Lemme de Jordan

En mathématiques, le lemme de Jordan est un lemme utilisé essentiellement pour le calcul d'intégrales par le théorème des résidus. Il porte le nom de son inventeur, le mathématicien Camille Jordan.

En fait il y a trois lemmes de Jordan et l'expression "lemme de Jordan" fait référence à l'un des trois énoncés suivants:

Énoncé I

Lemme de Jordan — Pour une fonction analytique uniforme dans un domaine $D\subset \mathbb {C}$ , s'il existe un M>0 et un coefficient $\alpha >1$ tels que pour tout R >0 on ait $|f(z)|\leq {M \over |z|^{\alpha }}$ pour tout $|z|\geq R$ alors l'intégrale prise le long de la portion du cercle C(0,R) incluse dans le domaine $\oint _{C(0,R)\cap D}f(z)dz$ tend vers 0 quand le rayon R tend vers l'infini.

Démonstration

On a $\oint _{C(0,R)\cap D}f(z)dz=\oint _{C(0,R)\cap D}zf(z){\frac {dz}{z}}.$

D'après l'hypothèse sur f, |zf(z)| tend vers 0 à mesure que le rayon du cercle tend vers l'infini. Donc, en posant $z=re^{i\theta }$

Échec de l’analyse (Erreur de conversion. Le serveur (« https://wikimedia.org/api/rest_ ») a indiqué : « Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination »): {\displaystyle |\oint _{C(0,R)\cap D}zf(z){\frac {dz}{z}}|\leq \int _{0}^{2\pi }|zf(z)|{\frac {rd\theta }{r}}=2\pi \max _{z\in C(0,R)}|zf(z)|\to 0}

Énoncé II

Il existe une version particulière du lemme de Jordan dans un demi-cercle qu'on peut toujours supposer être le demi-cercle supérieur.

Soit f une fonction méromorphe dans un domaine D entièrement dans le demi-plan supérieur fermé, continue sur l'axe réel et de la forme

f(z)=e^{iaz}g(z)

où a est un réel strictement positif. Si de plus

\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g(re^{i\theta })\right|

tend vers 0 quand r tend vers l'infini,

alors

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \lim_{r \to \infty} \int_{C(0,r) \cap D} f(z)\, dz = 0.}

Démonstration

on pose $z=re^{i\theta }$ et on a, en appelant $\theta _{1}(r)$ et $\theta _{2}(r)$ les valeurs extrêmes des angles considérés pour $C(0,r)\cap D$ ,

Échec de l’analyse (Erreur de conversion. Le serveur (« https://wikimedia.org/api/rest_ ») a indiqué : « Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination »): {\displaystyle \left|\int _{C(0,r)\cap D}f(z)\,dz\right|\leq \int _{C(0,r)\cap D}|f(z)|\,dz\leq \int _{\theta _{1}(r)}^{\theta _{2}(r)}|g(re^{i\theta })|e^{ar(i\cos \theta -\sin \theta )}re^{i\theta }|\,d\theta }

Soit

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \left|\int_{C(0,r)} f(z)\, dz\right|\le \int_0^\pi \left|g(re^{i\theta})\right|e^{-ar\sin\theta}\ r\,d\theta}

Comme

M(r)=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g(re^{i\theta })\right|

on obtient la majoration

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \left|\int_{C(0,r)} f(z)\, dz\right| \le M(r) \int_0^\pi e^{-ar\sin\theta}\ r\,d\theta = 2 M(r) \int_0^{\pi/2} e^{-ar\sin\theta}\ r\,d\theta}

On minore le sinus par l'inégalité de la corde:

\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}

pour

0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}

qui donne ainsi

\left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leq 2M(r)\int _{0}^{\pi /2}e^{-2ar\theta /\pi }\ r\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-ar})M(r)

Donc

Échec de l’analyse (Erreur de conversion. Le serveur (« https://wikimedia.org/api/rest_ ») a indiqué : « Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination »): {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left|\int _{C(0,r)}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}\lim _{r\to \infty }M(r)=0}

Une inégalité du même genre peut être obtenue dans le demi-disque inférieur sous les mêmes conditions sauf a<0.

Historique

Le lemme de Jordan est exprimé ainsi dans le cours d'analyse de l'École Polytechnique de Camille Jordan (1ere division 1882-1883, page 57):

« Lemme II:Soit f(z) une fonction telle que zf(z) tende vers zéro lorsque z augmente indéfiniment;
l'intégrale $\int _{C}f(z)dz$ prise le long d'un cercle de rayon infini tend vers zéro: on a $\int _{C}f(z)dz=\int _{C}zf(z){\frac {dz}{z}}<M{\frac {2\pi R}{R}}<2\pi M.$ M tendant vers 0, $\int _{C}f(z)dz$ a aussi cette limite. »

Mais ce lemme n'existe pas dans son cours de 1ère division 1878-1879. Dans la 3e édition du tome 2 (1913) de son cours d'analyse de l'école polytechnique chez Gauthier-Villars, le "lemme de Jordan" est remplacé par tout un tas de petits lemmes du même genre (Tome 2,Chapitre VI: intégrales complexes, p306-311).

Énoncé III

Pour être précis, il y a en fait un autre lemme (le lemme I) qui est du même genre et qui est rapporté ainsi dans son cours de 1ère division 1878-1879:

« Lemme I:Soit une fonction f(a) telle que (z-a)f(z) tende vers zéro lorsque z tend vers a.
L'intégrale $\int _{C}f(z)dz$ prise le long d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de a tend vers zéro. En effet, cette intégrale s'écrit $\int _{C}f(z)(z-a){\frac {dz}{z-a}}.$
Elle est plus petite que $M{\frac {2\pi r}{r}}<2\pi M.$ M tendant vers zéro; elle est donc nulle. »

Bibliographie

Camille Jordan, Cours d'analyse de l'école polytechnique, 1ère division, année 1882-1883, polycopié.
Camille Jordan, Cours d'analyse de l'école polytechnique, Gauthier-Villars, Paris, 3 tomes, 1909-1913-1915

Portail des mathématiques