סדר חלקי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה אחרונה מ־13:34, 14 בספטמבר 2024

בתורת הקבוצות, סדר חלקי על קבוצה $X$ הוא יחס בינארי המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:

היחס רפלקסיבי, אנטי-סימטרי חלש, טרנזיטיבי – זהו יחס סדר חלש.
היחס אי-רפלקסיבי, אנטי-סימטרי חזק, טרנזיטיבי – זהו יחס סדר חזק.

הקבוצה $X$ , יחד עם יחס הסדר, נקראת קבוצה סדורה.

אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.

סימון

מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על סימן האי-שוויון $<$ , והיפוכו $>$ . הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז לסימן השוויון, כגון $\leq ,\preceq$ , בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: $<,\prec$ ).

יחסי סדר חלשים וחזקים

שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם $\leq$ יחס סדר חלש, אז היחס ( $a\leq b$ אבל $a\neq b$ ) הוא יחס סדר חזק. אם $<$ יחס סדר חזק, אז היחס ( $a<b$ או $a=b$ ) הוא יחס סדר חלש. יחס סדר לא יכול להיות גם חזק וגם חלש, למעט המקרה המנוון של היחס הריק על הקבוצה הריקה.

באופן כללי יכולים להיות שני איברים של $X$ שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם יחס סדר חלקי. אם עבור כל $a,b\in X$ מתקיים $a\leq b$ או $b\leq a$ אז קוראים ליחס $\leq$ סדר ליניארי או סדר מלא, ולזוג $(X,\leq )$ קבוצה סדורה ליניארית, או שרשרת.

דוגמאות

קבוצת כל המספרים הטבעיים המסומנת כך: $(\mathbb {N} ,\leq )$ עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם הממשיים.
יחס החלוקה של מספרים טבעיים המסומן כך: $\mid$ מוגדר כך: $m\mid n$ אם ורק אם $m$ מחלק את $n$ ללא שארית. הקבוצה המחולקת $(\mathbb {N} ,\mid )$ היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים זה את זה ללא שארית. יחס החלוקה אינו יחס סדר על המספרים השלמים כי אינו אנטי-סימטרי: $1\mid -1$ וגם $-1\mid 1$ אף כי $-1\neq 1$ .

איברים מיוחדים

איבר $a\in X$ נקרא איבר מינימלי או איבר מזערי אם לא קיים $b\in X$ השונה ממנו עבורו $b\leq a$ .
איבר $a\in X$ נקרא איבר מקסימלי או איבר מרבי אם לא קיים $b\in X$ השונה ממנו עבורו $a\leq b$ .
איבר $a\in X$ נקרא מינימום (גם: איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל $b\in X$ מתקיים $a\leq b$ .
איבר $a\in X$ נקרא מקסימום (גם: איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל $b\in X$ מתקיים $b\leq a$ .

ההבדל בין איבר מקסימלי למקסימום הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו מקסימום חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.

בקבוצה סדורה ליניארית $(X,\leq )$ שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה של $X$ , נקראת קבוצה סדורה היטב.

כאשר מתקיים $x>y$ , ואין $z$ עבורו $x>z>y$ , אזי אומרים כי $x$ מכסה את $y$ (ומכאן שבסדר צפוף אין שני איברים שמכסים זה את זה).

ראו גם

תורת הקבוצות - מונחים

קישורים חיצוניים

סדר חלקי, באתר MathWorld (באנגלית)
גדי אלכסנדרוביץ', תורת הקבוצות - יחסי סדר, באתר "לא מדויק", 10 בינואר 2020

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|280px|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של {x, y, z} כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]. איבר המינימום הוא {<math> \mathcal{\emptyset}</math>} ואיבר המקסימום {x,y,z}]]
+[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3.svg|שמאל|ממוזער|280 פיקסלים|[[דיאגרמת הסה]] של איברי [[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] של <math>\{x,y,z\}</math> כאשר הסדר החלקי המוגדר עליהם הוא [[תת-קבוצה|הכלה]]. איבר המינימום הוא <math>\empty</math> ואיבר המקסימום <math>\{x,y,z\}</math>]]
-ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר חלקי''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] X הוא [[יחס בינארי]] המקיים אחת משתי קבוצות של אקסיומות:
+ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר חלקי''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> הוא [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס בינארי]] המקיים אחת משתי קבוצות של [[אקסיומה|אקסיומות]]:
-* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חלש'''.
+*היחס [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]] חלש, [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]] – זהו '''יחס סדר חלש'''.
-* היחס [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיבי]], [[יחס א-סימטרי|א-סימטרי]] ו[[יחס רפלקסיבי|אי-רפלקסיבי]] - זהו '''יחס סדר חזק'''. (יחס טרנזיטיבי הוא א-סימטרי אם ורק אם הוא אי-רפלקסיבי).
+*היחס [[יחס רפלקסיבי|אי-רפלקסיבי]], אנטי-סימטרי חזק, טרנזיטיבי – זהו '''יחס סדר חזק'''.
+הקבוצה <math>X</math>, יחד עם יחס הסדר, נקראת קבוצה סדורה.
-אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד אינטואיציה זו באופן אקסיומטי.
+אקסיומות אלה מתמצתות את התפיסה האינטואיטיבית של סדר: דבר אינו יכול להיות גם גדול מדבר אחר וגם קטן ממנו, ואם דבר אחד קטן משני הקטן משלישי, אז הראשון קטן מן השלישי. מושג הסדר החלקי לוכד [[אינטואיציה]] זו באופן אקסיומטי.
+==סימון==
-מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על [[סימן אי-השוויון]] '''>''', והיפוכו '''<'''. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז ל[[סימן השוויון]], כגון <math>\ \leq, \preceq</math>, בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: <math>\ <, \prec</math>).
+מקובל לסמן יחסי סדר בווריאציות על [[סימן האי-שוויון]] <math><</math>, והיפוכו <math>></math>. הסימון ליחסי סדר חלשים כולל גם רמז ל[[סימן השוויון]], כגון <math>\le,\preceq</math>, בעוד שהסימון ליחסי סדר חזקים אינו כולל אותו: <math><,\prec</math>).
+==יחסי סדר  חלשים וחזקים==
-שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם <math>\ \leq</math> יחס סדר חלש, אז היחס (<math>\ a \leq b</math> אבל <math>\ a \neq b</math>) הוא יחס סדר חזק. אם <math>\ <</math> יחס סדר חזק, אז היחס (<math>\ a < b</math> או  <math>\ a = b</math>) הוא יחס סדר חלש. מאידך, יחס סדר אינו יכול להיות גם חזק וגם חלש (אלא אם מדובר ביחס הריק על [[הקבוצה הריקה]]).
+שני סוגי היחסים כרוכים זה בזה: אם <math>\le</math> יחס סדר חלש, אז היחס (<math>a\le b</math> אבל <math>a\ne b</math>) הוא יחס סדר חזק. אם <math><</math> יחס סדר חזק, אז היחס (<math>a<b</math> או <math>a=b</math>) הוא יחס סדר חלש. יחס סדר לא יכול להיות גם חזק וגם חלש, למעט [[מקרה מנוון|המקרה המנוון]] של היחס הריק על [[הקבוצה הריקה]].
+באופן כללי יכולים להיות שני איברים של <math>X</math> שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>a,b\in X</math> מתקיים <math>a\le b</math> או <math>b\le a</math> אז קוראים ליחס <math>\le</math> '''סדר ליניארי''' או '''[[סדר מלא]]''', ולזוג <math>(X,\le)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.
-הקבוצה X, יחד עם יחס הסדר, נקראת [[קבוצה סדורה]].
+==דוגמאות==
-באופן כללי יכולים להיות שני איברים של X שאינם ניתנים להשוואה מבחינת היחס, ולכן הוא נקרא גם '''יחס סדר חלקי'''. אם עבור כל <math>\!\, a,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\, a\le b</math> או <math>\!\, b\le a</math> אז קוראים ליחס <math>\!\, \le</math> '''סדר ליניארי''' (או '''[[סדר מלא]]'''), ולזוג <math>\!\, \left(X, \le\right)</math> '''קבוצה סדורה ליניארית''', או '''[[שרשרת (מתמטיקה)|שרשרת]]'''.
+*קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] המסומנת כך: <math>(\N,\le)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[מספר ממשי|ממשיים]].
+*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] המסומן כך: <math>\mid</math> מוגדר כך: <math>m\mid n</math> [[אם ורק אם]] <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math> ללא שארית. הקבוצה המחולקת <math>(\N,\mid)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים זה את זה ללא שארית. יחס החלוקה אינו יחס סדר על [[מספר שלם|המספרים השלמים]] כי אינו [[יחס אנטי-סימטרי|אנטי-סימטרי]]: <math>1\mid-1</math> וגם <math>-1\mid1</math> אף כי <math>-1\ne1</math>.
-דוגמאות:
-* קבוצת כל [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] <math>\!\, \left(\mathbb{N},\le\right)</math> עם הסדר הסטנדרטי עליהם, היא קבוצה סדורה ליניארית. כך גם ה[[ממשיים]].
-*יחס החלוקה של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] <math>|</math> מוגדר כך ש-<math>m|n</math> אם ורק אם <math>m</math> [[מחלק]] את <math>n</math>. הקבוצה <math>\left(\mathbb{N},|\right)</math> היא קבוצה סדורה חלקית שאינה סדורה ליניארית, שכן לא ניתן, למשל, להשוות בין 5 ו-2, שאינם מחלקים אחד את השני.
-*יחס החלוקה אינו יחס סדר על ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] כי אינו אנטי-סימטרי: <math>1|-1</math> וגם <math>-1|1</math> אף על פי ש-<math>-1\ne 1</math>.
-== איברים מיוחדים ==
-[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|שמאל|ממוזער|280px|דיאגרמת הסה של התרשים העליון ללא איברי המינימום והמקסימום. בקבוצה מצומצמת זו, כל האיברים בשורה העליונה הם מקסימלים וכל האיברים בשורה התחתונה הם מינימליים.]]
-איבר  <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' (איבר מזערי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,b\le a</math>.
-איבר  <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' (איבר מרבי) אם לא קיים <math>\!\,b\isin X</math> השונה ממנו כך ש <math>\!\,a\le b</math>.
-איבר  <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''מינימום''' (או לחלופין איבר קטן ביותר או איבר ראשון) אם לכל <math>\!\,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\,a\le b</math>.
-איבר  <math>\!\,a\isin X</math> נקרא '''מקסימום''' (או לחלופין איבר גדול ביותר או איבר אחרון) אם לכל <math>\!\,b\isin X</math> מתקיים <math>\!\,b\le a</math>.
+==איברים מיוחדים==
+[[קובץ:Hasse diagram of powerset of 3 no greatest or least.svg|שמאל|ממוזער|280 פיקסלים|דיאגרמת הסה של התרשים העליון ללא איברי המינימום והמקסימום. בקבוצה מצומצמת זו, כל האיברים בשורה העליונה הם מקסימליים וכל האיברים בשורה התחתונה הם מינימליים.]]
+*איבר <math>a\in X</math> נקרא '''איבר מינימלי''' או '''איבר מזערי''' אם לא קיים <math>b\in X</math> השונה ממנו עבורו <math>b\le a</math>.
+*איבר <math>a\in X</math> נקרא '''איבר מקסימלי''' או '''איבר מרבי''' אם לא קיים <math>b\in X</math> השונה ממנו עבורו <math>a\le b</math>.
+*איבר <math>a\in X</math> נקרא '''מינימום''' (גם: '''איבר קטן ביותר''' או '''איבר ראשון''') אם לכל <math>b\in X</math> מתקיים <math>a\le b</math>.
+*איבר <math>a\in X</math> נקרא '''מקסימום''' (גם: '''איבר גדול ביותר''' או '''איבר אחרון''') אם לכל <math>b\in X</math> מתקיים <math>b\le a</math>.
 ההבדל בין איבר מקסימלי למקסימום הוא שבקבוצה סדורה חלקית לא תמיד ניתן להשוות איבר לשאר האיברים, ואילו מקסימום חייב להיות בר השוואה לכל שאר האיברים.
-קבוצה סדורה ליניארית <math>\!\,\left(X,\le\right)</math> שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה <math>\!\,X </math>, נקראת '''[[סדר טוב|קבוצה סדורה היטב]]'''.
+בקבוצה סדורה ליניארית <math>(X,\le)</math> שבה יש איבר ראשון לכל תת-קבוצה של <math>X</math>, נקראת '''[[סדר טוב|קבוצה סדורה היטב]]'''.
+כאשר מתקיים <math>x>y</math>, ואין <math>z</math> עבורו <math>x>z>y</math>, אזי אומרים כי <math>x</math> '''מכסה''' את <math>y</math> (ומכאן שב[[קבוצה סדורה צפופה|סדר צפוף]] אין שני איברים שמכסים זה את זה).
-כאשר מתקיים
-<math>
-x>y
-</math>
-, ואין
-<math>
-z
-</math>
-כך ש–
-<math>
-x>z>y
-</math>
-, אז אומרים ש–
-<math>x</math>
-'''מכסה''' את
-<math>y</math>
-(ומכאן שב[[סדר צפוף]] אין שני איברים שמכסים זה את זה).
 ==ראו גם==
-* [[מונחים בתורת הקבוצות]]
+*[[תורת הקבוצות - מונחים]]
 {{תורת הקבוצות}}
 ==קישורים חיצוניים==
-* {{MathWorld}}
+*{{MathWorld}}
+*{{לא מדויק|2020/01/10/order_relations|תורת הקבוצות - יחסי סדר}}
+{{בקרת זהויות}}
 [[קטגוריה:קבוצות סדורות]]

נושאים בתורת הקבוצות
מושגי יסוד	תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה
פעולות	איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית
יחסים	יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס אנטי-סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • יחס הופכי
פונקציות	פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור
משפטים	האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב
סדר	סדר חלקי • סדר מלא • סדר טוב • טיפוס סדר • מספר סודר
עוצמות	עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף
אקסיומות	אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה
שונות	הפרדוקס של ראסל • השערת הרצף