בעיית מונטי הול
הבעיה של מונטי הול היא בעיה פשוטה בתורת ההסתברות שפתרונה אינו אינטואיטיבי, וגם מתמטיקאים מנוסים התקשו לקבל אותו.
תיאור הבעיה
הבעיה נובעת משעשועון אמריקאי בהנחיית מונטי הול. בסוף התוכנית, מראים לאחד השחקנים שלוש דלתות. מאחורי אחת יש פרס, ומאחורי שתי הדלתות האחרות - עזים. אם יבחר השחקן בדלת שמאחוריה הפרס, יזכה בו. אם לא, לא יקבל דבר. המנחה יודע מאחורי איזו דלת נמצא הפרס, אך השחקן לא יודע. לאחר שהשחקן בוחר דלת, המנחה פותח את אחת הדלתות האחרות, מראה מאחוריה עז, ושואל את השחקן האם ברצונו להחליף דלת. כאן מתחילה הבעיה.
לכאורה, אין שום הבדל בין החלפת דלת לבין הישארות עם הדלת שנבחרה. הרי הפרס נמצא מאחורי אחת משתי הדלתות, ולכן הסיכוי הוא 50-50. אולם בפועל, מתברר שלשחקן סיכוי של 2/3 לזכות בפרס אם יחליף דלת, ורק 1/3 אם יישאר עם הדלת שבחר ראשונה.
הנחות
שתי הנחות חשובות ניצבות בבסיס הבעיה, ובלעדיהן פתרונה אכן אינו הפתרון המוצג:
- המנחה תמיד פותח את אחת מהדלתות.
- המנחה בוחר תמיד דלת עם עז מאחוריה.
ההנחה הראשונה הכרחית, שכן אם, למשל, המנחה פותח את אחת מהדלתות רק אם השחקן בחר בדלת הנכונה בבחירה שלו, הסיכוי של השחקן לזכות אם יקשיב למנחה הוא תמיד 0. אם המנחה נחמד ומציע לשחקן להחליף רק אם טעה בבחירה הראשונה שלו, הסיכוי של השחקן לזכות הוא תמיד 1, וכן הלאה.
לרוע המזל, קל מאוד לקבל את ההנחות הללו כנכונות, ועדיין לא להבין מדוע הסיכוי לזכות אינו 50-50.
פתרון
הבעיה נראית מוזרה עוד יותר משמתברר שאם לאחר שהמנחה פותח את הדלת נותנים למתחרה נוסף לבחור דלת, הסיכויים שלו הם 50-50. מתעוררת השאלה, איזה מידע יש למתחרה המקורי שאין למתחרה החדש? התשובה הבסיסית היא שהמנחה מבצע בחירה בין שתי הדלתות שהמתחרה לא בחר בהן. בחירה זו מבוססת על אינפורמציה שהמנחה יודע, וזוהי האינפורמציה שעוברת למתחרה, אף אם קשה להבין זאת אינטואיטיבית.
להלן כמה הצעות לדרכי התבוננות על הבעיה:
- הסיכוי של השחקן לזכות בבחירה הראשונה שלו הוא 1/3. לאחר שהמנחה פותח את הדלת, הוא מבטיח למתחרה כי אם המתחרה טעה בבחירתו הראשונית, החלפת הדלת תביא לנצחונו. הסיכוי לטעות בבחירה הראשונית הוא 2/3, ולכן הסיכוי לזכות אם מחליפים הוא 2/3.
- מצב שקול לחלוטין למצב המתואר בבעיה הוא המצב שבו המנחה לא פותח דלת, אלא שואל את המתחרה אם הוא לא מעדיף לקחת את מה שנמצא מאחורי שתי הדלתות האחרות במקום הדלת שבחר. ברור אינטואיטיבית שאם יבחר המתחרה לקחת שתי דלתות במקום אחת, סיכוייו כפולים. פחות ברור מדוע המצב הזה שקול למצב שבו המנחה פותח דלת, אך רישום של כל המצבים האפשריים מראה זאת. ההבדל היחיד בין שני המצבים או שהתוצאה במקרה המקורי נראית "לא הגיונית" בעוד שבשני היא נראית "הגיונית".
- קל לטעות ולחשוב שאחרי שהשחקן ביצע את הבחירה שלו, פתיחה של דלת נוספת מעלה את הסיכוי שלו לזכות ל50%. היא לא, והסיכוי יהיה 50% רק אם השחקן יבחר מחדש דלת בצורה אקראית. זה נראה משונה, כי השחקן עשוי לבחור באותה דלת. איך ייתכן שבחירה מחודשת באותה דלת נותן סיכויי זכייה שונים? על כן נהוג לרוב להניח כי יש 100 דלתות, ולא שלוש. אם יבחר השחקן דלת אחת, ואז יפתחו 98 דלתות ויראו מאחוריהן עז, הסיכוי שלו לזכות מבלי שיחליט מחדש איזו דלת הוא רוצה לא יגדל. אם מניחים שכן, קל לראות את הסתירה שמגיעים אליה: השחקן אמור לזכות בחצי מהפעמים שבהן הוא בוחר דלת אחת מתוך 100, רק בגלל שלפני שפותחים את הדלת שלו פותחים 98 דלתות אחרות!
מי שעדיין לא משוכנע יכול לבדוק את התוצאות במחשב. חישוב סטטיסטי של מספר רב של משחקים מראה שמי שתמיד נשאר עם הדלת שלו זוכה ב33% מהפעמים, מי שתמיד מחליף דלת זוכה ב66% מהפעמים ומי שמגריל מחדש את הדלת שהוא בוחר אחרי שהמנחה פתח דלת אחת זוכה ב50% מהפעמים.