Pell-egyenlet

A Pell-egyenlet (John Pell után) az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x²-dy²=1, ahol d>1 olyan egész szám, amely nem négyzetszám, és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor ${\sqrt {d}}$ irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

$\left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|<{\frac {1}{y^{2}}}.$

Ha K a $2{\sqrt {d}}+1$ után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

$\left|{\frac {x^{2}-dy^{2}}{y^{2}}}\right|=\left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|\left|{\frac {x}{y}}+{\sqrt {d}}\right|<{\frac {K}{y^{2}}},$

azaz $|x^{2}-dy^{2}|$ értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

$x^{2}-dy^{2}=X^{2}-dY^{2}=L$

másrészt x≡X mod L és y≡Y mod L. Ekkor

$L^{2}=(x^{2}-dy^{2})(X^{2}-dY^{2})=(xX+dyY)^{2}-d(yX+Yx)^{2}=(xX-dyY)^{2}-d(yX-Yx)^{2}$

és itt az utóbbi jobb oldali számok közül xX-dyY és yX-Yx oszthatók L-lel (xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L), azaz Lu és Lv alakúak. Így végigosztva L^2-tel: $u^{2}-dv^{2}=1$ adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0, azaz x/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás

Ha $(x_{1},y_{1})$ az $x^{2}-dy^{2}=1$ egyenlet legkisebb pozitív megoldása, akkor a többit a $x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{n}$ képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása. Hua Lo Keng az $x^{2}-dy^{2}=4$ egyenlet (d nem négyzetszám, $d\equiv 0,1{\pmod {4}}$) legkisebb megoldására az $O(e^{{\sqrt {d}}\log d})$ becslést adta.

Források

• A Pell-egyenletről Archiválva 2014. március 15-i dátummal a Wayback Machine-ben
• A Pell-egyenlet Archiválva 2013. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben