המחט של בופון

המחט המסומנת באות a חוצה את הפס, בעוד מחט b מצויה בין שני פסים

במתמטיקה, בעיית המחט של בופון היא שאלה שהוצגה לראשונה על ידי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון ב-1733:

נניח שיש לנו רצפה עשויה רצועות מקבילות של עץ, כל אחת ברוחב זהה, ונפיל מחט על הרצפה. מה ההסתברות כי המחט תנוח על הקטע שבין שתי רצועות?

בעיה זו הייתה הדוגמה הראשונה בגאומטריה הסתברותית. באמצעות הפתרון לבעיה ניתן לחשב את פאי בשיטת מונטה קרלו, אם כי ברור למדי שבופון עצמו לא ערך ניסויים מעין זה.

פתרון

ניסוח הבעיה

נתונה מחט באורך $l$, אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק $l\leq d$, מהי ההסתברות כי המחט תחצה את הקו?

פתרון

על מרכז x נמצאת מחט אדומה ומחט כחולה. המחט האדומה נמצאת באזור האפור ולכן היא עוברת את הקו משמאל.

יהי $x$ המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי $\theta$ הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים: $x\leq {\frac {l}{2}}sin\theta$

למחט קטנה, כאשר $d>l$ יתקיים: $P=\int _{0}^{2\pi }{\frac {l\left|cos\theta \right|}{d}}{\frac {d\theta }{2\pi }}$ ובחישוב האינטגרל נקבל: $P={\frac {2l}{\pi d}}$

במקרה ש $d=l$: $P={\frac {2}{\pi }}=0.636619...$

פתרון נוסף

נסמן ב-X את המשתנה המקרי שסופר את מספר הקוים שמחט באורך 1 תחתוך. נשים לב ש-X תמיד (למעט מקרים בהסתברות אפס) שווה ל-1 כשהמחט חותכת קו, ו-0 אחרת. לכן אנחנו רוצים לחשב את [E[X (נסמן ב-e).

נשים לב שמלינאריות התוחלת, אם נזרוק מחט באורך l, אז מספר הקווים שהיא תחתוך בתוחלת הוא le, ואם נזרוק כמה מחטים (אפילו אם הן מחוברות, שכן התוחלת ליניארית גם כאשר המשתנים תלויים) תוחלת מספר הפעמים שהן יחתכו קווים היא סכום התוחלות שלהם. מכך נובע שלכל קו המורכב ממספר קטעים שאורכו הכולל l, תוחלת מספר הקווים שיחתכו הוא le.

כעת נקח סדרה של מצולעים משוכללים שהיקפם שווה ל-2π, ומספר צלעותיהם שואף לאינסוף. אז הם שואפים למעגל שהיקפו 2π, ומרציפות גם תוחלת מספר הקווים שהמעגל יחתוך היא 2π.

מצד שני, זה מעגל שקוטרו 1, ולכן הוא תמיד יחתוך את הקווים בדיוק פעמיים. מכאן נובע π=2e, ולכן e=2/π.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המחט של בופון בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', המחט של בופון, באתר "לא מדויק", 14 במרץ 2014
• Buffon: did he actually throw sticks? E. Behrends and J. Buescu, EMS Newsletter, June 2014.
• המחט של בופון, באתר MathWorld (באנגלית)