Logaritmo natural
Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Andresv.63 (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 38 días. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
Modelo:Infobox mathematical function
O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática e, que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a 2.718281828459. O logaritmo natural de x escríbese xeralmente como ln x, loge x, ou ás veces, se a base e está implícita, simplemente log x. [1] [2] Ás veces engádense parénteses para claridade, dando ln(x), loge(x) ou log(x). Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.
O logaritmo natural de x é a potencia á que habería que elevar e para igualar x. Por exemplo, ln 7.5 é 2.0149... , porque e2.0149... = 7.5. O logaritmo natural de e, ln e, é 1, porque e1 = e, mentres que o logaritmo natural de 1 é 0, xa que e0 = 1.
O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo a como a área baixo a curva y = 1/x de 1 a a [3] (sendo a área negativa cando 0 < a < 1 ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.
A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades:
Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: [4]
Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só e. No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, .
Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.
Definicións
O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.
Inversa de exponencial
A definición máis xeral é como a función inversa de , para que . Para os números complexos, non é invertíbel, polo tanto é unha función multivalor. Para facer unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por .
Definición como integral
O logaritmo natural dun número real positivo a pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbola coa ecuación y = 1/x entre x = 1 e x = a. Esta é a integral [3] Se a está dentro , entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.
O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito:
Propiedades
O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:
Derivada
A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por [3]
A maiores temos:
polo tanto, a diferenza da súa función inversa , unha constante na función non altera o diferencial.
Serie
Como o logaritmo natural non está definido en 0, en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se entón [5]
Esta é a serie Taylor para arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: válido para e
Un caso especial útil para números enteiros positivos n, tomando , é:
O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito:[6]
Dous exemplos poden ser:
O logaritmo natural na integración
O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma : unha antiderivada de g(x) vén dada por . Este é o caso debido á regra da cadea e ao seguinte feito:
Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe , entón onde C é unha constante arbitraria de integración. [7]
Así mesmo, cando a integral está sobre un intervalo onde ,
Por exemplo, considere a integral de nun intervalo que non inclúe puntos onde é infinito:
O logaritmo natural pódese integrar mediante a integración por partes :
Sexa: daquela:
Logaritmo natural de 10
O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a 2.30258509, xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10:
Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo [1, 10).
Fraccións continuas
Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo:
Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.
Logaritmos complexos
- Artigo principal: Complex logarithm.
A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como ez para calquera número complexo arbitrario z; simplemente use a serie infinita con x =z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas: ningún x ten ex = 0; e resulta que e2iπ = 1 = e0. Dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, ez = ez+2kiπ, para todos os complexos z e os enteiros k.
Polo tanto, o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e aínda así é multivaluada: calquera logaritmo complexo pode mudarse nun logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de 2iπ a vontade. O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte. Por exemplo, ln i = iπ/2
-
z = Re(ln(x + yi))
-
z = |(Im(ln(x + yi)))|
-
z = |(ln(x + yi))|
-
Superposición das tres gráficas anteriores
Notas
- ↑ G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
- ↑ . p. 9. ISBN 0-12-508347-5 https://books.google.com/books?id=nGoSv5tmATsC. Falta o
|title=
(Axuda) Extract of page 9 - ↑ 3,0 3,1 3,2 mathworld.wolfram.com (en inglés) https://mathworld.wolfram.com/NaturalLogarithm.html. Falta o
|title=
(Axuda) Erro no código da cita: Etiqueta<ref>
non válida; o nome ":1" está definido varias veces con contidos diferentes - ↑ Encyclopedia Britannica https://www.britannica.com/science/logarithm. Falta o
|title=
(Axuda) - ↑ http://www.math2.org/math/expansion/log.htm. Falta o
|title=
(Axuda) - ↑ International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences (PDF) https://www.emis.de/journals/HOA/IJMMS/2004/65-683653.pdf. Falta o
|title=
(Axuda) (Page 3654, equation 2.6) - ↑ For a detailed proof see for instance: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.
Véxase tamén
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Logaritmo natural |
Bibliografía
Outros artigos
- Ligazóns entre [[ ]].
Ligazóns externas
- Ligazóns entre [ ].