מונה גדול

בתורת הקבוצות, מונים גדולים הוא שם כללי לאוסף של תכונות אפשריות עבור מספרים מונים אינסופיים, שלא ניתן להוכיח כי הן עקביות במסגרת מערכת האקסיומות הסטנדרטית של תורת הקבוצות, ZFC, אך לא ידוע כי הן סותרות את האקסיומות. תכונות אלה מצביעות בדרך כלל על כך שהמונה הוא גדול בהרבה ממונים אינסופיים רגילים בתורת הקבוצות (כגון $\!\,\aleph _{0}$, עוצמת הרצף, או מונים דומים), ומכאן נובע השם. יש להעיר כי קיימים מושגים הנכללים במסגרת תורת המונים הגדולים שהם אינם מונים כלל, למשל 0^#.

ההיררכיה של המונים הגדולים

המונים הגדולים הידועים כיום מסודרים בסדר ליניארי, במובן שמונה מסוג א' נחשב גדול יותר ממונה מסוג ב' אם קיום מונה מסוג א' גורר את העקביות של קיום מונה מסוג ב'. הסדר הזה גורם לאוסף התכונות של המונים הגדולים להיות אמת מידה עבור חוזק ההתיישבות של טענות בתורת הקבוצות: ככל שאנו נדרשים להניח קיום של מונים יותר ויותר גדולים כדי להוכיח את הטענות שלנו - הן רחוקות יותר ויותר מהתורה הבסיסית של ZFC.

לדוגמה, רוברט סולוביי הוכיח כי אם קיים מונה אי נשיג אז ניתן (על ידי כפייה) לבנות מודל של ZF בו כל הקבוצות של הממשיים הן מדידות לבג. בהמשך, שלח הוכיח כי דרישה זו היא הכרחית, כיוון שמתוך מודל כזה ניתן לבנות מודל שמכיל מונה אי נשיג. בכך הוא הראה כי חוזק ההתיישבות הטענה "קיים מודל של ZF בו כל הקבוצות מדידות לבג" הוא בדיוק קיום מונה אי-נשיג.

לא ידוע היום האם העובדה כי כל זוג מושגים של מונים גדולים ניתן להשוואה נובעת ממשפט מתמטי עמוק, או שזו רק תופעה מקרית.

נעיר כי ברב המקרים אם מונה מסוג א' חזק יותר ממונה מסוג ב' אז אכן במודל בו יש מונה מסוג א' יהיה מתחתיו מונה מסוג ב', אך זה לא הכרחי ויש מקרים בהם שני הסדרים לא תואמים.

מוטיבציה

לאחר שגדל הוכיח כי קיימים משפטים שאינם ניתנים להוכחה או להפרכה במסגרת ZFC, הוא העלה את ההשערה שמשפטים אלו יוכרעו במודל בו יש מספיק סודרים. למשל, אמנם לא ניתן להוכיח את העקביות של ZFC מתוכה אבל היא נובעת מהנחת קיום מונה אי-נשיג. הוא שיער ספציפית שהשערת הרצף תוכרע באופן הזה.

כיום אנו יודעים שהשערת הרצף איננה תלויה בקיום של מונים גדולים (אם כי אקסיומות כפייה חזקות גוררות $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$), אך הרעיון שמודל בו לא נמצא מונה גדול מסוים הוא בעצם חלק מוגבל ממודל בו המונה הגדול נמצא, מופיע פעמים רבות: למשל, אם $\kappa$ המונה הקומפקטי חלש הראשון אז $V_{\kappa }$ הוא מודל עבור הטענה שאין מונים קומפקטיים חלשים. באופן עדין יותר, אם יש בעולם מונה מדיד אז L מכיל את המונה, אך הוא לא מדיד שם - כלומר רק הנוכחות של הסודר המתאים לא מספיקה.

תכונות חלוקה

חלק משמעותי ממושגי המונים הגדולים קשור למושגי חלוקה כאלו ואחרים, כלומר להכללות של משפט רמזי (בגרסתו האינסופית). משפט רמזי גורס כי בגרף אינסופי יש קליקה או אנטי-קליקה אינסופית. בניסוח שקול - בכל פונקציה מאוסף הזוגות הלא סדורים של $\omega$ ל-2 (כלומר {0,1}) יש תת-קבוצה אינסופית הומוגנית, כלומר תת-קבוצה H כך שכל זוג סדור מתוכה מקבל את אותו הערך (תמיד או 0 או 1).

הכללות של התכונה הזו מובילות לשלל מושגי מונים גדולים חשובים. למשל, אם נדרוש שלכל פונקציה מאוסף הזוגות הלא סדורים של $\kappa$ ל-2 תהיה תת-קבוצה הומוגנית בגודל $\kappa$ - נקבל מונה קומפקטי חלש. אם נחזק את הדרישה, ונדרוש שכל פונקציה מאוסף כל תתי-הקבוצות הסופיות של המונה ל-2 תהיה תת-קבוצה בגודל $\kappa$ שהיא הומוגנית בכל רכיב (ערך הפונקציה עליה תלוי רק בגודל תת-הקבוצה הסופית), נקבל מונה רמזי, החזק יותר.

מונים אלו באים לידי ביטוי בין היתר בשאלות הקשורות לתורת המודלים. למשל, נניח כי קיים לנו מודל A בשפה בת מנייה כלשהי, בה יש סימן יחס חד מקומי R (כלומר תת-קבוצה מובחנת של העולם), $|A|=\kappa >|R|=\lambda$. משפט לוונהיים-סקולם מבטיח לנו שניתן לשנות את גודל A כרצוננו בלי לשנות את התורה מסדר ראשון של המודל, אך מה האפשרויות עבור הזוג (|A|,|R|)? סוג זה של שאלות נקרא "בעיות שני מונים", והן נפתרות בדרך כלל על ידי שימוש במונים גדולים. למשל, אם $\kappa$ מונה רמזי אז אפשר לקבל $|A|=\kappa ,\,|R|=\aleph _{0}$ (למעשה, בשביל התוצאה הזו מספיק תכונת חלוקה חלשה יותר שמתקבלת על ידי מונה רובוטום).

שיכונים אלמנטריים

מושג המונה המדיד, שנוצר בעקבות עבודות על בעיית המידה, נעשה משמעותי וחשוב בעקבות השימוש בעל-המסנן של המדיד כדי לבנות שיכון אלמנטרי לא טריוויאלי של העולם לתוך מחלקה של עצמו, $j:V\rightarrow M$.

שיכון אלמנטרי הוא פונקציה שמשמרת את הנוסחאות מסדר ראשון, כלומר לכל קבוצה X ולכל נוסחה:

$M\models \varphi (j(X))\iff V\models \varphi (X)$

לשיכון אלמנטרי לא טריוויאלי יש נקודה קריטית שזה הסודר הראשון בו $j(\alpha )>\alpha$. כאשר השיכון גדיר מתוך איברי V - הנקודה הקריטית היא מונה מדיד.

כך, למשל, סקוט הראה כי קיום מונה מדיד סותר את V=L, כיוון של-L אין תת-מחלקות שמקיימות את ZFC בהכרח אנחנו מקבלים כי $j:L\rightarrow L$ ולכן אם L מקיים "$\kappa$ המונה המדיד הראשון" אז אחרי הפעלת j נקבל ש-L מקיים "$j(\kappa )$ המונה המדיד הראשון" וזה לא אפשרי כי $\kappa <j(\kappa )$.

המחלקה M שמתאימה למונה מדיד $\kappa$ מקיימת תנאי סגירות מסוים: כל סדרה באורך $\kappa$ של איברים ב-M (שהיא איבר של V) היא איבר של M. תנאי סגירות זה, יחד עם שימוש באופן הבנייה המדויק של M, מאפשר לשקף תכונות רבות של המונה המדיד כלפי מטה - אם התכונה תלויה רק בקבוצת החזקה של המונה היא תתקיים גם בסודרים קטנים יותר.

ניתן לחזק את ההגדרה של מונה מדיד על ידי דרישת סגירות חזקה יותר. למשל אם נדרוש שלכל מונה $\lambda$ יהיה שיכון אלמנטרי עם נקודה קריטית $\kappa$ לתוך מחלקה שסגורה תחת סדרות באורך $\lambda$ נקבל מונה על-קומפקטי. במונה כזה $j(\kappa )>\lambda$. אם נדרוש סגירות חזקה יותר - סגירות תחת סדרות באורך $j(\kappa )$ נקבל את מושג המונה הענק וכן הלאה.

לסדרת החיזוקים האלו יש חסם ידוע, אותו הוכיח קנת' קונן - קיום שיכון אלמנטרי לא טריוויאלי מ-V ל-V אינו עקבי ב-ZFC. לא ידוע האם קיום שיכון אלמנטרי לא טריוויאלי $j:V_{\lambda +1}\rightarrow V_{\lambda +1}$ יכול להיות עקבי. בנוסף, ההוכחה של קונן משתמשת באקסיומת הבחירה ולא ידוע האם קיום שיכון אלמנטרי מ-V ל-V אינו עקבי גם ללא אקסיומת הבחירה.

תכונות עדינות יותר מתקבלות מקיום שיכון אלמנטרי של מודל פנימי בתוך V. כך למשל קיום שיכון אלמנטרי מ-L ל-L (שלא גדיר בתוך L) שקול לקיום 0^#.