סליל הלמהולץ

סליל הלמהולץ

מערכת סלילי הלמהולץ היא מערכת המאפשרת יצירה של שדה מגנטי כמעט אחיד. המערכת קרויה על שמו של הפיזיקאי הגרמני הרמן פון הלמהולץ.

תיאור המערכת

מערכת סלילי הלמהולץ מורכבת מצמד סלילים זהים אשר ממוקמים אחד מול השני, ובמרחק השווה בדיוק לרדיוס של כל אחד מהם. מזרימים דרך שני הסלילים זרם חשמלי באותה העוצמה ובאותו הכיוון. במרחב שבין שני הסלילים ייווצר שדה מגנטי כמעט קבוע בגודלו ובכיוונו. עוצמת השדה היא:

$B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}$

פיתוח

חישוב מדויק של השדה בכל נקודה במרחב הוא קשה למדי ומצריך שימוש בפונקציות בסל. אולם, החישוב של השדה על הציר העובר דרך מרכז שני הסלילים הוא פשוט יותר, עקב הסימטריה של הבעיה. השדה שיוצר סליל בעל n ליפופים, רדיוס R ושזורם בו זרם I, במרחק x מעל מרכזו הוא:

$B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}$

נניח שסליל אחד נמצא בנקודה 0 וסליל שני מולו בנקודה a. השדה שייווצר כתוצאה מסופרפוזיציה של שני השדות הוא:

$B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}+{\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(a-x)^{2})^{3/2}}}$

עקב מבנה הבעיה, הפונקציה הזאת חייבת להיות סימטרית סביב הנקודה a/2, ולכן הנגזרת בנקודה זו מתאפסת. אם נדרוש שגם הנגזרת השנייה תתאפס נקבל:

$a=R$

אם נחשוב על הפיתוח לטור טיילור של הפונקציה סביב R/2 נבין את חשיבות ההתאפסות של הנגזרת השנייה. ברור שעקב הסימטריה כל החזקות האי-זוגיות יתאפסו. בזכות הדרישה שלנו להתאפסות הנגזרת השנייה גם האיבר הריבועי יתאפס. כלומר, האיבר הראשון שגורם לשינוי הוא x^4 ולכן הפוקציה תשתנה מאוד לאט.

שימושים

• סליל הלמהולץ משמש בין השאר כאחד המרכיבים במכשיר הה-MRI.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא סליל הלמהולץ בוויקישיתוף