גרף הפונקציה סינוס
בערך זהסימון מתמטי .
סינוס (מסומן ב-
sin
{\displaystyle \sin }
פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת ). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה , בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. גרף הפונקציה משמש בפיזיקה לתיאור גל .
במשולש זה, סינוס הזווית A שווה
a
c
{\displaystyle {\frac {a}{c}}}
בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס בזווית נתונה היא היחס בין הניצב שמול הזווית לבין היתר במשולש ישר-זווית . הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 מעלות (או
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
רדיאנים ), כלומר לזווית ישרה . משולשים עם זוויות זהות הם משולשים דומים , ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית מוגדר היטב .
הגדרת הסינוס של מספר כלשהו
θ
{\displaystyle \ \theta }
במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל מספר ממשי : הסינוס של מספר כלשהו
θ
{\displaystyle \ \theta }
θ
{\displaystyle \ \theta }
אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות טור טיילור :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sin x=\ x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}
ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב סינוס לזוויות קטנות :
sin
x
≈
x
{\displaystyle \sin x\approx x}
הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם למספרים מרוכבים . באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \ \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
וכן,
sin
z
=
sinh
(
i
z
)
i
{\displaystyle \sin z={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}}
פונקציה היפרבולית )מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.
ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות שבר משולב :
sin
x
=
x
1
+
x
2
2
⋅
3
−
x
2
+
2
⋅
3
x
2
4
⋅
5
−
x
2
+
4
⋅
5
x
2
6
⋅
7
−
x
2
+
⋱
.
{\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}
שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.
דרך נוספת היא בעזרת מכפלה אינסופית :
sin
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
2
π
2
n
2
)
{\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של אוילר לבעיית בזל .
פונקציית הסינוס היא אי-זוגית , דהיינו:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)}
פונקציית הסינוס הממשית היא מחזורית , בעלת מחזור של
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
פונקציית הסינוס רציפה , גזירה ואינטגרבילית לכל
x
{\displaystyle x}
לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון מהצורה:
x
=
π
2
+
2
π
k
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi k}
x
=
−
π
2
+
2
π
k
{\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}
k
{\displaystyle k}
מספר שלם . הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום (-1 ).
לפונקציה יש אינסוף שורשים מהצורה:
x
=
π
k
{\displaystyle x=\pi k}
k
{\displaystyle k}
התמונה של פונקציית הסינוס הממשית היא:
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית חסומה בכל תחום ההגדרה שלה,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
הנגזרת של פונקציית הסינוס היא פונקציית הקוסינוס :
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}
לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה
x
0
{\displaystyle x_{0}}
גבול :
lim
x
→
x
0
sin
x
−
sin
x
0
x
−
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin x-\sin x_{0}}{x-x_{0}}}}
על פי הזהות הטריגונומטרית :
sin
θ
−
sin
φ
=
2
cos
(
θ
+
φ
2
)
sin
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)\;}
lim
x
→
x
0
sin
x
−
sin
x
0
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
2
cos
(
x
+
x
0
2
)
sin
(
x
−
x
0
2
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
sin
(
x
−
x
0
2
)
x
−
x
0
2
⋅
cos
(
x
+
x
0
2
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin x-\sin x_{0}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {2\cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{\frac {x-x_{0}}{2}}}\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;}
נשתמש בגבול הטריוויאלי:
lim
x
→
x
0
x
−
x
0
2
=
0
{\displaystyle \ \lim _{x\to x_{0}}{x-x_{0} \over 2}=0}
גבול המפורסם :
lim
t
→
0
sin
(
t
)
t
=
1
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\sin(t)}{t}}=1}
lim
x
→
x
0
sin
(
x
−
x
0
2
)
x
−
x
0
2
⋅
cos
(
x
+
x
0
2
)
=
lim
x
→
x
0
1
⋅
cos
(
x
+
x
0
2
)
=
cos
(
2
x
0
2
)
=
cos
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {\sin \left({x-x_{0} \over 2}\right)\;}{\frac {x-x_{0}}{2}}}\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;=\lim _{x\to x_{0}}1\cdot \cos \left({x+x_{0} \over 2}\right)\;=\cos \left({2x_{0} \over 2}\right)\;=\cos x_{0}}
מש"ל.
בעזרת כלל השרשרת ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית :
פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה
f
″
(
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle \ f''(x)=-f(x)}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle \ f(0)=0}
f
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle \ f'(0)=1}
[ 1]
הפונקציה הקדומה של הסינוס היא מינוס קוסינוס:
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C}
אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי .
את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות
y
1
′
=
y
2
,
y
2
′
=
−
y
1
{\displaystyle y_{1}'=y_{2},y_{2}'=-y_{1}}
y
1
(
0
)
=
0
,
y
2
(
0
)
=
1
{\displaystyle y_{1}(0)=0,y_{2}(0)=1}
טורי מקלורין :
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
מכיוון שפעולת הגזירה היא אופרטור ליניארי , גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.
(
sin
(
x
)
)
′
=
(
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
)
′
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
x
2
n
+
1
)
′
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
cos
(
x
)
{\displaystyle (\sin(x))'={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\Bigr )}'=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(x^{2n+1})'}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\cos(x)}
הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את המעגליות של השימוש בכלל לופיטל כדי להוכיח את הגבול של sin(x)/x , אך דורשות הוכחה דומה כדי להראות כי הפונקציות האלו יכולות לשמש בחישובי טריגונומטריה .
ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
x (זווית)
sin x
מעלות
רדיאנים
גראדים
במדויק
קירוב עשרוני
0°
0
0g
0
0
180°
π
{\displaystyle \pi }
200g
15°
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
162 /3 g
6
−
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}
0.258819045102521
165°
11
⋅
π
12
{\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{12}}}
1831 /3 g
30°
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}
331 /3 g
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0.5
150°
5
⋅
π
6
{\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}}
1662 /3 g
45°
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
50g
1
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}
0.707106781186548
135°
3
⋅
π
4
{\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{4}}}
150g
60°
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
662 /3 g
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
0.866025403784439
120°
2
⋅
π
3
{\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}}
1331 /3 g
75°
5
⋅
π
12
{\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{12}}}
831 /3 g
6
+
2
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}
0.965925826289068
105°
7
⋅
π
12
{\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{12}}}
1162 /3 g
90°
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
100g
1
1
sup>1
זהויות טריגונומטריות פונקציית הסינוס מקיימת:
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle \ \sin(-\theta )=-\sin \theta }
sin
(
π
−
θ
)
=
sin
θ
{\displaystyle \ \sin(\pi -\theta )=\sin \theta }
בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים):
cos
θ
=
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \cos \theta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}
,
tan
θ
=
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
,
cot
θ
=
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \cot \theta ={{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}
,
csc
θ
=
1
sin
θ
{\displaystyle \csc \theta ={1 \over \sin \theta }}
,
sec
θ
=
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \sec \theta ={1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}
סכום זוויות:
sin
(
θ
±
φ
)
=
sin
θ
cos
φ
±
cos
θ
sin
φ
{\displaystyle \sin(\theta \pm \varphi )=\sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi }
זווית כפולה:
sin
2
θ
=
2
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle \ \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }
,
sin
3
θ
=
3
sin
θ
−
4
sin
3
θ
{\displaystyle \ \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }
sin
n
θ
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
k
θ
sin
n
−
k
θ
sin
(
1
2
(
n
−
k
)
π
)
{\displaystyle \sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
חצי זווית:
sin
θ
2
=
±
1
−
cos
θ
2
{\displaystyle \sin {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}
סכום סינוסים:
sin
θ
+
sin
φ
=
2
sin
(
θ
+
φ
2
)
cos
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)}
,
sin
θ
−
sin
φ
=
2
cos
(
θ
+
φ
2
)
sin
(
θ
−
φ
2
)
{\displaystyle \sin \theta -\sin \varphi =2\cos \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)\;}
גרף פונקציית הארכסינוס הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס נקראת ארקסינוס ומסומנת
arcsin
{\displaystyle \ \arcsin }
sin
−
1
{\displaystyle \ \sin ^{-1}}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \ [-1,1]}
חד-חד-ערכית , ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \ [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
משפט הסינוסים משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין צלעות המשולש וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
R
{\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R}
כאשר הזוויות
α
,
β
,
γ
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
מעגל החוסם את המשולש.
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
![{\displaystyle \ [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3175907f761b9e16bc6c405d2b521caa35e8062d)
![{\displaystyle \ [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaacb3f878b5dedbf0335128c83386692e45f9e2)
