Intervalo entre primos
Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Andresv.63 (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 38 días. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado gn ou g(pn) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo , é dicir
Temos g1 = 1, g2 = g3 = 2 e g4 = 4. A secuencia (gn) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.
Os primeiros 60 intervalos primos son:
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,... (secuencia A001223 na OEIS) .
Observacións sinxelas
Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia
o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de n − 1 enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con gm ≥ N.
O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.
O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a ratio entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius.[2]
Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que gn = 2 para un número infinito de números enteiros n.
Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, entón a secuencia
é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co Teorema do número primo.
Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390.
Resultados numéricos
O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.[3][4]
Decimos que gn é un intervalo maximal, se gm < gn m < n. O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016 ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411.[5] Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en (secuencia A002386 na OEIS).
No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medra de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa, [6]
Normalmente, a razón gn / ln(pn) chámase mérito dun intervalo entre primos gn.
Mérito | gn | cifras | pn | Data | Descubridor |
---|---|---|---|---|---|
36,858288 | 10716 | 127 | 2016 | Dana Jacobsen | |
36,590183 | 13692 | 163 | 2016 | Dana Jacobsen | |
36,420568 | 26892 | 321 | 2016 | Dana Jacobsen | |
35,424459 | 66520 | 816 | 2012 | Michiel Jansen | |
35,310308 | 1476 | 19 | 1425172824437699411 | 2009 | Tomás Oliveira e Silva |
Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo
onde 283# indica o primorial de 283.[7]
A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por
O maior valor coñecido desa ratio é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en (secuencia A111943 na OEIS).
|
|
|
Resultados posteriores
Limite superior
O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular pn+1<2pn, o que significa que gn < pn.
O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. Apesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que
- gn < εpn n > N.
Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente:
Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar[10] que existe unha constante θ < 1 tal que
mostrando así que
para n suficientemente grande.
Hoheisel obtivo un posíbel valor para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para Heilbronn,[11] e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.[12]
O mellor resultado é debido a Ingham,[13] que mostrou que
para algunha constante positiva c, onde O' reférese à notación O grande, e
para algún . ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún é admisíbel, obtense que θ é un número maior que .
Uma consequência imediata do resultado de Ingham é que sempre existe um número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é suficientemente grande.[14] A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para qualquer constante positiva c: mas mesmo isso não é o suficiente para implicar que existe um número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande (veja a Conjectura de Legendre). Para verificar isso, um resultado mais forte como a conjectura de Cramér se faz necessária.
Huxley em 1972 mostrou que pode-se escolher θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).[15]
Um resultado, devido a Baker, Harman e Pintz em 2001, mostrou que θ pode ser tomado como sendo 0,525.[16]
Em 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demonstraram que
e dois anos mais tarde mostraram que [17]
Em 2013, Yitang Zhang provou que
significando assim que existem infinitos intervalos entre dois primos consecutivos que não excedem 70 milhões.[18] Um esforço colaborativo do projeto Polymath Project é feito para otimizar o limite de Zhang.[19] Em novembro de 2013, James Maynard criou um novo refinamento, permitindo a ele reduzir o limite para 600 e mostra que para algum m existe um intervalo maximal de m números primos.[20] Usando as ideias de Maynard, o projeto Polymath melhorou o limite para 46;[19][21] assumindo a conjectura de Elliott–Halberstam, N pode ser reduzido para 12 e 6, respectivamente.[19]
Limites inferiores
Em 1938, Robert Rankin provou a existência de uma constante c > 0 tal que a desigualdade
funciona para infinitos valores de n, melhorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Ele posteriormente mostrou que esta constante pode ser c < eγ,onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi melhorado em 1997 para um valor menor que 2eγ.[22]
Paul Erdős ofereceu um prêmio de $10000 (10000 dólares) para uma prova ou refutação de que a constante c na desigualdade acima pode ser tomado como sendo arbitrariamente grande. Foi provado como sendo correto em 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e, de forma independente, por James Maynard.[23][24]
O resultado foi posteriormente melhorado para
para infinitos valores de n por Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.[25]
Limites inferiores para cadeias de primos podem então ser determinados.[26]
Conjecturas sobre o intervalo entre primos
Mesmo melhores resultados estão condicionados à hipótese de Riemann. Harald Cramér demonstrou[27] que a hipótese de Riemann inplica que gn satisfaz[28]
Posteriormente, ele conjecturou que esses valores são sempre menores. Ou seja, a conjectura de Cramér utiliza a seguinte assertiva:
A conjectura de Firoozbakht afirma que (onde é o n-ésimo número primo) é uma função estritamente decrescente de n, i.e.,
Se esta conjectura for verdadeira, então a função satisfaz
Isso implica na forma forte da conjectura de Crámer, mas é inconsistente com as heurísticas de Granville e Pintz[30][31][32] que sugere que vale para onde denota a constante de Euler-Mascheroni.
Enquanto isso, a conjectura de Oppermann é mais fraca que a conjectura de Cramér. O tamanho esperado de um intervalo entre dois primos consecutivos com a conjectura de Oppermann é da ordem de
Como resultado, isso significa (assumindo a conjectura de Oppermann como verdadeira) m > 0 (provavelmente m = 30) para todo número natual n > m satisfaz
A conjectura de Andrica, a qual é mais fraca que a de Oppermann, afirma que[33]
Como uma função aritmética
O tamanho do intervalo gn entre o n-ésimo e o (n + 1)-ésimo números primos é um exemplo de função aritmética. Nesse contexto, é usualmente denotada por dn e chamada de função diferença entre primos.[33] Esta função não aditiva nem multiplicativa. [34]
Programa em Python
Vários tipos de programas podem ser feitos para calcular o valor de , sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que calcula para os números primos entre 1 e 10000 (até ao número primo 9973): [34]
def prime(num):
for divisor in range(2, num):
if num % divisor == 0:
return False
return True
list_prime = []
for i in range(1,10000):
if prime(i):
list_prime.append(i)
for n in range(2, len(list_prime)):
print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')
Notas
- ↑ Ares, Saul; Castro, Mario (1 February 2006). "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 360 (2): 285–296. Bibcode:2006PhyA..360..285A. arXiv:cond-mat/0310148. doi:10.1016/j.physa.2005.06.066.
- ↑ Westzynthius, E. (1931). Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán) 5. pp. 1–37. JFM 57.0186.02. Zbl 0003.24601..
- ↑ Andersen, Jens Kruse. "The Top-20 Prime Gaps".
- ↑ Intervalo de tamaño 1113106
- ↑ Intervalos maximais
- ↑ Westzynthius, E. (1931). Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind 5. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors. pp. 1–37. JFM 57.0186.02. Zbl 0003.24601..
- ↑ 7,0 7,1 7,2 NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
- ↑ Dynamic prime gap statistics
- ↑ https://web.archive.org/web/20160620000854/http://www.trnicely.net/index.html#TPG. Parámetro descoñecido
|titulo=
ignorado (suxírese|título=
) (Axuda); Falta o|title=
(Axuda) - ↑ Hoheisel, G. (1930). "Primzahlprobleme in der Analysis" 33. Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 3–11. JFM 56.0172.02.
- ↑ Heilbronn, H. A. (1933). "Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel" 36 (1). Mathematische Zeitschrift: 394–423. doi:10.1007/BF01188631.
- ↑ Tchudakoff, N. G. (1936). "On the difference between two neighboring prime numbers" 1. Math. Sb.: 799–814.
- ↑ Ingham, A. E. (1937). "On the difference between consecutive primes". Oxford Series 8 (1). Quarterly Journal of Mathematics: 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar arXiv
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ 19,0 19,1 19,2 "Bounded gaps between primes". Parámetro descoñecido
|publicado=
ignorado (suxírese|publicación=
) (Axuda); Parámetro descoñecido|acessodata=
ignorado (Axuda) - ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ Modelo:Citar arXiv
- ↑ Modelo:Citar arXiv
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ [1]
- ↑ Modelo:Citar arXiv.
- ↑ Modelo:Citar periódico.
- ↑ Modelo:Citar periódico.
- ↑ Modelo:Citar periódico
- ↑ 33,0 33,1 Guy (2004) §A8
- ↑ 34,0 34,1 [2]
Véxase tamén
Bibliografía
- Soundararajan, Kannan (2007). "Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım". Bull. Am. Math. Soc. New Series 44 (1): 1–18. Zbl 1193.11086. arXiv:math/0605696. doi:10.1090/s0273-0979-06-01142-6.
- Mihăilescu, Preda (June 2014). "On some conjectures in additive number theory" (PDF). EMS Newsletter (92): 13–16. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/NEWS. hdl:2117/17085.
Outros artigos
Ligazóns externas
- Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. Inclúe unha lista de tódolos intervalos coñecidos.
- Weisstein, Eric W. "Prime Difference Function". MathWorld.
- Modelo:Planetmath reference
- Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture.
- Chris Caldwell, Gaps Between Primes; unha introdución elemental
- Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; inclúe o traballo de James Maynard de novembro do 2013.
- Birke Heeren, [3] Aquí atópanse as grandes intervalos de números primos e un artigo sobre como calcular eses intervalos..