2.3 一个简单的优化

[sssn-tech]

作者在2.3小节写到

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品 $$i$$ , $$j$$ 满足 $$C_i \le C_j$$ 且 $$W_i \ge W_j$$，则将可以将物品 $$j$$ 直接去掉，不用考虑。
这个优化的正确性是显然的：任何情况下都可将价值小费用高的 $$j$$ 换成物美价廉的 $$i$$ , 得到的方案至少不会更差。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

思考这样的问题, 背包空间为5, 只有有两件物品:

• A: 代价=3, 收益=4, 性价比=1.33
• B: 代价=5, 收益=5, 性价比=1

如果按照作者的理解, 将物品B删除, 则最终收益只有3. 而实际上可以选择B获得总收益5
性价比高的物品在空间限制中也许并不一定表现更好

这也许是作者的失误, 也有可能是我误解了, 不知道有没有朋友可以解释

[LQ-VIOLET]

请注意作者的条件，C[i]≤C[j] 且 W[i]≥W[j] ,在你的物品中A虽然代价更小但收益同样更小，不符合作者条件。不过不知道在刚好填满背包的条件下这个优化是否成立？