"फलन": अवतरणों में अंतर

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06:18, 2 सितंबर 2014 का अवतरण सम्पादन Sanjeev bot (वार्ता \| योगदान) बॉट-समूह, प्रबंधक 4,26,104 edits छो बॉट से अल्पविराम (,) की स्थिति ठीक की। ← पिछला अंतर		21:44, 1 जनवरी 2021 के समय का अवतरण सम्पादन पूर्ववत करें रोहित साव27 (वार्ता \| योगदान) स्वतःपरीक्षित सदस्य, रोलबैकर 72,375 edits छो 2409:4053:2E19:CCBB:B238:738E:9A8C:A007 (Talk) के संपादनों को हटाकर रोहित साव27 के आखिरी अवतरण को पूर्ववत किया टैग: वापस लिया
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पंक्ति 5: स्पष्ट है कि किसी फलन के साथ दो प्रकार की राशियां सम्बन्धित होती हैं - * एक वे जिनका मान ज्ञात होता है, या दिया गया होता है - इनको [[परतंत्र और स्वतंत्र चर\|स्वतंत्र चर]], argument या [[इन्पुट]] कहते हैं; * दूसरी वह जिसके मान की गणना करनी होती है, या जिसका मान निकालना होता है -[[परतंत्र और स्वतंत्र चर\|परतंत्र चर]], फलन का मान या [[आउटपुट]] कहते हैं। चर राशियों के एक दिये हुए मान के लिये फलन का एक और केवल एक मान होता है। फलन की संकल्पना (कांसेप्ट), गणित की सबसे मूल एवं महत्वपूर्ण संकल्पनाओं में से एक है। फलन की संकल्पना का विकास एकाएक नहीं हुआ बल्कि इसका विकास कोई दो सौ वर्षों में धीरे-धीरे हुआ और अब भी जारी है। दो राशियों का सम्बन्ध दिखाती एक सूची (टेबल), एक सूत्र (फार्मूला) तथा एल्गोरिद्म आदि फलन के कुछ उदाहरण हैं। फलन किसके लिए परिभाषित होता ~~== फलन की परिभाषा ==~~ '''फलन''' की औपचारिक परिभाषा [[कार्तीय गुणन]] (Cartesian product) के आधार पर दी जाती है ताकि किसी प्रकार की अनिश्चितता या संदिग्धता न रहे। दो समुच्चयों ''X'' तथा ''Y'' का कार्तीय गुणन सभी [[क्रमित युग्म\|क्रमित युग्मों]] (''x'', ''y'') का समुच्चय है, जहाँ ''x'' सदस्य है ''X'' का, एवं ''y'' सदस्य है ''Y'' का। ''x'' और ''y'' को 'क्रमित युग्म के अवयव' कहा जाता है। ''X'' और ''Y'' के कार्तीय गुणन को ''X'' × ''Y'' द्वारा निरूपित किया जाता है। ''X'' से ''Y'' पर फलन ''f'' कार्तीय गुणनफल ''X'' × ''Y'' का [[उपसमुच्चय]] है, बशर्ते निम्नलिखित शर्तों का पालन होता है : ''X'' का प्रत्येक अवयव उपसमुच्चय के '''एक और केवल एक''' क्रमित युग्म का प्रथम अवयव है<ref>{{cite book \|last=Hamilton \|first=A. G. \|title=Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics \|page=83 \|publisher=Cambridge University Press \|isbn=0-521-24509-5 \|url=http://books.google.com/books?id=OXfmTHXvRXMC&pg=PA83&dq=%22function+is+a+relation%22 \|access-date=28 जून 2014 \|archive-url=https://web.archive.org/web/20140328224037/http://books.google.com/books?id=OXfmTHXvRXMC&pg=PA83&dq=%22function+is+a+relation%22 \|archive-date=28 मार्च 2014 \|url-status=live }}</ref> दूसरे शब्दों में ''X'' के प्रत्येक अवयव ''x'' के लिये केवल एक अवयव ''y'' ऐसा है कि क्रमित युग्म (''x'', ''y'') फलन ''f'' को पारिभाषित करने वाले उपसमुच्चय का सदस्य है। Line 62 ⟶ 63: '''(५) एक सम्बन्ध के रूप में''' - जैसा की नीचे [[क्रमित युग्म]] के समुच्चय के रूप में दर्शाया गया है। :: <math>f = \{(1,1), (2,4), (3,9), (4,16),\ldots\}</math> Line 68 ⟶ 69: :: : <math>f = (g^\prime\circ h)^{-1}</math> == इन्हें भी देखें == ==सन्दर्भ==▼ * [[परतंत्र और स्वतंत्र चर]] * [[प्रतिचित्रण]] ▲== सन्दर्भ == {{टिप्पणीसूची}} == बाहरी कड़ियाँ == ~~== वाह्य सूत्र ==~~ * [https://web.archive.org/web/20071010025724/http://functions.wolfram.com/ The Wolfram Functions Site] gives formulae and visualizations of many mathematical functions. * [https://web.archive.org/web/20070930190736/http://www.shodor.org/interactivate/activities/FunctionFlyer/ Shodor: Function Flyer], interactive Java applet for graphing and exploring functions. * [https://web.archive.org/web/20071010084601/http://math.hws.edu/xFunctions/ xFunctions], a Java applet for exploring functions graphically. * [https://web.archive.org/web/20071011001503/http://rechneronline.de/function-graphs/ Draw Function Graphs], online drawing program for mathematical functions. * [https://web.archive.org/web/20071108075421/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/FunctionMain.shtml Functions] from [[cut-the-knot]]. * [~~http~~https://~~www~~web.archive.org/web/20071011172441/http://apronus.com/provenmath/cartesian.htm Function at ProvenMath]. * [https://web.archive.org/web/20190502025947/http://curvas21.blogspot.com/ Curvas]. {{फलन}} [[श्रेणी:गणित]]▼ ▲[[श्रेणी:गणित]] ~~{{Link FA\|lmo}}~~ [[श्रेणी:फलन और प्रतिचित्रण\|*]]