Intervalo entre primos: Diferenzas entre revisións
→Resultados posteriores: continuar |
→Límites inferiores: rematado |
||
Liña 314: | Liña 314: | ||
Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 [[dólar americano|dólares]] por unha proba ou refutación de que a constante ''c'' na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en [[2014]] por Ford–Green–Konyagin–[[Terence Tao|Tao]] e independentemente por James Maynard.<ref>{{cita publicación periódica|first1 =Kevin |last1 =Ford |first2 =Ben |last2 =Green |first3 =Sergei |last3 =Konyagin |first4 =Terence |last4 =Tao |ano=2016 | arxiv=1408.4505 |título=Large gaps between consecutive prime numbers |publisher=[[Ann. Of Math.]] | volume=183 |número=3 |páxinas=935–974 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.4 | mr=3488740}}</ref><ref>{{cita publicación periódica|first=James |last=Maynard |ano=2016 | volume=183 |número=3 | arxiv=1408.5110 |título=Large gaps between primes |páxinas=915–933 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.3 | mr = 3488739 |publisher=[[Ann. Of Math.]]}}</ref> |
Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 [[dólar americano|dólares]] por unha proba ou refutación de que a constante ''c'' na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en [[2014]] por Ford–Green–Konyagin–[[Terence Tao|Tao]] e independentemente por James Maynard.<ref>{{cita publicación periódica|first1 =Kevin |last1 =Ford |first2 =Ben |last2 =Green |first3 =Sergei |last3 =Konyagin |first4 =Terence |last4 =Tao |ano=2016 | arxiv=1408.4505 |título=Large gaps between consecutive prime numbers |publisher=[[Ann. Of Math.]] | volume=183 |número=3 |páxinas=935–974 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.4 | mr=3488740}}</ref><ref>{{cita publicación periódica|first=James |last=Maynard |ano=2016 | volume=183 |número=3 | arxiv=1408.5110 |título=Large gaps between primes |páxinas=915–933 | doi=10.4007/annals.2016.183.3.3 | mr = 3488739 |publisher=[[Ann. Of Math.]]}}</ref> |
||
Máis tarde mellorouse o resultado |
|||
:<math>g_n \gg \frac{\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}</math> |
|||
para valores infinitos de ''n'' de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.<ref>{{cite arXiv| eprint=1412.5029 |título=Largos intervalos entre números primos |last1 =Ford |first1 =Kevin |last2 =Verde |first2 =Ben |last3 =Konyagin |first3 =Sergei |last4 =Maynard |first4 =James |last5 =Terence |ano=2015| class=math.NT }}</ref> |
|||
Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.<ref>{{cita arXiv|first1 =Kevin |last1 =Ford |first2 =James |last2 =Maynard |first3 =Terence |last3 =Tao |title= Cadeas de grandes intervalos entre primos | eprint=1511.04468 |data=2015-10-13| class=math.NT }}</ref> |
|||
==Conxecturas sobre o intervalo entre números primos== |
|||
[[Imaxe:Wikipedia primegaps.png|thumb|350px|A función de espazo principal.]] |
|||
Aínda mellores resultados están condicionados á [[hipótese de Riemann]]. [[Harald Cramér]] demostrou<ref name="Cramér1936">{{cita publicación periódica|last=Cramér |first=Harald |title=Na orde de magnitude da diferenza entre números primos consecutivos |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf |publisher=[[Acta Arithmetica]] |volume=2 |ano=1936 |páxinas=23–46 }}</ref> que a hipótese de Riemann implica que ''g''<sub>''n''</sub> satisfai<ref>[http://primes.utm.edu/notes/gaps.html] gaps</ref> |
|||
:<math> g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n), </math> |
|||
Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a [[conxectura de Cramér]] usa a seguinte afirmación: |
|||
:<math> g_n = O\left((\log p_n)^2\right). </math> |
|||
A [[conxectura de Firoozbakht]] afirma que <math>p_{n}^{1/n}</math> (onde <math>p_n</math> é o ''n''-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de ''n'', é dicir, |
|||
:<math>p_{n+1}^{1/(n+1)} < p_n^{1/n} \forall n \ge 1.</math> |
|||
Se esta conxectura é certa, a función <math>g_n = p_{n+1} - p_n </math> satisfai |
|||
:<math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \text{ para todo } n > 4. </math><ref>{{cita arXiv|last =S. |first =Nilotpal Kanti |title= Sobre unha nova propiedade dos primos que leva a unha xeneralización da conxectura de Cramer |year=2010 |eprint=1010.1399 |class=math.NT }}.</ref> |
|||
Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz<ref>{{cita publicación periódica|last =Granville |first=A. |título=Harald Cramér e a distribución dos números primos |publisher=Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |número= |ano=1995 |páxinas=12–28 |url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf}}.</ref><ref>{{cita publicación periódica|last=Granville |first=Andrew |title=Inesperadas irregularidades na distribución dos números primos |publisher=Actas do Congreso Internacional de Matemáticos |volume=1 |ano=1995 |páxinas=388–399 |url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf }}.</ref><ref name= "Pintz07">{{cita publicación periódica|last =Pintz|first=János|title=Cramér vs. Cramér: Sobre o modelo probabilístico de Cramér para primos|publisher=Función. Aprox. Comenta. Math.|volume=37|number=2|year=2007|pages=232–471|url=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660}}</ref> que suxire que <math> g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2</math> vale para <math>\varepsilon>0,</math> onde <math>\gamma</math> denota a constante de Euler-Mascheroni. |
|||
Mentres tanto, a [[conxectura de Oppermann]] é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de |
|||
:<math> g_n < \sqrt{p_n}.</math> |
|||
Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai <math> g_n < \sqrt{p_n}.</math> |
|||
[[A conxectura de Andrica]], que é máis feble que a de Oppermann, afirma que<ref name="Guy">Guy (2004) §A8</ref> |
|||
:<math> g_n < 2\sqrt{p_n} + 1.</math> |
|||
==Como función aritmética== |
|||
O tamaño do intervalo ''g''<sub>''n''</sub> entre os números primos ''n''-ésimo e (''n'' + 1)-ésimo é un exemplo de [[función aritmética]]. Neste contexto, adoita denotarse por ''d''<sub>''n''</sub> e chámase función de diferenza entre números primos.<ref name="Guy"/> Esta función non é [[función aditiva|aditiva]] nin [[función multiplicativa|multiplicativa]].<ref name="Unnamed-xwAv-1">[http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-06-92.pdf]</ref> |
|||
{{clear}} |
|||
== Programa en Python == |
== Programa en Python == |
Revisión como estaba o 24 de agosto de 2024 ás 19:12
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Prime-gap-frequency-distribution.svg/400px-Prime-gap-frequency-distribution.svg.png)
![]() | Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Andresv.63 (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 7 horas. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
Un intervalo entre primos é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo n-ésimo, denotado gn ou g(pn) é a diferenza entre o primo (n + 1) e o primo n-ésimo , é dicir
Temos g1 = 1, g2 = g3 = 2 e g4 = 4. A secuencia (gn) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.
Os primeiros 60 intervalos primos son:
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,... (secuencia A001223 na OEIS) .
Observacións sinxelas
Para calquera número enteiro n, o factorial n! é o produto de todos os enteiros positivos ata n incluído. Logo na secuencia
o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de n − 1 enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos n de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro N, hai un enteiro m con gm ≥ N.
O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.
O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a ratio entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius.[2]
Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que gn = 2 para un número infinito de números enteiros n.
Para algún número primo P, escribimos P# para representar P primorial, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a P. Se Q é o número primo seguinte a P, entón a secuencia
é unha secuencia de Q − 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo Q − 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co Teorema do número primo.
Na verdade, os intervalos entre primos de P números poden ocorrer con números moito menores que P#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten vinte e sete dígitos, seu valor total é 557940830126698960967415390.
Resultados numéricos
O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.[3][4]
Decimos que gn é un intervalo maximal, se gm < gn m < n. O maior intervalo maximal coñecido ata agosto de 2016 ten tamaño 1476, atopado por Tomás Oliveira e Silva. É o septuaxésimo-sétimo intervalo maximal, e ocorre despois do número primo 1425172824437699411.[5] Outros récords de intervalos maximais poden ser vistos en (secuencia A002386 na OEIS).
No 1931, Westzynthius probou que os intervalos entre primos medra de forma maior do que a escala logarítmica. Ou sexa, [6]
Normalmente, a razón gn / ln(pn) chámase mérito dun intervalo entre primos gn.
Mérito | gn | cifras | pn | Data | Descubridor |
---|---|---|---|---|---|
36,858288 | 10716 | 127 | 2016 | Dana Jacobsen | |
36,590183 | 13692 | 163 | 2016 | Dana Jacobsen | |
36,420568 | 26892 | 321 | 2016 | Dana Jacobsen | |
35,424459 | 66520 | 816 | 2012 | Michiel Jansen | |
35,310308 | 1476 | 19 | 1425172824437699411 | 2009 | Tomás Oliveira e Silva |
Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo
onde 283# indica o primorial de 283.[7]
A razón de Cramér–Shanks–Granville está dada por
O maior valor coñecido desa ratio é 0,9206386 para o primo 1693182318746371. Outros termos récords están en (secuencia A111943 na OEIS).
|
|
|
Resultados posteriores
Limite superior
O postulado de Bertrand, probado no 1852, afirma que sempre existe un número primo entre k e 2k, en particular pn+1<2pn, o que significa que gn < pn.
O teorema do número primo, probado no 1896, dice que as distanzas totais entre dous intervalos entre o primo p e o próximo primo é ln(p). O tamaño real do intervalo pode ser moito maior ou menor. Apesar diso, o teorema do número primo deduce un límite superior para o tamaño dos intervalos entre primos: Para todo ε > 0, existe un número N tal que
- gn < εpn n > N.
Pódese deducir que os intervalos arbitrariamente pequenos teñen proporcións cos números primos a partir do límite do cociente:
Hoheisel no 1930 foi o primeiro en mostrar[10] que existe unha constante θ < 1 tal que
mostrando así que
para n suficientemente grande.
Hoheisel obtivo un posíbel valor para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para Heilbronn,[11] e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.[12]
O mellor resultado é debido a Ingham,[13] que mostrou que
para algunha constante positiva c, onde O' reférese à notación O grande, e
para algún . ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún é admisíbel, obtense que θ é un número maior que .
Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre n3 e (n + 1)3, se n é o suficientemente grande.[14] A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva c: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre n2 e (n + 1)2 para n suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.
Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).[15]
Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0,525.[16]
En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que
e dous anos máis tarde demostraron que [17]
En 2013, Yitang Zhang demostrou iso
o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns.[18] O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang.[19] En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns m hai un rango máximo de m primos.[20] Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46;[19][21] asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.[19]
Límites inferiores
En 1938, Robert Rankin demostrou a existencia dunha constante c > 0 tal que a desigualdade
funciona para valores infinitos de n, mellorando os resultados de Westzynthius e Paul Erdős. Máis tarde demostrou que esta constante pode ser c < eγ, onde γ é a constante de Euler–Mascheroni. O valor da constante c foi mellorado en 1997 a un valor inferior a 2eγ.[22]
Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante c na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.[23][24]
Máis tarde mellorouse o resultado
para valores infinitos de n de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.[25]
Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.[26]
Conxecturas sobre o intervalo entre números primos
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Wikipedia_primegaps.png/350px-Wikipedia_primegaps.png)
Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou[27] que a hipótese de Riemann implica que gn satisfai[28]
Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación:
A conxectura de Firoozbakht afirma que (onde é o n-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de n, é dicir,
Se esta conxectura é certa, a función satisfai
Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz[30][31][32] que suxire que vale para onde denota a constante de Euler-Mascheroni.
Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de
Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai
A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma que[33]
Como función aritmética
O tamaño do intervalo gn entre os números primos n-ésimo e (n + 1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por dn e chámase función de diferenza entre números primos.[33] Esta función non é aditiva nin multiplicativa.[34]
Programa en Python
Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de , sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973): [35]
def prime(num):
for divisor in range(2, num):
if num % divisor == 0:
return False
return True
list_prime = []
for i in range(1,10000):
if prime(i):
list_prime.append(i)
for n in range(2, len(list_prime)):
print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')
Notas
- ↑ Ares, Saul; Castro, Mario (1 February 2006). "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 360 (2): 285–296. Bibcode:2006PhyA..360..285A. arXiv:cond-mat/0310148. doi:10.1016/j.physa.2005.06.066.
- ↑ Westzynthius, E. (1931). Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán) 5. pp. 1–37. JFM 57.0186.02. Zbl 0003.24601..
- ↑ Andersen, Jens Kruse. "The Top-20 Prime Gaps".
- ↑ Intervalo de tamaño 1113106
- ↑ Intervalos maximais
- ↑ Westzynthius, E. (1931). Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind 5. Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors. pp. 1–37. JFM 57.0186.02. Zbl 0003.24601..
- ↑ 7,0 7,1 7,2 NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
- ↑ Dynamic prime gap statistics
- ↑ https://web.archive.org/web/20160620000854/http://www.trnicely.net/index.html#TPG. Parámetro descoñecido
|titulo=
ignorado (suxírese|título=
) (Axuda); Falta o|title=
(Axuda) - ↑ Hoheisel, G. (1930). "Primzahlprobleme in der Analysis" 33. Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 3–11. JFM 56.0172.02.
- ↑ Heilbronn, H. A. (1933). "Über den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel" 36 (1). Mathematische Zeitschrift: 394–423. doi:10.1007/BF01188631.
- ↑ Tchudakoff, N. G. (1936). "On the difference between two neighboring prime numbers" 1. Math. Sb.: 799–814.
- ↑ Ingham, A. E. (1937). "On the difference between consecutive primes". Oxford Series 8 (1). Quarterly Journal of Mathematics: 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
- ↑ Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). "Estimación explícita de números primos entre cubos consecutivos" 40. Rocky Mt. J. Matemáticas.: 117–153. Zbl 1201.11111. doi:10.1216/rmj-2010-40-1-117.
- ↑ Huxley, M. N. (1972). "Sobre a diferenza entre números primos consecutivos" 15 (2). Inventiones Mathematicae: 164–170. doi:10.1007/BF01418933.
- ↑ Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, J. (2001). "A diferenza entre números primos consecutivos, II". Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3): 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532.
- ↑ Goldston, D. A.; Pintz, J.; Yildirim, C. Y. (2007). "Primes en tuplas II". arXiv:0710.2728 [math.NT].
- ↑ Zhang, Yitang (2014). "Lagoas limitadas entre números primos" 179 (3). Ann. Of Math.: 1121–1174. MR 3171761. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7.
- ↑ 19,0 19,1 19,2 "Bounded_gaps between primes". Polymath.
- ↑ Maynard primeiro, James (2015). "Pequenos intervalos entre números primos" 181 (1). Ann. Of Math.: 383–413. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ↑ D.H.J. Polymath (2014). "Variantes da criba de Selberg e intervalos acotados que conteñen moitos primos". Investigación nas ciencias matemáticas 1 (12). MR 3373710. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7.
- ↑ Pintz, J. (1997). "Intervalos moi grandes entre números primos consecutivos". J. Teoría de números 63 (2): 286–301. doi:10.1006/jnth.1997.2081.
- ↑ Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016). "Large gaps between consecutive prime numbers" 183 (3). Ann. Of Math.: 935–974. MR 3488740. arXiv:1408.4505. doi:10.4007/annals.2016.183.3.4.
- ↑ Maynard, James (2016). "Large gaps between primes" 183 (3). Ann. Of Math.: 915–933. MR 3488739. arXiv:1408.5110. doi:10.4007/annals.2016.183.3.3.
- ↑ Ford, Kevin; Verde, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Terence (2015). "Largos intervalos entre números primos". arXiv:1412.5029 [math.NT].
- ↑ Ford, Kevin; Maynard, James; Tao, Terence (2015-10-13). "Cadeas de grandes intervalos entre primos". arXiv:1511.04468 [math.NT].
- ↑ Cramér, Harald (1936). "Na orde de magnitude da diferenza entre números primos consecutivos" (PDF) 2. Acta Arithmetica: 23–46.
- ↑ [1] gaps
- ↑ S., Nilotpal Kanti (2010). "Sobre unha nova propiedade dos primos que leva a unha xeneralización da conxectura de Cramer". arXiv:1010.1399 [math.NT]. .
- ↑ Granville, A. (1995). "Harald Cramér e a distribución dos números primos" (PDF) 1. Scandinavian Actuarial Journal: 12–28..
- ↑ Granville, Andrew (1995). "Inesperadas irregularidades na distribución dos números primos" (PDF) 1. Actas do Congreso Internacional de Matemáticos: 388–399..
- ↑ Pintz, János (2007). "Cramér vs. Cramér: Sobre o modelo probabilístico de Cramér para primos" 37 (2). Función. Aprox. Comenta. Math.: 232–471.
- ↑ 33,0 33,1 Guy (2004) §A8
- ↑ [2]
- ↑ Erro no código da cita: Etiqueta
<ref>
non válida; non se forneceu texto para as referencias de nomeNão_nomeado-xwAv-1
Véxase tamén
Bibliografía
- Soundararajan, Kannan (2007). "Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım". Bull. Am. Math. Soc. New Series 44 (1): 1–18. Zbl 1193.11086. arXiv:math/0605696. doi:10.1090/s0273-0979-06-01142-6.
- Mihăilescu, Preda (June 2014). "On some conjectures in additive number theory" (PDF). EMS Newsletter (92): 13–16. ISSN 1027-488X. doi:10.4171/NEWS. hdl:2117/17085.
Outros artigos
Ligazóns externas
- Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. Inclúe unha lista de tódolos intervalos coñecidos.
- Weisstein, Eric W. "Prime Difference Function". MathWorld.
- Modelo:Planetmath reference
- Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture.
- Chris Caldwell, Gaps Between Primes; unha introdución elemental
- Andrew Granville, Primes in Intervals of Bounded Length; inclúe o traballo de James Maynard de novembro do 2013.
- Birke Heeren, [3] Aquí atópanse as grandes intervalos de números primos e un artigo sobre como calcular eses intervalos..