. A poliéder fogalma általánosítható magasabb dimenziójú vektorterekre is.

A trigondodekaéder egy olyan speciális poliéder, amelynek minden lapját szabályos háromszögek alkotják

Háromdimenziós poliéderek

A közismertebb háromdimenziós poliéderek közé tartoznak a kockákon kívül a tetraéderek, a sokszög alapú hasábok, gúlák és a paralelepipedonok. A kristályok, dobótestek, piramisok, a nyitott ajtajú szekrények poliédereknek tekinthetők. Nem poliéderek a gömbök, golyók, flakonok, tortaszeletek, mivel görbe vonalú határuk is van. Speciális poliéderek a szabályos testek.

Egy 24 csúcsú, 72 élű és 48 lapú tórikus poliéder

A konvex poliéderekre fennáll Euler törvénye:

$C+L-E=2.$

ahol C a csúcsok, L a lapok és E az élek száma.

Általánosabban, az összefüggő poliéderekre

$C+L-E=\chi .$

ahol χ a poliéder Euler-karakterisztikája. A tórusz, és a tórikus poliéderek karakterisztikája nulla.

Példa:

egy 24 csúcsú, 72 élű és 48 lapú tórikus poliéder:

$C+L-E=24-72+48=0.$

Szimmetria

A szabályos poliéderek azok, amiket egybevágó szabályos sokszöglapok határolnak, és amiknek csúcsai egyformák. Három dimenzióban öt, négy dimenzióban hat, magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos test létezik.

Ha a szabályos testekre vonatkozó kikötések közül egyes feltételeket elhagyunk, akkor hasábokat, arkhimédeszi testeket kapunk. Az ezekbe a kategóriákba nem tartozó, de szabályos lapokkal határolt konvex testek a Johnson-testek. További nagy fokú szimmetriát mutatnak az arkhimédészi testek duálisai, a Catalan-testek.

Általános poliéderek

Véges dimenziós vektorterekben is definiálhatóak a konvex poliéderek hipersíkokkal határolt félterek metszeteként lineáris egyenlőtlenségrendszerrel. Legyenek az $a_{1},\dots ,a_{n}$ vektorok hipersíkok normálvektorai. A konvex poliéder ezeknek az egyik oldali féltereinek metszeteként adódik:

$P:=\bigcap _{i=1}^{n}\{x\;|\;a_{i}\cdot x\leq b_{i}\}=\{x\;|\;Ax\leq b\}$

ahol A az $a_{i}$ sorvektorokból álló mátrix.

A poliéder korlátos, ha van gömb, ami tartalmazza. Ezeket politópoknak is nevezik. A politópok előállnak csúcsaik konvex kombinációjaként. A kétdimenziós politópokat poligonnak is hívják.

Minden konvex poliéder előáll, mint az extremális irányai által generált kúp és a csúcsai által generált csúcsos poliéder összege:

P: = conv{X} + cone{E}

Két dimenzióban a poliéder határának egyenesek, extremális irányainak félegyenesek felelnek meg.

Egy konvex poliéder egy lapja megkapható a poliéder és egy alkalmas hipersík metszeteként. Ez a hipersík a poliéder egy támaszhipersíkja, aminek a poliéder teljes egészében az egyik oldalán fekszik. Szemléletesen, ez megfelel annak, hogy a háromdimenziós térben hozzátolunk egy síkot a poliéderhez. Formálisan, ha a poliéder minden pontja eleget tesz az

$a^{T}x\leq b$

egyenlőtlenségnek, akkor a poliéder és az

$\{x|a^{T}x=b\}$

halmaz metszete lap, és minden lap megkapható így.

Speciálisan, az

$0^{T}x\leq 0$

egyenlőtlenség az egész, és az

$0^{T}x\leq 1$

egyenlőtlenség az üres halmazt adja. Egy n dimenziós poliéder egy oldala egy (n-1) dimenziós poliéder. Például, egy háromdimenziós kocka lapjai a kocka lapjai, élei, csúcsai, de az egész kocka és az üres halmaz is, de csak a kétdimenziós lapok oldalak.

Egy konvex poliéder csúcsa a poliéder egy olyan pontja, ami nem kapható meg a poliéder más pontjainak konvex kombinációjaként. Ez megfelel a szemléletes elképzelésnek. Ha egy poliédernek van csúcsa, akkor a poliéder csúcsos. Egy poliéder egy csúcsa elfajult, ha több oldal tartalmazza, mint amekkora a poliéder dimenziója. Például egy négyzet alapú gúla csúcspontja elfajult, mert négy oldal közös pontja. Egy konvex poliéder egész, ha csúcsainak minden koordinátája egész. A csúcsok éppen a nulladimenziós lapok.

Ezek fontos fogalmak az operációkutatásban, a lineáris és az egész értékű optimalizálásban, mivel egy lineáris program mindig egy csúcson veszi fel optimumát.

Speciális poliéderek

• Szilassi-poliéder [1]
• Császár-féle test [2]
• the Csaszar and Szilassi polyhedra
• Spidron [3], en:Spidron
• Polyedergarten

Források

• Reiman István: Geometria és határterületei
• Obádovics J. Gyula: Matematika
• Frank András: Operációkutatás

Kapcsolódó szócikkek

• Dürer-sejtés
• Euler-féle poliédertétel