Mertens-függvény

A számelméletben a Mertens-függvény meghatározása:

A Mertens-függvény n=10⁴-ig

A Mertens-függvény n=10⁷-ig

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)$,

minden n természetes számra, ahol $\mu (k)$ a Möbius-függvény. Franz Mertens német matematikusról nevezték el.

Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden x-re |M(x)| ≤ x.

A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a prímszámtétel ekvivalens azzal, hogy $M(x)=o(x)$. A Riemann-sejtés pedig azzal ekvivalens, hogy minden $\varepsilon >0$-ra $M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })$.

Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas c-re $|M(x)|<c{\sqrt {x}}$, sőt, hogy c=1 megfelel, azaz $|M(x)|<{\sqrt {x}}$ teljesül minden x>1-re. Ezt Thomas Joannes Stieltjes már 1885-ben kimondta, sőt, egy Charles Hermite-hez írt levelében azt állította, hogy be is bizonyította. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983. október 18-án sikerült megcáfolnia Andrew Odlyzkónak és H. J. J. te Rielenek hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra és Lovász László nevezetes LLL-algoritmusát.

Azt is belátták, hogy végtelen sokszor teljesül $M(x)>1{,}06{\sqrt {x}}$, illetve végtelen sokszor teljesül $M(x)<-1{,}009{\sqrt {x}}$.

Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan x szám létezését bizonyította (ún. egzisztenciabizonyítás), amire $|M(x)|>{\sqrt {x}}$, nem sikerült még becslést sem adnia x nagyságára.

1985-ben Pintz János mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen x

$10^{3,21\cdot 10^{4}}$

alatt. (Itt $o,O$ az ordó jelölésre utal.)

Kiszámítás

A Mertens-függvényt az idők során egyre nagyobb n-ekre számolták ki.

Személy	Év	Határ
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1,5 · 105
von Sterneck	1901	5 · 105
von Sterneck	1912	5 · 106
Neubauer	1963	108
Cohen és Dress	1979	7,8 · 109
Dress	1993	1012
Lioen és van der Lune	1994	1013
Kotnik és van der Lune	2003	1014

Mathematica

A Mathematica programban a Sum[MoebiusMu[n], {n, a}] összegzéssel számolható ki a függvény értéke a-ra.