Aritmética modular
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Disqvisitiones-800.jpg/200px-Disqvisitiones-800.jpg)
En matemáticas, e máis concretamente en teoría de números alxébricos, a aritmética modular é un conxunto de métodos que permiten a resolución de problemas sobre os números enteiros. Estes métodos xorden do estudo do residuo obtido por unha división.
A idea de base da aritmética modular é de traballar non sobre os números mesmos, senón sobre os residuos da súa división por algún outro número enteiro. Cando se fai, por exemplo, a proba do nove, efectúase unha operación de aritmética modular sen sabelo: o divisor é o valor 9.
Malia que as súas orixes remóntanse á antigüidade, xeralmente, os historiadores asocian o seu nacemento co ano 1801, data da publicación do libro Disquisitiones Arithmeticae[1] de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). O seu novo enfoque permite elucidar célebres conxecturas[2] e simplifica as demostracións de importantes resultados[3] grazas a unha maior abstracción. Se ben o eido natural destes métodos é a teoría dos números, as consecuencias das ideas de Gauss atópase tamén noutros campos das matemáticas, como a álxebra ou a xeometría.
Congruencia
Dado un número enteiro m ≥ 1, chamado módulo, dise que dous números enteiros a e b son congruentes módulo m, se m é un divisor da súa diferenza; é dicir, se hai un número enteiro k tal que
- a − b = k m.
O módulo de congruencia m é unha relación de congruencia, o que significa que é unha relación de equivalencia que é compatible coas operacións de suma, resta e multiplicación. Denótase módulo de congruencia m
- a ≡ b (mod m).
Os parénteses significan que (mod m) aplícase a toda a ecuación, non só ao lado dereito (aquí, b).
Existe un matiz de distinción coa notación b mod m (sen parénteses), onde o resto de b cando se divide entre m denota o número enteiro único r tal que 0 ≤ r < m e r ≡ b (mod m).
Como exemplo:
- onde 2 é o único menor residuo de 17 entre 5
- e tamén porque tanto 2, como 12, como 17 dan como residuo 2 cando se dividen entre 5.
A relación de congruencia pódese reescribir como
- a = k m + b,
mostrando explicitamente a súa relación coa división euclidiana. Non obstante, o b aquí non ten por que ser o resto na división de a por m. Máis ben, a ≡ b (mod m) afirma que a e b teñen o mesmo resto cando se divide entre m. É dicir,
- a = p m + r,
- b = q m + r,
onde 0 ≤ r < m é o resto común. Como a congruencia módulo m está definida pola divisibilidade por m e como -1 é unha unidade no anel de enteiros, un número é divisible por -m exactamente se é divisible por m. Isto significa que todo número enteiro distinto de cero m pode tomarse como módulo.
Exemplos
No módulo 12 pódese afirmar que:
- 38 ≡ 14 (mod 12)
porque a diferenza é 38 − 14 = 24 = 2 × 12, un múltiplo de 12. Unha forma simple de entendelo é que 38 e 14 teñen o mesmo resto 2 cando se dividen por 12.
A definición de congruencia tamén se aplica aos valores negativos. Por exemplo:
Propiedades básicas
A relación de congruencia satisfai todas as condicións dunha relación de equivalencia:
- Reflexividade: a ≡ a (mod m)
- Simetría: a ≡ b (mod m) se b ≡ a (mod m).
- Transitividade: se a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m), entón a ≡ c (mod m)
Se a1 ≡ b1 (mod m) e a 2 ≡ b2 (mod m), ou se a ≡ b (mod m), entón:[4]
- a + k ≡ b + k (mod m) para calquera número enteiro k (compatibilidade coa translación)
- k a ≡ k b (mod m) para calquera número enteiro k (compatibilidade coa escala)
- k a ≡ k b (mod k m) para calquera número enteiro k
- a1 + a2 ≡ b1 + b 2 (mod m) (compatibilidade coa adición)
- a1 − a2 ≡ b1 − b 2 (mod m) (compatibilidade coa resta)
- a1 a2 ≡ b1 b 2 (mod m) (compatibilidade coa multiplicación)
- ak ≡ bk (mod m) para calquera número enteiro non negativo k (compatibilidade coa exponenciación)
- p(a) ≡ p(b) (mod m), para calquera polinomio p(x) con coeficientes enteiros (compatibilidade coa avaliación polinómica)
Se a ≡ b (mod m), entón é xeralmente falso que ka ≡ kb (mod m). Non obstante, o seguinte é certo:
- Se c ≡ d (mod φ(m)), onde φ é a función totiente de Euler, daquela ac ≡ ad (mod m) (sempre que a sexa coprimo con m).
Para a cancelación de condicións comúns, temos as seguintes regras:
- Se a + k ≡ b + k (mod m), onde k é calquera número enteiro, entón a ≡ b (mod m).
- Se k a ≡ k b (mod m) e k é coprimo con m, daquela a ≡ b (mod m).
- Se k a ≡ k b (mod k m) e k ≠ 0, entón a ≡ b (mod m).
A última regra pódese usar para trasladar a aritmética modular á división. Se b divide a, entón (a/b) mod m = (a mod b m) / b.
O inverso multiplicativo modular defínese polas seguintes regras:
- Existencia: existe un número enteiro denotado a−1 tal que aa−1 ≡ 1 (mod m) se e só se a é coprimo con m. Este número enteiro a−1 chámase inverso multiplicativo modular de a módulo m.
- Se existen a ≡ b (mod m) e a−1, entón a−1 ≡ b−1 (mod m) (compatibilidade co inverso multiplicativo, e, se a = b, unicidade módulo m).
- Se ax ≡ b (mod m) e a é coprimo a m, entón a solución a esta congruencia linear vén dada por x ≡ a−1b (mod m).
O inverso multiplicativo x ≡ a−1 (mod m) pódese calcular eficientemente resolvendo a ecuación de Bézout a x + m y = 1 para x, y, mediante o algoritmo de Euclides estendido.
En particular, se p é un número primo, entón a é coprimo con p para cada a tal que 0 < a < p; polo tanto, existe un inverso multiplicativo para todos os a que non son congruentes con cero módulo p.
Propiedades avanzadas
- Pequeno teorema de Fermat: se p é primo e non divide a, entón a p−1 ≡ 1 (mod p).
- Teorema de Euler: se a e m son primos primos, entón a φ(m) ≡ 1 (mod m), onde φ é función totiente de Euler.
- Unha simple consecuencia do pequeno teorema de Fermat é que se p é primo, entón a−1 ≡ ap−2 (mod p) é a inversa multiplicativa de 0 < a < p. De xeito máis xeral, a partir do teorema de Euler, se a e m son coprimos, entón a− 1 ≡ aφ(m)−1 (mod m).
- Outra simple consecuencia é que se a ≡ b (mod φ(m)), onde φ é a función totiente de Euler, entón ka ≡ kb (mod m) sempre que k sexa coprimo con m.
- Teorema de Wilson: p é primo se e só se (p − 1)! ≡ −1 (mod p).
- Teorema chinés do resto: para calquera a, b e m, n coprimos, existe un único x (mod m n) tal que x ≡ a (mod m) e x ≡ b (mod n). De feito, x ≡ b mn−1 m + a n m−1 n (mod mn) onde mn−1 é a inversa de m módulo n e nm−1 é a inversa de n módulo m.
- Teorema de Lagrange: a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p), onde p é primo e f (x) = a0 xm + ... + am é un polinomio con coeficientes enteiros tal que a0 ≠ 0 (mod p), ten como máximo m raíces.
- Raíz primitiva módulo m: un número g é unha raíz primitiva módulo m se, para cada número enteiro a coprimo con m, hai un enteiro k tal que gk ≡ a (mod m). Existe unha raíz primitiva módulo m se e só se m é igual a 2, 4, p k ou 2pk, onde p é un número primo impar e k é un número enteiro positivo. Se existe unha raíz primitiva módulo m, entón hai exactamente φ(φ(m)) desas raíces primitivas, onde φ é a función totiente de Euler.
- Residuo cadrático: un enteiro a é un residuo cadrático módulo m, se existe un número enteiro x tal que x2 ≡ a (mod m). O criterio de Euler afirma que, se p é un primo impar, e a non é múltiplo de p, entón a é un residuo cadrático módulo p se e só se
- a(p−1)/2 ≡ 1 (mod p).
Enteiros módulo m
Observación: no contexto desta sección, o módulo m tómase case sempre como positivo.
O conxunto de todas as clases de congruencia módulo m chámase anel de enteiros módulo m, e denótase , , ou .[5]. A notación non se recomenda porque se pode confundir co conxunto de enteiros m-ádicos. O anel é fundamental en varias ramas das matemáticas.
Para m > 0 temos
onde o trazo sobre o número ven a indicar os elementos da súa clase (todos os que teñen o mesmo residuo).
Se m = 1, é o anel cero; cando m = 0, non é un conxunto baleiro; máis ben, é isomorfo a , xa que a0 = a.
A suma, a resta e a multiplicación defínense en polas seguintes regras:
As propiedades indicadas anteriormente implican que, con estas operacións, é un anel conmutativo. Por exemplo, no anel , un ten
como na aritmética para o reloxo de 24 horas.
Emprégase a notación porque este anel é o anel cociente de polo ideal , o conxunto formado por todos os km con
Considerado como un grupo baixo adición, é un grupo cíclico, e todos os grupos cíclicos son isomórfos con para algún m.[6]
O anel de enteiros módulo m é un corpo se e só se m é un primo (isto garante que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo).
Se m > 1, denota o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo m que son invertibles. Consta das clases de congruencia am, onde a é coprimo a m; estas son precisamente as clases que posúen un inverso multiplicativo. Forman un grupo abeliano baixo multiplicación; a súa orde é φ(m), onde φ é a función totiente de Euler.
Notas
- ↑ Carl Friedrich Gauss. Recherches arithmétiques, 1801 Tradución ó francés de M. Poullet-Delisle Éd. Courcier 1807
- ↑ Por exemplo a lei de reciprocidade cadrática na páxina 96, ou a construción con regra e compás do heptadecágono nas páxinas 429-489 de Recherches arithmétiques
- ↑ Pódese citar o teorema de Wilson (p. 56), ou o pequeno teorema de Fermat (p. 50) de Recherches arithmétiques
- ↑ Sandor Lehoczky; Richard Rusczky (2006). David Patrick, ed. the Art of Problem Solving (en inglés) 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. p. 44. ISBN 0977304566.
- ↑ "2.3: Integers Modulo n". Mathematics LibreTexts (en inglés). 2013-11-16. Arquivado dende o orixinal o 2021-04-19. Consultado o 2020-08-12.
- ↑ Sengadir T., Aritmética modular en Google Books.
Véxase tamén
![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Aritmética modular ![]() |
Bibliografía
- John L. Berggren. "modular arithmetic". Encyclopædia Britannica.
- Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany"
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868.
- Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint (2001) Dover. ISBN 0-486-41449-3.
- Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 9780132683005. LCCN 71081766.
- Sengadir, T. (2009). Discrete Mathematics and Combinatorics. Chennai, India: Pearson Education India. ISBN 978-81-317-1405-8. OCLC 778356123.
Outros artigos
Ligazóns externas
- "Congruence". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].