Ver o código fonte de "Número pi"

{{1000}}
{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
{{Outros homónimos|Pi}}
[[Ficheiro:Pi-unrolled-720.gif|miniatura|360px|dereita|Cando o diámetro dun círculo é 1, a lonxitude da circunferencia é pi.]]
{| class="infobox" style ="width: 200px"
| colspan="2" align="center" | [[Número]]s – [[Número irracional|Números irracionais]] <br/> [[Constante de Apéry|ζ(3)]] – [[Raíz cadrada de 2|√2]] – [[Raíz cadrada de 3|√3]] – [[Raíz cadrada de 5|√5]] – [[Número áureo|φ]] – [[Números de Feigenbaum|α]] – [[Número e|e]] – '''π''' – [[Números de Feigenbaum|δ]]
|-
|[[Código binario|Binario]]
| 11,00100100001111110110…
|-
| [[Decimal]]
| 3,14159265358979323846…
|-
| [[código hexadecimal|Hexadecimal]]
| 3,243F6A8885A308D31319…
|-
| [[Fracción continua]]
| <math>3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}</math><br/><small>Nótese que esta fracción continua non é [[Función periódica|periódica]].</small>
|}
'''Pi''' ou '''π''' é unha [[constante matemática]] cuxo valor é a razón aritmética de calquera [[circunferencia]] dun [[círculo]] co seu [[diámetro]]; este é o mesmo valor có da razón da área dun círculo co cadrado do seu raio. É aproximadamente igual a 3,14159 na notación decimal habitual. π é unha das constantes [[matemáticas]] e [[física]]s máis importantes: moitas fórmulas das matemáticas, [[ciencia]]s e [[enxeñaría]] están moi relacionadas con π<ref>{{cita libro| título = An Introduction to the History of Mathematics | autor = Howard Whitley Eves | ano = 1969 | editor = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref>.

π é un [[número irracional]], o que significa que o seu valor non pode ser expresado exactamente como [[Fracción (matemáticas)|fracción]] ''m''/''n'', onde ''m'' e ''n'' son [[Número enteiro|enteiros]]. Por conseguinte, a súa [[representación decimal]] nunca acaba ou se repite. É tamén un [[número transcendente]], o que quere dicir que non existen secuencias finitas de operacións alxébricas con números enteiros ([[multiplicación]]s, [[Raíz cadrada|raíces]], [[suma]]s etc.) que poidan ser igual ao seu valor; demostrar isto foi un logro recente na historia das matemáticas e un resultado significativo das matemáticas alemás do [[século XIX]]. Ao longo da historia matemática, teñen habido moitos esforzos por determinar π máis exactamente e entender a súa natureza; a fascinación co número mesmo pasou á cultura non-matemática.
	
A letra grega π, frecuentemente enunciada ''pi'', foi adoptada para o número a partir da palabra grega para ''perímetro'' "περίμετρος", por vez primeira por [[William Jones (matemático)|William Jones]] en 1707, e popularizada por [[Leonhard Euler]] en 1737<ref name="collier">{{cita libro |apelidos=Comanor |nome=Milton |autor2=Ralph P. Boas |editor=William D. Halsey |título=Collier's Encyclopedia |capítulo=Pi |ano=1976 |editorial=Macmillan Educational Corporation |volume=19 |localización=New York |páxinas=21-22 }}</ref>. A constante tamén é ocasionalmente referida coma a "constante circular", a "constante de [[Arquímedes]]" (para non ser confundida co [[número de Arquimedes]]) ou "número de [[Ludolph van Ceulen|Ludolph]]" (na honra dun matemático alemán cuxos esforzos para calcular os máis dos seus díxitos fixérono coñecido).

== Definicións ==
* En xeometría plana, π pódese definir como a [[relación]] da [[circunferencia]] co seu [[diámetro]].
* Tamén se define π analiticamente usando [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]], como exemplos: 
** como o menor positivo ''x'' para o cal sen(''x'')&nbsp;=&nbsp;0, 
** como o duplo do menor positivo ''x'' para o cal cos(''x'')&nbsp;=&nbsp;0.

== A probabilidade e o número π ==
[[Ficheiro:Normal Distribution PDF.svg|miniatura|300px|Gráficas da [[distribución normal]] para distintos valores da [[Media (matemáticas)|media]] e [[desviación típica]]. A de cor vermella é a da [[distribución normal estándar]] (media 0 e desviación típica 1)]]
Unha lixeira reflexión pode facernos pensar que nada hai máis afastado do número π que o concepto de [[probabilidade]], cando a realidade é ben distinta. O [[matemático]] e [[lóxica|lóxico]] inglés [[Augustus De Morgan]] foi interrogado en certa ocasión por un vendedor de seguros sobre a probabilidade de que un grupo de persoas seguise con vida despois dun certo tempo. Na solución ao problema aparecía o número π, cousa que sorprendeu ao vendedor quen pensou que De Morgan se trabucara. A solución era a correcta e ten que ver coa [[distribución normal]], unha [[variable aleatoria]] continua cuxa [[función de densidade]] é:
:<math>
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
</math>

onde μ é a [[Media (matemáticas)|media]] e σ a [[desviación típica]] da distribución.

A distribución normal aparece ligada a multitude de situacións reais, entre elas á esperanza de vida do problema do vendedor de seguros. A gráfica desta distribución coñécese como [[campá de Gauss]] pola súa forma característica de campá e polo matemático alemán [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], quen en [[1809]] publicou un monográfico no que introducía algúns conceptos estatísticos, entre eles o de ''distribución normal''; porén algúns autores atribúenlle o descubrimento en [[1733]] ao matemático francés [[Abraham De Moivre|De Moivre]], estudando os coeficientes do binomio {{nowrap|(''a + b'')<sup>''n''</sup>}}. É por este nome que [[Alexander Pope]] dicía que ''cada vez que alguén morre, as campás (de Gauss) soan por π''.

Outros exemplos do campo das probabilidades onde aparece π son:
* A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan [[números primos entre si|primos entre si]] é <math>6/\pi^2</math>
* Elixido ó chou un [[triángulo]] cuxo lado maior mide a unidade, a probabilidade de que sexa [[triángulo obtusángulo|obtusángulo]] é <math>(\pi-2)/4</math>
* O problema da [[agulla de Buffon]]: chamado así por ser proposto, e resolto, polo [[Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon|conde de Buffon]], científico francés do [[século XVIII]]. Lanzada unha agulla, sen que se clave, sobre unha superficie na que se trazaron liñas paralelas equidistantes, trátase de calcular a probabilidade de que a agulla corte a unha liña. Se <math>l</math> é a lonxitude da agulla, e <math>d</math> a distancia entre as liñas, dita probabilidade é:
:# <math>\frac{2l}{\pi d}</math> cando <math>l < d</math>
:# <math>\frac{2}{\pi}</math> cando <math>l = d</math>
:# <math>\frac{2l}{\pi d} - \frac{2}{\pi d} \left \{ \sqrt{l^2 - d^2} + d \sin^{-1} \left( \frac{d}{l} \right) \right \} + 1</math> cando <math>l > d</math>
* O problema da [[agulla de Buffon-Laplace]]: foi proposto por [[Pierre Simon Laplace|Laplace]] en [[1812]]. É unha variante do problema de Buffon considerando a superficie cuadriculada onde os lados da cuadrícula <math>a</math> e <math>b</math> non teñen por que medir o mesmo, e a lonxitude da agulla <math>l</math> é menor que ambos lados.
:# Se <math>a \neq b</math>, a probabilidade de que a agulla corte a algún lado da cuadrícula é:<math> \frac {2l \left( a + b \right) - l^2 }{\pi ab}</math>
:# Se <math>a = b</math>, téñense as seguintes probabilidades:
:::* Probabilidade de que a agulla non corte a ningunha liña: <math>1 - \frac {l \left( 4a - l \right)}{\pi a^2}</math>
:::* Probabilidade de que a agulla corte a unha liña: <math>\frac {2l \left( 2a - l \right)}{\pi a^2}</math>
:::* Probabilidade de que a agulla corte ás dúas liñas: <math>\frac {l^2}{\pi a^2}</math>
::A suma das tres probabilidades anteriores é obviamente 1 xa que abarcan todas as posibilidades e corresponden a sucesos incompatíbeis.

== Fórmulas que conteñen π ==

=== Xeometría ===
* [[Ángulo]]s: 180 graos son equivalentes a ''π'' [[radián]]s

{| border="1" cellspacing="4" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse;"
!Forma xeométrica
!Fórmula
|-
|[[Circunferencia]] do círculo de [[raio (xeometría)|raio]] ''r'' e [[diámetro]] ''d''
|<math>C = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[Área]] do círculo de raio ''r''
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Área da [[Elipse (xeometría)|elipse]] con semi-eixos ''a'' e mais ''b''
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[Volume (física)|Volume]] da esfera de raio ''r''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!</math>
|-
|[[Superficie]] da esfera de raio ''r''
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Volume do [[cilindro]]  de altura ''h'' e raio ''r''
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Superficie do cilindro de altura ''h'' e raio ''r''
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|Volume do [[cono]] de altura ''h'' e raio ''r''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Superficie do cono de altura ''h'' e raio ''r''
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

Ademais, o [[ángulo]] 180° en graos equivale a π [[radián]]s (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π [[radián]]s).

=== Análise ===
Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluíndo [[series infinitas]], [[integral|integrais]], e as chamadas ''funcións especiais''.

* [[François Viète]], [[1593]] ([[Proba de Viète]]):
:<math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* fórmula de [[Gottfried Leibniz|Leibniz]]:
:<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
:Esta serie infinita, citada a miúdo, escríbese como se indica arriba, pero exprésase máis tecnicamente como:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right ) = \frac{\pi}{4}</math>
* [[produto de Wallis]] (ver este artigo para a proba):
:<math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* Unha fórmula de [[cálculo integral]] :
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[problema de Basel]], resolta por [[Leonhard Euler|Euler]] (ver tamén [[función zeta de Riemann]] ):
:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:e xeralmente, <math>\zeta(2n)</math> é un múltiplo de <math>\pi^{2n}</math> para o enteiro positivo ''n''
* [[función Gamma]] avaliada en 1/2:
:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[aproximación de Stirling]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
* [[identidade de Euler]] (chamada por [[Richard Feynman]] "a fórmula máis salientada en matemáticas"):
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Area dun cuarto do círculo unidade: 
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

== Historia ==
=== Antigüidade ===
As aproximacións máis coñecidas a ''π'' datan de [[I milenio a. C.|antes da nosa era]] e tiñan unha precisión de dúas cifras decimais; esta precisión mellorouse, sobre todo nas [[Matemática china|matemáticas chinesas]] en particular a mediados do primeiro milenio, ata unha precisión de sete cifras decimais.
A partir de entón, non se produciron máis avances ata finais da [[Idade Media]].

As primeiras aproximacións escritas de ''π'' atópanse en [[Babilonia]] e [[Exipto]], ambas dentro do un por cento do valor verdadeiro. En Babilonia, unha [[tableta de arxila]] datada entre 1900 e 1600&nbsp;a.C. ten un enunciado xeométrico que, implicitamente, trata a ''π'' como {{sfrac|25|8}}&nbsp;=&nbsp;3.125.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} En Exipto, o [[papiro de Rhind]], datado ao redor de 1650&nbsp;AC pero copiado dun documento datado en 1850&nbsp;AC, ten unha fórmula para a área dun círculo que trata a ''π'' como {{nowrap|({{sfrac|16|9}})<sup>2</sup> ≈}} 3.16.<ref name=mollin>{{cita xornal|last=Mollin|first=R. A.|issue=3|journal=Nieuw Archief voor Wiskunde|mr=1743850|pages=383–405|title=Continued fraction gems|volume=17|ano=1999}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} Aínda que algúns [[Piramidología|piramidólogos]] como [[Flinders Petrie]] han teorizado que a [[Gran Pirámide de Gizeh]] foi construída con proporcións relacionadas con ''π'', esta teoría non é amplamente aceptada polos estudosos.<ref>{{Cite book |pages=67–77, 165–166 |title=The Shape of the Great Pyramid |first=Roger |last=Herz-Fischler |publisher=Wilfrid Laurier University Press |year=2000 |isbn=978-0-88920-324-2 |url=https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67 |data-acceso=22 de febreiro do 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161129205154/https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67 |archive-date=29 de novembro de 2016}}</ref>
Nos textos [[Shulba Sutras]] das [[Matemática india|matemáticas indias]], que datan dunha tradición oral do primeiro ou segundo milenio a.C., danse aproximacións que foron interpretadas de diversas maneiras como aproximadamente 3.08831, 3.08833, 3.004, 3, ou 3.125.<ref>{{cite book|page=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA27 27]|title=Mathematics in India|title-link=Mathematics in India (book)|first=Kim|last=Plofker|date= 2009|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0691120676}}</ref>
=== Era de aproximación de polígonos ===
[[Ficheiro:Archimedes pi.svg|upright=1.59|esquerda|miniatura|alt=diagrama dun hexágono e un pentágono circunscritos fóra dun círculo|''π'' pódese estimar calculando os perímetros de polígonos circunscritos e inscritos.]]
[[Ficheiro:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|esquerda|alt=Unha pintura dun home estudando|miniatura|upright|[[Arquímedes]] desenvolveu o enfoque poligonal para aproximar ''π''.]]
O primeiro [[algoritmo]] rexistrado para calcular rigorosamente o valor de ''π'' foi un enfoque xeométrico mediante [[polígono]]s, ideado ao redor do 250&nbsp;a.C. polo matemático grego [[Arquímedes]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=170}} Este algoritmo poligonal dominou durante máis de 1.000 anos, e como resultado ''π'' coñécese ás veces como a constante de Arquímedes.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}} Arquímedes calculou os límites superior e inferior de ''π'' debuxando un [[hexágono]] regular dentro e fóra dun [[círculo]], e duplicando sucesivamente o número de lados ata chegar a un polígono regular de 96 lados. Ao calcular os perímetros destes polígonos, demostrou que {{math|{{sfrac|223|71}} < ''π'' < {{sfrac|22|7}}}} (é dicir {{math|3.1408 < ''π'' < 3.1429}}).<ref name=life-of-pi>{{cita libro|last=Borwein|first=Jonathan M.|author-link=Jonathan Borwein|editor1-last=Sidoli|editor1-first=Nathan|editor2-last=Van Brummelen|editor2-first=Glen|contribution=The life of ''π'': from Archimedes to ENIAC and beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|location=Heidelberg|mr=3203895|pages=531–561|publisher=Springer|title=From Alexandria, through Baghdad: Surveys and studies in the ancient Greek and medieval Islamic mathematical sciences in honor of J. L. Berggren|year=2014}}</ref> O límite superior de Arquímedes de {{math|{{sfrac|22|7}}}} puido levar a unha crenza popular estendida de que ''π'' é igual a {{math|{{sfrac|22|7}} }}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=171}} Ao redor do 150 d. C., o científico grego-romano [[Tolomeo]], no seu ''[[Almaxesto]]'', deu un valor para ''π'' de 3,1416, que puido ter obtido de Arquímedes ou de [[Apolonio de Perge]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=176}}{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--pode ser sospeitoso--> Os matemáticos que usaban algoritmos poligonais alcanzaron os 39 díxitos de ''π'' en 1630, un récord que só se bateu en 1699 cando se usaron series infinitas para acadar os 71 díxitos.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}. Grienberger acadou 39 díxitos en 1630; Sharp 71 díxitos en 1699.</ref>

Na [[Historia da China#Historia antiga|China antiga]], os valores de ''π'' eran 3,1547 (ao redor do ano 1 d. C.), √10 (aproximadamente 3.1623 no 100 d.C.), e {{math|{{sfrac|142|45}}}} ( aproximadamente 3,1556 no século III).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}} Ao redor do 265 d. C., o matemático do [[Cao Wei|reino Wei]] [[Li Hui]] creou un [[algoritmo de Li Hui para π|algoritmo iterativo baseado en polígonos]] e utilizouno cun polígono de 3.072 lados para obter un valor. de ''π'' de&nbsp;3.1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=177}} Liu máis tarde inventou un método máis rápido para calcular ''π'' e obtivo un valor de 3,14 cun polígono de 96 lados, aproveitando que as diferenzas na área dos sucesivos polígonos forman unha serie xeométrica cun factor de&nbsp;4.<ref name="autogenerated202" /> O matemático chinés [[Zu Chongzhi]], ao redor do ano 480 d. C., calculou que {{math|3.1415926 < ''π'' < 3.1415927}} e suxeriu as aproximacións {{math|''π'' ≈ {{sfrac|355|113}}}} = 3.14159292035... e {{math|''π'' ≈ {{sfrac|22|7}}}} = 3.142857142857..., que chamou ''[[Milü]]'' (<nowiki>''</nowiki>proporción proxima") e ''Yuelü'' ("proporción aproximada"), respectivamente, utilizando o [[algoritmo π de Li Hui|algoritmo de Li Hui]] aplicado a un polígono de 12.288 lados. Cun valor correcto para os seus sete primeiros díxitos decimais, este valor seguiu sendo a aproximación máis exacta de ''π'' dispoñible durante os seguintes 800 anos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=178}}

O astrónomo indio [[Âryabhata]] utilizou un valor de 3,1416 na súa ''[[Āryabhaṭīya]]'' (499 d. C.)..{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=179}} [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] en c.&nbsp;1220 calculou 3,1418 mediante un método poligonal, independente de Arquímedes.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}} O autor italiano [[Dante Alighieri|Dante]] ao parecer empregou o valor {{math|3+{{sfrac|√2|10}} ≈ 3.14142}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}}



O astrónomo persa [[Jamshīd al-Kāshī]] produciu 9 díxitos [[Sistema sexaxesimal|sexaxesimais]], aproximadamente o equivalente a 16 díxitos decimais, en 1424 utilizando un polígono con 3×2<sup>28</sup> lados,<ref>{{cita xornal |first1=Mohammad K. |last1=Azarian |title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary |journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences |volume=22 |issue=2 |year=2010 |pages=64–85 |doi=10.35834/mjms/1312233136}}</ref><ref>{{cita web |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |year=1999 |title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi |work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html |data-acceso=22 de febreiro do 2023 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110412192025/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html |archive-date=12 de abril de 2011}}</ref> que foi o récord mundial durante uns 180 anos.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} O matemático francés [[François Viète]] logrou en 1579 9 díxitos cun polígono de 3×2<sup>17</sup> lados.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} O matemático flamengo [[Adriaan van Roomen]] chegou os 15 decimais en 1593.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} En 1596, o matemático holandés [[Ludolph van Ceulen]] alcanzou os 20 díxitos, un rexistro que máis tarde aumentou a 35 díxitos (como resultado, ''π'' foi chamado "número ludolphiano" en Alemaña ata principios do século XX).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}} O científico holandés [[Willebrord Snel]] alcanzou os 34 díxitos en 1621,{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=183}} e o astrónomo austríaco [[Christoph Grienberger]] chegou a 38 díxitos en 1630 usando 10<sup>40</sup> lados.<ref>{{cite book |first=Christophorus |last=Grienbergerus |author-link=Christoph Grienberger |language=la |year=1630 |title=Elementa Trigonometrica |url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf |data-arquivo=1 de febreiro de 2014}} His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < ''π'' < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> [[Christiaan Huygens]] foi quen de chegar a 10 cifras decimais en 1654 usando un método equivalente e lixeiramente diferente á [[extrapolación de Richardson]].<ref>{{cite book|last=Brezinski|first=C.|contribution=Some pioneers of extrapolation methods|date=2009|url=https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/9789812836267_0001|title=The Birth of Numerical Analysis|pages=1–22|publisher=World Scientific|doi=10.1142/9789812836267_0001|isbn=978-981-283-625-0|editor1-first=Adhemar|editor1-last=Bultheel|editor1-link=Adhemar Bultheel|editor2-first=Ronald|editor2-last=Cools}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Yoder|first=Joella G.|date=1996|title=Following in the footsteps of geometry: The mathematical world of Christiaan Huygens|journal=De Zeventiende Eeuw|volume=12|pages=83–93|url=https://www.dbnl.org/tekst/_zev001199601_01/_zev001199601_01_0009.php|via=[[Digital Library for Dutch Literature]]}}</ref>

=== Series infinitas ===
[[Ficheiro:comparison_pi_infinite_series.svg|miniatura|<center>Comparación da converxencia do produto de Wallis (asteriscos roxos) e varias series infinitas para ''π''. Sn é a aproximación despois de tomar n termos. Cada subgráfico amplía a precisión da imaxe nun factor de 10.</center>]]
O cálculo de ''π'' foi revolucionado polo desenvolvemento das técnicas de [[Serie (matemáticas)|series infinitas]] nos séculos XVI e XVII. Unha serie infinita é a suma dos termos dunha [[Sucesión (matemáticas)|sucesión]] infinita. As series infinitas permitían aos matemáticos calcular ''π'' con moita maior precisión que [[Arquímedes]] e outros que utilizaban técnicas xeométricas.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Aínda que as series infinitas foron explotadas para ''π'' sobre todo por matemáticos europeos como [[James Gregory]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], o enfoque tamén apareceu na [[Escola de Kerala]] nalgún momento dos séculos XIV ou XV.<ref name="Roypp"/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}} Ao redor de 1500 d. C., unha descrición escrita dunha serie infinita que podería usarse para calcular ''π'' foi presentada en verso [[Lingua sánscrita|sánscrito]] no tratado astronómico ''[[Tantrasamgraha]]'' escrito polo matemático e astronomo [[Nilakantha Somayaji]].<ref name="Roypp">{{cita xornal |apelido=Roy |nome=Ranjan |ano=1990 |título=The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha |xornal=Mathematics Magazine |volume=63 |número=5 |páxinas=291–306 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |doi=10.1080/0025570X.1990.11977541 |data-acceso=23 de febreiro de 2023 |data-arquivo=14 de marzo de 2023 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20230314224252/https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |url-morta=yes }}</ref> As series preséntanse sen probas, pero as probas preséntanse nun traballo posterior, ''[[Yuktibhāṣā]]'', de arredor de 1530 d.C. Descríbense varias series infinitas, incluíndo series para seno (que Nilakantha atribúe a [[Madhava de Sangamagrama]]), coseno e arcotanxente que agora se denominan ás veces [[series de Madhava]]. Ás veces a serie para arcotanxente chámase [[series de Gregory]] ou series Gregory–Leibniz.<ref name="Roypp" /> Madhava utilizou series infinitas para estimar ''π'' a 11 díxitos ao redor de 1400, pero ese valor foi mellorado ao redor de 1430 polo matemático persa [[Jamshīd al-Kāshī]], utilizando un algoritmo poligonal.<ref>{{cita libro |apelido=Joseph |nome=George Gheverghese |título=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |editorial=Princeton University Press |year=1991 |isbn=978-0-691-13526-7 |url=https://books.google.com/books?id=c-xT0KNJp0cC&pg=PA264 |páxina=264}}<!-- Este ISBN é para a terceira edición de 2011! --></ref>

En 1593, [[François Viète]] publicou o que agora se coñece como [[fórmula de Viète]], un [[produto infinito]] (en lugar dunha [[Serie (matemáticas)|suma infinita]], que se utiliza máis tipicamente nos cálculos de ''π''):
{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=187}}<ref>{{Cita enciclopedia|url=https://oeis.org/A060294|título=	Decimal expansion of Buffon's constant 2/Pi|enciclopedia=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) Wiki}}</ref><ref>{{cita libro |url=https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ|título=Variorum de rebus mathematicis responsorum|volume=VIII|nome=Franciscus|apelido=Vieta|ano=1593}}</ref>

<math display=block> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

En 1655, [[John Wallis]] publicou tamén un produto infinito, o que agora se coñece como [[produto de Wallis]]:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=187}}

<math display=block>
\frac{\pi}{2} = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdots
</math>

[[Ficheiro:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|miniatura|upright|alt=Un retrato formal dun home, con cabelos longos|[[Isaac Newton]] utilizou [[series infinitas]] para calcular ''π'' ata 15 díxitos, escribindo máis tarde "avergóñame dicirlle ata cantas cifras teñen estes cálculos".<ref name="Newton" />]]
Na década de 1660, o científico inglés [[Isaac Newton]] e o matemático alemán [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] descubriron o [[cálculo]], que conduciu ao desenvolvemento de moitas series infinitas para achegarse a ''π''. O propio Newton utilizou unha serie arcoseno para calcular unha aproximación de 15 díxitos de ''π'' en 1665 ou 1666, escribindo "Avergóñame dicirche ata cantas cifras levei estes cálculos, non tendo outro asunto nese momento."<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>

En 1671, [[James Gregory ]], e independentemente Leibniz en 1673, descubriron a expansión da [[serie de Taylor]] para a [[Funcións trigonométricas inversas|función de arco]]:<ref name=Roypp/><ref>{{cita xornal |apelido=Horvath |nome=Miklos |título=On the Leibnizian quadrature of the circle. |xornal=Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) |volume=4 |ano=1983 |páxinas=75-83 |url=http://ac.inf.elte.hu/Vol_004_1983/075.pdf }}</ref><ref name="LS" />

<math display=block>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>

Esta serie, ás veces chamada [[serie de Gregory|serie de Gregory-Leibniz]], é igual a {{math|π/4}} cando se calcula con {{math|1=''z'' = 1}}.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|2004|pp=53–54}}</ref> Pero para {{math|1=''z'' = 1}} [[Serie de Leibniz|converxe de forma pouco práctica]] (é dicir, aproxímase á resposta moi gradualmente), necesitando unhas dez veces máis termos para calcular cada díxito adicional.

En 1699, o matemático inglés [[Abraham Sharp]] utilizou a serie de Gregory-Leibniz para <math display="inline">z=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> para calcular  71 díxitos de π, batendo o récord anterior de 39 díxitos, que se estableceu cun algoritmo poligonal.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=189}}

En 1706, [[John Machin]] utilizou a serie de Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que converxía moito máis rápido:<ref name=jones>{{cita libro |last=Jones |first=William |author-link=William Jones (mathematician) |year=1706 |title=Synopsis Palmariorum Matheseos |place=Londres |publisher=J. Wale |url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ |pages=[https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n261/ 243], [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ 263] |cita=Hai outras formas de achar as ''lonxitudes'' ou ''áreas'' de determinadas ''liñas curvas'' ou ''planas'', que poden facilitar moito a práctica; por exemplo, no ''círculo'', o diámetro é á circunferencia como 1 a:
 <br><math>\overline{\tfrac{16}5 - \tfrac4{239}} - \tfrac13\overline{\tfrac{16}{5^3} - \tfrac4{239^3}} + \tfrac15\overline{\tfrac{16}{5^5} - \tfrac4{239^5}} -,\, \&c. =</math><br>{{math|1=3.14159, &''c.'' = ''π''}}. 
Esta ''serie'' (entre outras para o mesmo propósito, son extraídas do mesmo principio) recibina do excelente analista, e o meu moi estimado amigo Mr. ''[[John Machin]]''; e por medio dela, o número de ''[[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]]'', o Art. 64.38. pode ser examinado con toda a facilidade e rapidez desexables.}}
<p>Publicado en {{cita libro |apelido=Smith |nome=David Eugene |ano=1929 |título=A Source Book in Mathematics |editorial=McGraw–Hill |chapter=William Jones: The First Use of π for the Circle Ratio |url=https://archive.org/details/sourcebookinmath1929smit/page/346/ |páxinas=346–347 }}</p></ref><ref name=tweddle>{{cita xornal |last=Tweddle |first=Ian |year=1991 |title=John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for π |xornal= Archive for History of Exact Sciences |volume=42 |number=1 |pages=1-14 |doi= 10.1007/BF00384331 |jstor=41133896 }}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}

<math display=block> \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}.</math>

Machin alcanzou os 100 díxitos de π con esta fórmula.<ref name="A72n4">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}</ref> Outros matemáticos crearon variantes, agora coñecidas como [[fórmulas de Machin]], que se utilizaron para establecer varios récords sucesivos de cálculo de díxitos de π.<ref>{{cita xornal |last=Lehmer |first=D. H. |author-link=D. H. Lehmer |year=1938 |title=On Arccotangent Relations for π |journal=American Mathematical Monthly |volume=45 |number=10 |pages=657-664 Published by: Mathematical Association of America |jstor=2302434 |doi=10.1080/00029890.1938.11990873 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf |data-acceso=23 de febreiro de 2023 |data-arquivo=07 de marzo de 2023 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20230307164817/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf |url-morta=yes }}</ref><ref name="A72n4" />

Isaac Newton [[aceleración da serie|acelerou a converxencia]] da serie Gregory-Leibniz en 1684 (nun traballo inédito; outros descubriron de forma independente o mesmo resultado):<ref>{{cita libro |last=Roy |first=Ranjan |year=2021 |orig-year=1st ed. 2011 |title=Series and Products in the Development of Mathematics |edition=2 |volume=1 |publisher=Cambridge University Press |pages=215–216, 219–220}}
<p>{{cite book |last=Newton |first=Isaac |authorlink=Isaac Newton |year=1971 |editor-last=Whiteside |editor-first=Derek Thomas |editor-link=Tom Whiteside |title=The Mathematical Papers of Isaac Newton |volume=4, 1674–1684 |publisher=Cambridge University Press |pages=526–653 }}</p></ref>

:<math>
\arctan x
= \frac{x}{1 + x^2} + \frac23\frac{x^3}{(1 + x^2)^2}
+ \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 5}\frac{x^5}{(1 + x^2)^3} + \cdots
</math>
[[Leonhard Euler]] popularizou esta serie no seu libro de texto de cálculo diferencial de 1755, e máis tarde utilizouna con fórmulas similares ás de Machin, incluíndo <math display=inline>\tfrac\pi4 = 5\arctan\tfrac17 + 2\arctan\tfrac{3}{77},</math> co que calculou 20 díxitos de π nunha hora.<ref>
{{cite web |last=Sandifer |first=Ed |year=2009 |title=Estimating π |website=How Euler Did It |url=http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2009-02.pdf }} Reprinted in {{cite book |last=Sandifer |first=Ed |display-authors=0 |year=2014 |title=How Euler Did Even More |pages=109-118 |publisher=Mathematical Association of America}}
<p>{{cite book |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Leonhard Euler |year=1755 |title=[[Institutiones calculi differentialis|Institutiones Calculi Differentialis]] |chapter=§2.2.30 |page=318 |publisher=Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae |lingua=la |chapter-url=https://archive.org/details/institutiones-calculi-differentialis-cum-eius-vsu-in-analysi-finitorum-ac-doctri/page/318 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/212/ E 212]}}</p>
<p>{{cita xornal |last=Euler |first=Leonhard |author-link=Leonhard Euler |year=1798 |orig-year=escrito en 1779 |título=Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae |xornal=Nova acta academiae scientiarum Petropolitinae |volume=11 |pages=133–149, 167–168 |url=https://archive.org/details/novaactaacademia11petr/page/133 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/705/ E 705] }}</p>
<p>{{cita xornal |last=Chien-Lih |first=Hwang |year=2004 |title=88.38 Some Observations on the Method of Arctangents for the Calculation of π |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2004-07_88_512/page/270 |journal=Mathematical Gazette |volume=88 |number=512 |pages=270–278 |doi=10.1017/S0025557200175060 }}</p>
<p>{{cita xornal |last=Chien-Lih |first=Hwang |year=2005 |title=89.67 An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function |xornal=Mathematical Gazette |volume=89 |number=516 |pages=469–470 |doi=10.1017/S0025557200178404 }}</p>
</ref>

As fórmulas maquinais seguiron sendo o método máis coñecido para calcular π ata ben entrada a era dos computadores, e utilizáronse para establecer récords durante 250 anos, culminando cunha aproximación de 620 díxitos en 1946 por Daniel Ferguson&nbsp;- a mellor aproximación lograda sen a axuda dun dispositivo de cálculo.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}

En 1844, [[Zacharias Dase]] estableceu un récord, que empregou unha fórmula similar a Machin para calcular 200 decimais de π coa súa cabeza a instancias do matemático alemán [[Carl Friedrich Gauss]].<ref name="A194">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=194–196}}</ref>

En 1853, o matemático británico [[William Shanks]] calculou π ata os 607 díxitos, pero cometeu un erro no díxito 528, o que fixo que todos os díxitos posteriores fosen incorrectos. Aínda que en 1873 calculou 100 díxitos adicionais, co que o total ascendeu a 707, o seu erro anterior fixo que todos os novos díxitos tamén fosen incorrectos.<ref name="hayes-2014">{{Cita publicación periódica |last=Hayes |first=Brian |url=https://www.americanscientist.org/article/pencil-paper-and-pi |title=Pencil, Paper, and Pi |volume=102 |issue=5 |page=342 |xornal=[[American Scientist]] |data=setembro de 2014 |data-acceso=19 de agosto d0 2023 |doi=10.1511/2014.110.342}}</ref>
==== Taxa de converxencia ====
Algunhas series infinitas para π [[series converxentes|converxen]] máis rápido que outras. Dada a elección de dúas series infinitas para π, os matemáticos xeralmente usarán a que converxa máis rapidamente porque unha converxencia máis rápida reduce a cantidade de computación necesaria para calcular π con calquera precisión dada.<ref name="Aconverge">{{cita xornal |last1=Borwein |first1=J.M. |last2=Borwein |first2=P.B. |title=Ramanujan and Pi |year=1988 |journal=Scientific American |volume=256 |issue=2 |pages=112–117 |bibcode=1988SciAm.258b.112B |doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Unha serie infinita simple para π é a [[Serie de Leibniz|Serie de Gregory-Leibniz]]:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}

<math display=block>
\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots
</math>
A medida que se engaden termos individuais desta serie infinita á suma, o total achégase gradualmente a π, e&nbsp;- cun número suficiente de termos&nbsp;- pode achegarse tanto a π como se desexe. A converxencia é bastante lenta, aínda que&nbsp;- despois de 500.000 termos, só produce cinco díxitos decimais correctos de π.<ref>{{cita xornal |last1=Borwein |first1=J.M. |last2=Borwein |first2=P.B. |last3=Dilcher |first3=K. |ano=1989 |title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681 |journal=American Mathematical Monthly |volume=96 |issue=8 |pages=681–687 |doi=10.2307/2324715 |jstor=2324715|hdl=1959.13/1043679}}</ref>

Unha serie infinita para π (publicada por Nilakantha no século XV) que converxe máis rapidamente que a serie de Gregory-Leibniz:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|loc = Formula 16.10, p. 223}}<ref>{{cita libro |last=Wells |first=David |page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35] |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1 |edition=revised |publisher=Penguin |ano=1997 |isbn=978-0-14-026149-3}}</ref>

<math display=block>
\pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots
</math>
Na táboa seguinte compáranse os índices de converxencia destas dúas series:

{|class="wikitable" style="text-align: center; margin: auto;"
|-
! Serie infinita para π!! Despois do 1º termo!! Despois do 2º termo!! Despois do 3er termo!! Despois do 4º termo!! Despois do 5º termo!! Converxe a:
|-
| <math>\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} + \cdots</math>
||4.0000||2.6666 ... ||3.4666 ... ||2.8952 ... ||3.3396 ... ||rowspan=2| π = 3.1415 ...
|-
| <math>\pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} - \cdots </math>
||3.0000||3.1666 ... ||3.1333 ... ||3.1452 ... ||3.1396 ...
|}

Despois de cinco termos, a suma da serie de Gregory-Leibniz está a 0,2 do valor correcto de π, mentres que a suma da serie de Nilakantha está a 0,002 do valor correcto. A serie de Nilakantha converxe máis rápido e é máis útil para calcular os díxitos de π. As series que converxen aínda máis rápido inclúen as series de [[fórmulas de Machin|Machin]] e de [[algoritmo de Chudnovsky|Chudnovsky]], este último produce 14 díxitos decimais correctos por termo.<ref name="Aconverge" />
=== Irracionalidade e transcendencia ===
Non todos os avances matemáticos relacionados con π tiñan como obxectivo aumentar a precisión das aproximacións. Cando Euler resolveu o [[problema de Basilea]] en 1735, achando o valor exacto da suma dos cadrados recíprocos, estableceu unha conexión entre π e os [[número primo|números primos]] que máis tarde contribuíu ao desenvolvemento e estudo da [[función zeta de Riemann]]:<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=284}}</ref>

<math display=block> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>
O científico suízo [[Johann Heinrich Lambert]] demostrou en 1768 que π é un [[número irracional]], o que significa que non é igual ao cociente de dous números enteiros calquera.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=5}} A [[Proba da irracionalidade de π|proba de Lambert]] explotou unha representación de fracción continua da función tanxente.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> O matemático francés [[Adrien-Marie Legendre]] demostrou en 1794 que π<sup>2</sup> tamén é irracional. En 1882, o matemático alemán [[Carl Louis Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann]] demostrou que π é un [[Número transcendente|número transcendental]],<ref>{{cita xornal | last=Lindemann | first=F. | author-link=Ferdinand Lindemann | ano=1882 | title=Über die Ludolph'sche Zahl | journal=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin | volume=2 | pages=679–682 | url=https://archive.org/details/sitzungsberichte1882deutsch/page/679 }}</ref> confirmando unha conxectura feita tanto por [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] como por Euler.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=196}}<ref>Hardy e Wright 1938 e 2000: 177 nota ao pé de páxina §&nbsp;11.13-14 fai referencia á proba de Lindemann que aparece en ''Math. Ann''. 20 (1882), 213-225.</ref> Hardy e Wright afirman que "as probas foron posteriormente modificadas e simplificadas por Hilbert, Hurwitz e outros escritores".<ref>cf Hardy e Wright 1938 e 2000:177 nota ao pé §&nbsp;11.13–14. As probas de que e e π son transcendentais atópanse nas pp. 170-176. Citan dúas fontes das probas en Landau 1927 ou Perron 1910; véxase a "Lista de libros" nas pp. 417-419 para as citas completas.</ref>
=== Adopción do símbolo π ===
{{Multiple image
| image1            = William Jones, the Mathematician.jpg
| caption1          = O primeiro uso coñecido da letra grega π para representar a relación entre a circunferencia e o diámetro dun círculo foi obra do matemático galés [[William Jones (matemático)|William Jones]] en 1706.
| caption2          = [[Leonhard Euler]] popularizou o uso da letra grega π en obras que publicou en 1736 e 1748.
| total_width       = 300
| image2            = Leonhard Euler.jpg
| align             = left
}}
Nos primeiros usos, a [[Pi (letra)|letra grega π]] utilizábase para denotar o [[semiperímetro]] (''semiperipheria '' en latín) dun círculo<ref name=firstPi>{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=KTgPAAAAQAAJ&pg=PP3 |title=Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario |last=Oughtred |first=William |date=1652 |publisher=Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson |lingua=la |cita={{math|''δ''.''π''}} :: semidiámetro. semiperiferia}}</ref> e combinábase en proporcións con [[delta (letra)|δ]] (para [[diámetro]] ou semidiámetro) ou [[rho|ρ]] (para [[Raio (xeometría)|raio]]) para formar constantes de círculo.<ref name="Cajori-2007">{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC&pg=PA9 |title=A History of Mathematical Notations: Vol. II |last=Cajori |first=Florian |data=2007 |publisher=Cosimo, Inc. |isbn=978-1-60206-714-1 |pages=8–13 |language=en |cita=a relación entre a lonxitude dun círculo e o seu diámetro representábase en forma fraccionaria mediante o uso de dúas letras ... J.A. Segner ... en 1767, representou {{math|3.14159...}} por {{math|''δ'':''π''}}, do mesmo xeito que Oughtred máis dun século antes
}}</ref><ref>{{wikicite |ref={{harvid|Schepler|1950}} |reference = Schepler, H.C. (1950) "The Chronology of Pi" ''Mathematics Magazine''. '''23'''.<br/>Part 1. Jan/Feb. (3): 165–170. [[Digital object identifier|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029284 10.2307/3029284].<br>Part 2. Mar/Apr. (4): 216-228. [[Digital object identifier|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029832 10.2307/3029832].<br>Part 3. May/Jun. (5): 279-283. [[Digital object identifier|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029000 10.2307/3029000].}}<br>Véxase p. 220: [[William Oughtred]] utilizou a letra π para representar a periferia (é dicir, a circunferencia) dun círculo.</ref><ref name="Smith-1958">{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA312 |title=History of Mathematics |last=Smith |first=David E. |data=1958 |publisher=Courier Corporation |isbn=978-0-486-20430-7 |page=312 |language=en}}</ref><ref>{{Cita xornal|last=Archibald|first=R.C.|date=1921|title=Historical Notes on the Relation {{math|1=''e''<sup>−(''π''/2)</sup> = ''i''<sup>''i''</sup>}}|jstor=2972388|xornal=The American Mathematical Monthly|volume=28|issue=3|pages=116–121|doi=10.2307/2972388|cita=Cabe destacar que estas letras "nunca" se utilizan por separado, é dicir, π non se utiliza para "Semiperiferia".}}</ref> (Antes diso, os matemáticos ás veces utilizaban letras como c ou p no seu lugar.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}}) O primeiro uso rexistrado é o de [[William Oughtred|Oughtred]] {{nobr|"<math>\delta . \pi</math>"}}, para expresar a relación entre periferia e diámetro nas edicións de 1647 e posteriores de {{lang|la|Clavis Mathematicae|italic=yes}}.<ref>Vexa, por exemplo, {{cita libro |url=https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC |title=Clavis Mathematicæ |last=Oughtred |first=William |date=1648 |publisher=Thomas Harper |location=London |page=[https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC/page/n220 69] |language=la|trans-title=The key to mathematics}} (English translation: {{cita libro |url=https://books.google.com/books?id=S50yAQAAMAAJ&pg=PA99 |title=Key of the Mathematics |last=Oughtred |first=William |date=1694 |publisher=J. Salusbury |language=en}})</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} [[Isaac Barrow|Barrow]] igualmente utilizada {{nobr|"<math display=inline>\frac \pi \delta</math>"}} para representar a constante {{math|3.14...}},<ref>{{cita libro|chapter-url=https://archive.org/stream/mathematicalwor00whewgoog#page/n405/mode/1up |title=The mathematical works of Isaac Barrow |last=Barrow |first=Isaac |date=1860 |publisher=Cambridge University press |others=Harvard University |editor-last=Whewell|editor-first=William |pages=381 |language=la |chapter=Lecture XXIV}}</ref> mentres que [[David Gregory|Gregory]] utilizaba no seu lugar {{nobr|"<math display=inline>\frac \pi \rho</math>"}} para representar {{math|6.28...&thinsp;}}.<ref>{{Cita xornal |last=Gregorius |first=David |date=1695 |title=Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae |jstor=102382 |journal=Philosophical Transactions |language=la |volume=19 |issue=231 |pages=637–652 |doi=10.1098/rstl.1695.0114 |bibcode=1695RSPT...19..637G|url=https://archive.org/download/crossref-pre-1909-scholarly-works/10.1098%252Frstl.1684.0084.zip/10.1098%252Frstl.1695.0114.pdf}}</ref><ref name="Smith-1958" />

O uso máis antigo coñecido da letra grega π para representar a relación entre a circunferencia dun círculo e o seu diámetro foi realizado polo matemático galés [[William Jones (matemático)|William Jones]] na súa obra de 1706 ''{{lang|a|Synopsis Palmariorum Matheseos|italic=unset}}; ou, ''A new Introduction to the Mathematics''.<ref name=jones/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=165|ps=: A facsimile of Jones' text is in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}.}} A letra grega aparece na p. 243 na frase "<math display=inline>\tfrac12</math> Periferia π)", calculada para un círculo de raio un. Con todo, Jones escribe que as súas ecuacións para π proveñen da "pluma lista do verdadeiramente enxeñoso Sr. [[John Machin]]", o que leva a especular que Machin puido empregar a letra grega antes que Jones.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} A notación de Jones non foi adoptada inmediatamente por outros matemáticos, e a notación de fraccións seguía utilizándose en 1767.<ref name="Cajori-2007" /><ref>{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282 |title=Cursus Mathematicus |last=Segner |first=Joannes Andreas |data=1756 |publisher=Halae Magdeburgicae |page=282 |language=la|access-date=15 October 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171015150340/https://books.google.co.uk/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282|archive-date=15 de outubro de 2017}}</ref>

[[Leonhard Euler|Euler]] empezou a utilizar a forma dunha soa letra a partir do seu ''Ensaio explicativo das propiedades do aire'' de 1727, aínda que utilizou {{math|1=''π'' = 6,28...}}, o cociente entre a periferia e o raio, neste e nalgúns escritos posteriores.<ref>{{Cita xornal |last=Euler |first=Leonhard |date=1727 |title=Tentamen explicationis phaenomenorum aeris|url=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5 |journal=Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana |language=la |volume=2 |page=351 |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E007.html E007] |cita=Sumatur pro ratione radii ad peripheriem, {{math|I : π}} |data-acceso=17 de xullo do 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20160401072718/http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5|archive-date=1 de abril de 2016}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 English translation by Ian Bruce] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160610172054/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 |date=10 de xuño de 2016 }}: "{{mvar|π}} tómase para a relación entre o raio e a periferia [nótese que neste traballo, o {{pi}} de Euler é o dobre de noso {{pi}}.]»</ref><ref>{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=3C1iHFBXVEcC&pg=PA139 |title=Lettres inédites d'Euler à d'Alembert |last=Euler |first=Leonhard |series=Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche |year=1747 |editor-last=Henry|editor-first=Charles |volume=19 |publication-date=1886 |page=139 |language=fr |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E858.html E858] |quote=Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est {{math|{{=}} 1}}}} Tradución ao inglés en {{Cita xornal |last=Cajori |first=Florian |date=1913 |title=History of the Exponential and Logarithmic Concepts |jstor=2973441 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=20 |issue=3 |pages=75–84 |doi=10.2307/2973441 |cita=Sendo {{pi}} a circunferencia (!) dun círculo de raio unitario}}</ref>   Euler utilizou por primeira vez {{nowrap|1={{pi}} = 3.14...}} na súa obra de 1736 ''[[Mechanica]]'',<ref>{{Cita libro|last=Euler|first=Leonhard|title=Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis)|date=1736|publisher=Academiae scientiarum Petropoli|volume=1|page=113|language=la|chapter=Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1|id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E015.html E015]|quote=Denotet {{math|1 : ''π''}} rationem diametri ad peripheriam|chapter-url=https://books.google.com/books?id=jgdTAAAAcAAJ&pg=PA113}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26 English translation by Ian Bruce] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160610183753/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26|data=10 de xuño 2016}} :«Sexa {{math|1 : ''π''}}} a relación entre o diámetro e a circunferencia»</ref> e continuou na súa moi lida obra de 1748 [[:es:Introductio in analysin infinitorum|Introductio in analysin infinitorum]] (escribiu: «co fin da menor brevidade escribiremos este número como {{pi}}; así {{pi}} é igual á metade da circunferencia dun círculo de raio {{math|1}}").<ref>{{Cita libro |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155 |title=Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio |last=Euler |first=Leonhard (1707–1783) |date=1922 |publisher=B.G. Teubneri |location=Lipsae |pages=133–134 |language=la |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html E101]|data-acceso=17 de xullo do 2024|archive-url=https://web.archive.org/web/20171016022758/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155|archive-date=16 October 2017}}</ref> Como Euler mantiña unha gran correspondencia con outros matemáticos de Europa, o uso da letra grega estendeuse rapidamente, e a práctica adoptouse universalmente a partir de entón no [[Occidente|mundo occidental]],{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} aínda que a definición seguía variando entre {{math|3,14...}} e {{math|6,28...}} até 1761.<ref>{{Cita libro |url=https://books.google.com/books?id=P-hEAAAAcAAJ&pg=PA374 |title=Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm |last=Segner |first=Johann Andreas von |date=1761 |publisher=Renger |page=374 |language=la |quote=Si autem {{pi}} notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt {{math|2}}}}</ref>
== Busca moderna de máis díxitos ==

=== Era da informática e algoritmos iterativos ===
{{Cadro de citas
 | cita  =
O [[Algoritmo de Gauss–Legendre|algoritmo iterativo de Gauss–Legendre]]:<br/>Inicializar
<math display=block>\textstyle a_0 = 1, \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2}, \quad t_0 = \frac{1}{4}, \quad p_0 = 1.</math>
Iterar
<math display=block>\textstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}, \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},</math>
<math display=block>\textstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2, \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n.</math>
Entón unha estimación para {{pi}} vén dada por
<math display=block>\textstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.</math>
|largo=30%|aliñamento=dereita}}

O desenvolvemento dos computadores a mediados do século XX revolucionou de novo a procura de díxitos de {{pi}}. Os matemáticos [[John Wrench]] e Levi Smith alcanzaron os 1.120 díxitos en 1949 utilizando unha calculadora de escritorio.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=205}} Utilizando unha serie infinita de [[Funcións trigonométricas inversas|tanxente inversa]] (arctan), un equipo dirixido por George Reitwiesner e [[John von Neumann]] conseguiu ese mesmo ano 2.037 díxitos cun cálculo que requiriu 70 horas de computador no [[Electronic Numerical Integrator And Computer|ENIAC]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}<ref>{{cita xornal |last=Reitwiesner |first=George |title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places |journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |year=1950 |volume=4 |issue=29 |pages=11–15 |doi=10.2307/2002695 |jstor=2002695}}</ref> A marca, sempre baseado nunha serie arctan, bateuse repetidamente (3089 díxitos en 1955,<ref>{{cite journal|first1=J. C.|last1=Nicholson| first2=J. |last2=Jeenel|journal=Math. Tabl. Aids. Comp.|volume=9|number=52|year=1955|doi=10.2307/2002052|jstor=2002052|title=Some comments on a NORC Computation of π|pages=162–164}}</ref> 7.480 díxitos en 1957; 10.000 díxitos en 1958; 100.000 díxitos en 1961) hasta alcanzar el millón de díxitos en 1973.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}

Dous desenvolvementos adicionais ao redor de 1980 aceleraron de novo a capacidade de calcular {{pi}}. En primeiro lugar, o descubrimento de novos [[Método iterativo|algoritmos iterativos]] para calcular {{pi}}, que eran moito máis rápidos que as series infinitas; e en segundo lugar, a invención de [[Algoritmo de multiplicación|algoritmos de multiplicación rápida]] que podían multiplicar grandes números moi rapidamente.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15-17}} Estes algoritmos son especialmente importantes nos cálculos {{pi}} modernos porque a maior parte do tempo do computador dedícase á multiplicación.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=131}} Entre eles inclúense o [[algoritmo de Karatsuba]], a [[Algoritmo de Toom-Cook|multiplicación de Toom-Cook]] e os [[Algoritmo de multiplicación|métodos baseados na transformada de Fourier]].{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
{{refbegin|30em}}
* {{Cita libro |título=Los secretos del número π |nome=Joaquín |apelidos=Navarro |ligazónautor=Joaquín Navarro |ano=2010 |editor=RBA |localización=Barcelona |isbn=978-84-473-6629-3  |lingua=castelán}}
*{{Cita libro|last=Abramson|first=Jay|title=Precalculus|publisher=[[OpenStax]]|year=2014|url=https://openstax.org/details/books/precalculus|título=}}
*{{Cita libro |last1=Andrews |first1=George E. |last2=Askey |first2=Richard |last3=Roy |first3=Ranjan |title=Special Functions |url=https://books.google.com/books?id=kGshpCa3eYwC&pg=PA59 |year=1999 |publisher=University Press |location=Cambridge |isbn=978-0-521-78988-2|título=}}
* {{Cita libro |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |publisher=Springer-Verlag |year=2006 |isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC |access-date=5 June 2013|título=}} English translation by Catriona and David Lischka.
* {{Cita libro |last1=Berggren |first1=Lennart |last2=Borwein |first2=Jonathan|author2-link=Jonathan Borwein |last3=Borwein |first3=Peter|author3-link=Peter Borwein |title=Pi: a Source Book |publisher=Springer-Verlag |year=1997 |isbn=978-0-387-20571-7 |título=}}
* {{Cita libro |last1=Boyer |first1=Carl B. |last2=Merzbach |first2=Uta C.|author2-link= Uta Merzbach |year=1991 |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye  |edition=2 |editorial=Wiley |isbn=978-0-471-54397-8 |título=}}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited p. 202 of 1991 edition; p. 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on p. 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{Cita libro |last1=Bronshteĭn |first1=Ilia |last2=Semendiaev |first2=K.A. |title=A Guide Book to Mathematics |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] |year=1971 |isbn=978-3-87144-095-3 |title-link=A Guide Book to Mathematics|título=}}
* {{Cita libro |first1=H. |last1=Dym |first2=H. P. |last2=McKean |title=Fourier series and integrals |url=https://archive.org/details/fourierseriesint0000dymh |publisher=Academic Press |year=1972 |título=}}
* {{Cita libro |last1=Eymard |first1=Pierre |last2=Lafon |first2=Jean Pierre |title=The Number Pi |url=https://archive.org/details/numberpi0000eyma |publisher=American Mathematical Society |year=2004 |isbn=978-0-8218-3246-2 |título=}}, English translation by Stephen Wilson.
* {{Cita libro |last1=Martini|first1=Horst|last2=Montejano|first2=Luis|last3=Oliveros|first3=Déborah|author3-link=Déborah Oliveros|doi=10.1007/978-3-030-03868-7|isbn=978-3-030-03866-3|mr=3930585|publisher=Birkhäuser |título=Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications|year=2019}}
* {{Cita libro |last1=Posamentier |first1=Alfred S. |last2=Lehmann |first2=Ingmar |title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |url=https://archive.org/details/pi00alfr_0  |editorial=Prometheus Books |year=2004 |isbn=978-1-59102-200-8 |título=}}
*{{Cita libro |last=Remmert |first=Reinhold |editor1=Heinz-Dieter Ebbinghaus |editor2=Hans Hermes |editor3=Friedrich Hirzebruch |editor4=Max Koecher |editor5=Klaus Mainzer |editor6=Jürgen Neukirch |editor7=Alexander Prestel |editor8=Reinhold Remmert |title=Numbers|chapter-url=https://books.google.com/books?id=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA123 |chapter=Ch. 5 What is π? |date=2012 |publisher=Springer |isbn=978-1-4612-1005-4|título=}}
{{refend}}
=== Outros artigos ===
* [[Daniel Tammet]]
=== Ligazóns externas ===
* [http://www.angio.net/pi/piquery Páxina sobre π (The Pi-Search Page)] {{en}}

{{Control de autoridades}}
{{ORDENAR:Numero pi}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]
[[Categoría:Números]]