סדר חלקי

דיאגרמת הסה של איברי קבוצת החזקה של {x, y, z} כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא הכלה

בתורת הקבוצות, סדר חלקי על קבוצה X הוא יחס בינארי המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:

• היחס טרנזיטיבי, אנטי-סימטרי ורפלקסיבי - זהו יחס סדר חלש.
• היחס טרנזיטיבי, א-סימטרי ואי-רפלקסיבי - זהו יחס סדר חזק. (יחס טרנזיטיבי הוא א-סימטרי אם ורק אם הוא אי-רפלקסיבי).

אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.

מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על סימן אי-השוויון >, והיפוכו <. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז לסימן השוויון, כגון $\ \leq ,\preceq$, בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: $\ <,\prec$).

שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם $\ \leq$ יחס סדר חלש, אז היחס ($\ a\leq b$ אבל $\ a\neq b$) הוא יחס סדר חזק. אם $\ <$ יחס סדר חזק, אז היחס ($\ a<b$ או $\ a=b$) הוא יחס סדר חלש. מאידך, יחס סדר אינו יכול להיות גם חזק וגם חלש (אלא אם מדובר ביחס הריק על הקבוצה הריקה).

הקבוצה X, יחד עם יחס הסדר, נקראת קבוצה סדורה.

באופן כללי יכולים להיות שני איברים של X שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם יחס סדר חלקי. אם עבור כל $\!\,a,b\in X$ מתקיים $\!\,a\leq b$ או $\!\,b\leq a$ אז קוראים ליחס $\!\,\leq$ סדר ליניארי (או סדר מלא), ולזוג $\!\,\left(X,\leq \right)$ קבוצה סדורה ליניארית, או שרשרת.

דוגמאות:

• קבוצת כל המספרים הטבעיים $\!\,\left(\mathbb {N} ,\leq \right)$ עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם הממשיים.
• יחס החלוקה של מספרים טבעיים $|$ מוגדר כך ש-$m|n$ אם ורק אם $m$ מחלק את $n$. הקבוצה $\left(\mathbb {N} ,|\right)$ היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
• יחס החלוקה אינו יחס סדר על המספרים השלמים כי אינו אנטי-סימטרי: $1|-1$ וגם $-1|1$ אף על פי ש-$-1\neq 1$.

איברים מיוחדים

איבר $\!\,a\in X$ נקרא איבר מינימלי (איבר מזערי) אם לא קיים $\!\,b\in X$ השונה ממנו כך ש $\!\,b\leq a$.

איבר $\!\,a\in X$ נקרא איבר מקסימלי (איבר מרבי) אם לא קיים $\!\,b\in X$ השונה ממנו כך ש $\!\,a\leq b$.

איבר $\!\,a\in X$ נקרא מינימום (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל $\!\,b\in X$ מתקיים $\!\,a\leq b$.

איבר $\!\,a\in X$ נקרא מקסימום (או לחלופין איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל $\!\,b\in X$ מתקיים $\!\,b\leq a$.

ההבדל בין איבר מקסימלי למקסימום הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו מקסימום חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.

קבוצה סדורה ליניארית $\!\,\left(X,\leq \right)$ שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה $\!\,X$, נקראת קבוצה סדורה היטב.

כאשר מתקיים $x>y$ , ואין $z$ כך ש– $x>z>y$ , אז אומרים ש– $x$ מכסה את $y$ (ומכאן שבסדר צפוף אין שני איברים שמכסים זה את זה).

ראו גם

• מונחים בתורת הקבוצות