Aritmética modular

En matemáticas, e máis concretamente en teoría de números alxébricos, a aritmética modular é un conxunto de métodos que permiten a resolución de problemas sobre os números enteiros. Estes métodos xorden do estudo do residuo obtido por unha división.

A idea de base da aritmética modular é de traballar non sobre os números mesmos, senón sobre os residuos da súa división por algunha cousa. Cando se fai, por exemplo, a proba do nove, efectúase unha operación de aritmética modular sen sabelo: o divisor é o valor 9.

Malia que as súas orixes se remontan á antigüidade, xeralmente, os historiadores asocian o seu nacemento co ano 1801, data da publicación do libro Disquisitiones Arithmeticae^[1] de Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). O seu novo enfoque permite elucidar célebres conxecturas^[2] e simplifica as demostracións de importantes resultados^[3] grazas a unha maior abstracción. Se ben o eido natural destes métodos é a teoría dos números, as consecuencias das ideas de Gauss atópase tamén noutros campos das matemáticas, como a álxebra ou a xeometría.

Congruencia

Dado un número enteiro $m \geq 1$ , chamado módulo, dise que dous números enteiros $a$ e $b$ son congruentes módulo $m$ , se $m$ é un divisor da súa diferenza; é dicir, se hai un número enteiro $k$ tal que

a - b = k m

.

O módulo de congruencia $m$ é unha relación de congruencia, o que significa que é unha relación de equivalencia que é compatible coas operacións de suma, resta e multiplicación. Denótase módulo de congruencia $m$

a \equiv b (mod m)

.

Os parénteses significan que $(mod m)$ aplícase a toda a ecuación, non só ao lado dereito (aquí, $b$ ).

Existe un matiz de distinción coa notación $b mod m$ (sen parénteses), onde o resto de $b$ cando se divide entre $m$ denota o número enteiro único $r$ tal que $0 \leq r < m$ e $r \equiv b (mod m)$ .

Como exemplo:

2=17\mod 5

onde 2 é o único menor residuo de 17 entre 5

2\equiv 17{\pmod {5}}

e tamén

12\equiv 17{\pmod {5}}

porque tanto 2, como 12, como 17 dan como residuo 2 cando se dividen entre 5.

A relación de congruencia pódese reescribir como

a = k m + b

,

mostrando explicitamente a súa relación coa división euclidiana. Non obstante, o $b$ aquí non ten por que ser o resto na división de $a$ por $m .$ Máis ben, $a \equiv b (mod m)$ afirma que $a$ e $b$ teñen o mesmo resto cando se divide entre $m$ . É dicir,

a = p m + r

,

b = q m + r

,

onde $0 \leq r < m$ é o resto común. Como a congruencia módulo $m$ está definida pola divisibilidade por $m$ e como $-1$ é unha unidade no anel de enteiros, un número é divisible por $- m$ exactamente se é divisible por $m$ . Isto significa que todo número enteiro distinto de cero $m$ pode tomarse como módulo.

Exemplos

No módulo 12 pódese afirmar que:

38 \equiv 14 (mod 12)

porque a diferenza é $38 - 14 = 24 = 2 \times 12$ , un múltiplo de $12$ . Unha forma simple de entendelo é que $38$ e $14$ teñen o mesmo resto $2$ cando se dividen por $12$ .

A definición de congruencia tamén se aplica aos valores negativos. Por exemplo:

{\begin{aligned}2&\equiv -3{\pmod {5}}\\-8&\equiv 7{\pmod {5}}\\&{\text{ (o residuo de 7 entre 5 é 2, e o residuo de -8 entre 5 é -3, que ao restar de 5 tamén é 2) }}\\-3&\equiv -8{\pmod {5}}.\end{aligned}}

Propiedades básicas

A relación de congruencia satisfai todas as condicións dunha relación de equivalencia:

Reflexividade: $a \equiv a (mod m)$
Simetría: $a \equiv b (mod m)$ se $b \equiv a (mod m)$ .
Transitividade: se $a \equiv b (mod m)$ e $b \equiv c (mod m)$ , entón a ≡ c (mod m)

Se $a 1 \equiv b 1 (mod m)$ e $a 2 \equiv b 2 (mod m)$ , ou se $a \equiv b (mod m)$ , entón:^[4]

$a + k \equiv b + k (mod m)$ para calquera número enteiro $k$ (compatibilidade coa translación)
$k a \equiv k b (mod m)$ para calquera número enteiro $k$ (compatibilidade coa escala)
$k a \equiv k b (mod k m)$ para calquera número enteiro $k$
$a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod m)$ (compatibilidade coa adición)
$a 1 - a 2 \equiv b 1 - b 2 (mod m)$ (compatibilidade coa resta)
$a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (mod m)$ (compatibilidade coa multiplicación)
$a k \equiv b k (mod m)$ para calquera número enteiro non negativo $k$ (compatibilidade coa exponenciación)
$p (a) \equiv p (b) (mod m)$ , para calquera polinomio $p (x)$ con coeficientes enteiros (compatibilidade coa avaliación polinómica)

Se $a \equiv b (mod m)$ , entón é xeralmente falso que $k a \equiv k b (mod m)$ . Non obstante, o seguinte é certo:

Se $c \equiv d (mod φ (m)),$ onde $φ$ é a función totiente de Euler, daquela $a c \equiv a d (mod m)$ (sempre que $a$ sexa coprimo con $m$ ).

Para a cancelación de condicións comúns, temos as seguintes regras:

Se $a + k \equiv b + k (mod m)$ , onde $k$ é calquera número enteiro, entón $a \equiv b (mod m)$ .
Se $k a \equiv k b (mod m)$ e $k$ é coprimo con $m$ , daquela $a \equiv b (mod m)$ .
Se $k a \equiv k b (mod k m)$ e $k \neq 0$ , entón $a \equiv b (mod m)$ .

A última regra pódese usar para trasladar a aritmética modular á división. Se $b$ divide $a$ , entón $(a / b) mod m = (a mod b m) / b$ .

O inverso multiplicativo modular defínese polas seguintes regras:

Existencia: existe un número enteiro denotado $a -1$ tal que $aa -1 \equiv 1 (mod m)$ se e só se $a$ é coprimo con $m$ . Este número enteiro $a -1$ chámase inverso multiplicativo modular de $a$ módulo $m$ .
Se existen $a \equiv b (mod m)$ e $a -1$ , entón $a -1 \equiv b -1 (mod m)$ (compatibilidade co inverso multiplicativo, e, se $a = b$ , unicidade módulo $m$ ).
Se $ax \equiv b (mod m)$ e $a$ é coprimo a $m$ , entón a solución a esta congruencia linear vén dada por $x \equiv a -1 b (mod m)$ .

O inverso multiplicativo $x \equiv a -1 (mod m)$ pódese calcular eficientemente resolvendo a ecuación de Bézout $a x + m y = 1$ para $x$ , $y$ , mediante o algoritmo de Euclides estendido.

En particular, se $p$ é un número primo, entón $a$ é coprimo con $p$ para cada $a$ tal que $0 < a < p$ ; polo tanto, existe un inverso multiplicativo para todos os $a$ que non son congruentes con cero módulo $p$ .

Propiedades avanzadas

Pequeno teorema de Fermat: se $p$ é primo e non divide $a$ , entón $a p -1$ ≡ 1 (mod p).
Teorema de Euler: se $a$ e $m$ son primos primos, entón $a φ (m)$ ≡ 1 (mod m), onde $φ$ é función totiente de Euler.
Unha simple consecuencia do pequeno teorema de Fermat é que se $p$ é primo, entón $a -1 \equiv a p -2$ (mod p) é a inversa multiplicativa de $0 < a < p$ . De xeito máis xeral, a partir do teorema de Euler, se $a$ e $m$ son coprimos, entón $a - 1$ ≡ $a φ (m)-1$ (mod m).
Outra simple consecuencia é que se $a \equiv b (mod φ (m))$ , onde $φ$ é a función totiente de Euler, entón $k a \equiv k b (mod m)$ sempre que $k$ sexa coprimo con $m$ .
Teorema de Wilson: $p$ é primo se e só se $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .
Teorema chinés do resto: para calquera $a$ , $b$ e $m$ , $n$ coprimos, existe un único $x (mod m n)$ tal que $x \equiv a (mod m)$ e $x \equiv b (mod n)$ . De feito, $x \equiv b m n -1 m + a n m -1 n (mod mn)$ onde $m n -1$ é a inversa de $m$ módulo $n$ e $n m -1$ é a inversa de $n$ módulo $m$ .
Teorema de Lagrange: a congruencia $f (x) \equiv 0 (mod p)$ , onde $p$ é primo e $f (x) = a 0 x m + ... + a m$ é un polinomio con coeficientes enteiros tal que $a 0 \neq 0 (mod p)$ , ten como máximo $m$ raíces.
Raíz primitiva módulo $m$ : un número $g$ é unha raíz primitiva módulo $m$ se, para cada número enteiro $a$ coprimo con $m$ , hai un enteiro $k$ tal que $g k \equiv a (mod m)$ . Existe unha raíz primitiva módulo $m$ se e só se $m$ é igual a $2, 4, p k$ ou $2 p k$ , onde $p$ é un número primo impar e $k$ é un número enteiro positivo. Se existe unha raíz primitiva módulo $m$ , entón hai exactamente $φ (φ (m))$ desas raíces primitivas, onde $φ$ é a función totiente de Euler.
Residuo cadrático: un enteiro $a$ é un residuo cadrático módulo $m$ , se existe un número enteiro $x$ tal que $x 2 \equiv a (mod m)$ . O criterio de Euler afirma que, se $p$ é un primo impar, e $a$ non é múltiplo de $p$ , entón $a$ é un residuo cadrático módulo $p$ se e só se
$a (p -1)/2$ ≡ 1 (mod p).

Enteiros módulo m

Observación: no contexto desta sección, o módulo $m$ tómase case sempre como positivo.

O conxunto de todas as clases de congruencia módulo $m$ chámase anel de enteiros módulo $m$ , e denótase ${\textstyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ , $\mathbb {Z} /m$ , ou $\mathbb {Z} _{m}$ .^[5]. A notación $\mathbb {Z} _{m}$ non se recomenda porque se pode confundir co conxunto de enteiros $m$ -ádicos. O anel $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ é fundamental en varias ramas das matemáticas.

Para $m > 0$ temos

\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{m}\mid a\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{{\overline {0}}_{m},{\overline {1}}_{m},{\overline {2}}_{m},\ldots ,{\overline {m{-}1}}_{m}\right\},

onde o trazo sobre o número ven a indicar os elementos da súa clase (todos os que teñen o mesmo residuo).

Se $m = 1$ , $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ é o anel cero; cando $m = 0$ , $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ non é un conxunto baleiro; máis ben, é isomorfo a $\mathbb {Z}$ , xa que $a 0 = {a}$ .

A suma, a resta e a multiplicación defínense en $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ polas seguintes regras:

${\overline {a}}_{m}+{\overline {b}}_{m}={\overline {(a+b)}}_{m}$
${\overline {a}}_{m}-{\overline {b}}_{m}={\overline {(a-b)}}_{m}$
${\overline {a}}_{m}{\overline {b}}_{m}={\overline {(ab)}}_{m}.$

As propiedades indicadas anteriormente implican que, con estas operacións, $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ é un anel conmutativo. Por exemplo, no anel $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ , un ten

{\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}={\overline {33}}_{24}={\overline {9}}_{24}

como na aritmética para o reloxo de 24 horas.

Emprégase a notación $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ porque este anel é o anel cociente de $\mathbb {Z}$ polo ideal $m\mathbb {Z}$ , o conxunto formado por todos os $km$ con $k\in \mathbb {Z} .$

Considerado como un grupo baixo adición, $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ é un grupo cíclico, e todos os grupos cíclicos son isomórfos con $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ para algún $m$ .^[6]

O anel de enteiros módulo $m$ é un corpo se e só se $m$ é un primo (isto garante que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo).

Se $m > 1$ , $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ denota o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo $m$ que son invertibles. Consta das clases de congruencia $a m$ , onde $a$ é coprimo a $m$ ; estas son precisamente as clases que posúen un inverso multiplicativo. Forman un grupo abeliano baixo multiplicación; a súa orde é $φ (m)$ , onde $φ$ é a función totiente de Euler.

Notas

↑ Carl Friedrich Gauss. Recherches arithmétiques, 1801 Tradución ó francés de M. Poullet-Delisle Éd. Courcier 1807
↑ Por exemplo a lei de reciprocidade cadrática na páxina 96, ou a construción con regra e compás do heptadecágono nas páxinas 429-489 de Recherches arithmétiques
↑ Pódese citar o teorema de Wilson (p. 56), ou o pequeno teorema de Fermat (p. 50) de Recherches arithmétiques
↑ Sandor Lehoczky; Richard Rusczky (2006). David Patrick, ed. the Art of Problem Solving (en inglés) 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. p. 44. ISBN 0977304566.
↑ "2.3: Integers Modulo n". Mathematics LibreTexts (en inglés). 2013-11-16. Arquivado dende o orixinal o 2021-04-19. Consultado o 2020-08-12.
↑ Sengadir T., Aritmética modular en Google Books.

Véxase tamén

Bibliografía

John L. Berggren. "modular arithmetic". Encyclopædia Britannica.
Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany"
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.3: Modular arithmetic, pp. 862–868.
Anthony Gioia, Number Theory, an Introduction Reprint (2001) Dover. ISBN 0-486-41449-3.
Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 9780132683005. LCCN 71081766.
Sengadir, T. (2009). Discrete Mathematics and Combinatorics. Chennai, India: Pearson Education India. ISBN 978-81-317-1405-8. OCLC 778356123.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Congruence". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].

Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables

[1] Carl Friedrich Gauss. Recherches arithmétiques, 1801 Tradución ó francés de M. Poullet-Delisle Éd. Courcier 1807

[2] Por exemplo a lei de reciprocidade cadrática na páxina 96, ou a construción con regra e compás do heptadecágono nas páxinas 429-489 de Recherches arithmétiques

[3] Pódese citar o teorema de Wilson (p. 56), ou o pequeno teorema de Fermat (p. 50) de Recherches arithmétiques

[4] Sandor Lehoczky; Richard Rusczky (2006). David Patrick, ed. the Art of Problem Solving (en inglés) 1 (7 ed.). AoPS Incorporated. p. 44. ISBN 0977304566.

[5] "2.3: Integers Modulo n". Mathematics LibreTexts (en inglés). 2013-11-16. Arquivado dende o orixinal o 2021-04-19. Consultado o 2020-08-12.

[6] Sengadir T., Aritmética modular en Google Books.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]