Multiplicación

A multiplicación é unha operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica outro número. Así, 4×3 (léase "catro multiplicado por tres" ou, simplemente, "catro por tres") é igual a sumar tres veces o valor 4 por si mesmo (4+4+4).

A multiplicación está asociada ao concepto de área xeométrica.

O resultado da multiplicación de varios números chámase produto. Os números que se multiplican chámanse factores ou coeficientes e individualmente, multiplicando (número que se suma ou número que se está multiplicando) e multiplicador (veces que se suma o multiplicando).

Esta diferenciación entre "multiplicando" e "multiplicador" pode ser superfluo nalgúns contextos, por exemplo, cando o conxunto onde está definido o produto verifica a propiedade conmutativa da multiplicación (por exemplo, no conxunto dos números reais); pero pode ser útil cando nos referimos ao multiplicador dunha expresión alxébrica (por exemplo, en "a²b + a²b + a²b" ou "3a²b", 3 é o multiplicador, mentres que "a²b" é o multiplicando).

En álxebra moderna adóitase usar a denominación cociente ou multiplicación, coa súa notación habitual ("·") para designar a operación externa nun módulo, para designar tamén a segunda operación que se define nun anel (aquela para a que non está definido o elemento inverso do 0), ou para designar a operación que dota a un conxunto de estrutura de grupo.

A operación inversa da multiplicación de números é a división.

Notación

A multiplicación indícase cunha "aspa" (×) ou cun punto medio (·). En ausencia destes caracteres adoita usarse o asterisco (*), sobre todo en computación (este uso ten a súa orixe no FORTRAN), pero está desaconsellado noutros contextos e só se debe empregar cando non hai outra alternativa.

Ás veces utilízase a letra xe (x), pero isto tamén é desaconsellable porque crea unha confusión innecesaria coa letra, que adoita representar unha incógnita nunha ecuación.

Tamén adoitan utilizarse signos de agrupación, como parénteses ( ), corchetes [ ] ou chaves { }. Estes, as máis das veces, utilízanse para multiplicar números negativos entre si ou por números positivos.

Se os factores non se escriben de forma individual pero pertencen a unha lista de elementos con certa regularidade, pódese escribir o produto mediante unha elipse, é dicir, escribir explicitamente os primeiros termos e os últimos, (ou en caso dun produto de infinitos termos só os primeiros), e substituír os demais por puntos suspensivos. Isto é análogo ao que se fai con outras operacións aplicadas a infinitos números (como as sumas). O produto de infinitos termos defínese como o límite do produto dos n primeiros termos cando n crece indefinidamente.

Así, o produto de todos os números naturais desde o 1 até o 100 pódese escribir:

1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100

mentres que o produto dos números pares entre o 1 e o 100 escribiríase:

2\cdot 4\cdot 6\cdots 100

.

Isto tamén pode denotarse escribindo os puntos suspensivos na parte media da liña de texto:

1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100

En calquera caso, deben estar claros cales son os termos omitidos.

Por último, pódese denotar o produto mediante o símbolo productorio, que provén da letra grega Π (Pi maiúscula).

Isto defínese así:

\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.

O subíndice $i\,$ indica unha variábel que toma como valores os números enteiros desde un valor mínimo ( $m\,$ , indicado no subíndice) a un valor máximo ( $n\,$ , indicado no superíndice).

Finalmente, pódese omitir o signo de multiplicación, a menos que se multipliquen números ou que se poida xerar confusión sobre os nomes das incógnitas, constantes ou funcións, por exemplo, cando o nome dalgunha incógnita ten máis dunha letra e podería confundirse co produto doutras dúas.

Definición

Catro bolsas de tres globos dá un total de doce globos (3×4=12).

A multiplicación de dous números enteiros n e m exprésase como:

\sum _{k=1}^{n}m=mn

Isto non é máis que unha forma de simbolizar a expresión "sumar m a si mesmo n veces". Pode facilitar a comprensión ao expandirse a expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hai n sumandos. Así, por exemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10
2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
m·5 = m + m + m + m + m = 5m

Propiedades

As seguintes propiedades son válidas no conxunto dos números reais e dos complexos.

Propiedade conmutativa

Utilizando esta definición, é fácil demostrar algunhas propiedades interesantes da multiplicación. Como indican os dous primeiros exemplos, a orde en que se multiplican dous números é irrelevante, o que se coñece como propiedade conmutativa, que se cumpre en xeral para dous números calquera x e y:

x·y = y·x

Propiedade asociativa

A multiplicación tamén verifica a propiedade asociativa, que consiste en que, para tres números calquera x, y, z, tense que:

(x·y)z = x(y·z)

Na notación alxébrica, as parénteses indican que as operacións dentro dos mesmos deben ser realizadas con preferencia a calquera outra operación.

Por exemplo:

(8×3)×2 = 8×(3×2)

24×2 = 8×6

48 = 48

Propiedade distributiva

A multiplicación tamén verifica a propiedade distributiva coa suma, porque:

x.(y + z) = x.y + x.z

Así mesmo:

(x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

9×(3+5)=(9×3)+(9×5)=27+45=72

Elemento neutro

Calquera número multiplicado pola unidade (1) é igual a si mesmo.

Exemplo:
1·x = x
1 x 4 =4

é dicir, a multiplicación ten un elemento neutro que é o 1.

Cero

Todo número multiplicado por cero dá cero.

Conexión coa xeometría

Desde un punto de vista puramente xeométrico, a multiplicación entre dous valores determina unha área que é representable. Do mesmo xeito, o produto de tres valores determina un volume igualmente representable.

En xeral, o produto de calquera cantidade maior que cero de números produce un resultado xeométrico representable, sexa este máis ou menos intuitivo e máis ou menos fácil de representar.

Produto de números negativos

Para definir o produto de números negativos considérase o número -1. Para calquera enteiro positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Este é un resultado interesante que mostra que calquera número negativo non é máis que un número positivo multiplicado por -1. Polo que a multiplicación de enteiros se pode representar pola multiplicación de enteiros positivos e factores -1. O único que queda por definir é o produto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

Desde números enteiros a números complexos

Desta forma, defínese a multiplicación de dous enteiros. As definicións poden ampliarse a conxuntos cada vez maiores de números: primeiro ao conxunto das fraccións ou números racionais, despois a todos os números reais e finalmente aos números complexos e outras extensións dos números reais.

Definición recursiva

Unha definición recursiva da multiplicación pode darse segundo estas regras:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

onde x é unha cantidade arbitraria, e y é un número natural. Unha vez que o produto está definido para os números naturais, pódese ampliar a conxuntos máis grandes, como xa se indicou anteriormente.