Fonctionnelle de Minkowski

En analyse convexe et en analyse fonctionnelle, une fonction de Minkowski est une fonction définie sur un espace vectoriel, à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, dont les ensembles de sous-niveau sont obtenus par homothétie d'un ensemble donné.

De manière plus précise, si $E$ est l'espace vectoriel, la fonction de Minkowski de l'ensemble $P\subset E$ est la fonction $\mu _{P}:E\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, définie en $x\in E$ par

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \mu_P(x):=\inf\{t>0\mid x\in t\,P\}. }

La fonction de Minkowski d'un ensemble convexe contenant 0 est une jauge, c'est-à-dire une fonction positive sous-linéaire (donc convexe) nulle en l'origine.

Cette notion et sa cousine, la jauge, interviennent en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge), etc.

Définition

Soient $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$, que l'on supposera topologique chaque fois que nécessaire, et $P$ une partie de $E$. On appelle fonction de Minkowski de $P$, la fonction $\mu _{P}$ de $E$ dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ définie en $x\in E$ par

$\mu _{P}(x)=\inf \,\{t>0\mid x\in t\,P\}.$

Dans cette définition, $t\,P$ est l'ensemble des éléments de la forme $t\,x$ avec $x\in P$. Puisque inf(∅) = +∞, $\mu _{P}(x)=+\infty$ s'il n'existe pas de $t>0$ tel que $x\in t\,P$. Dès lors

$\mu _{P}(0)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\mbox{si}}~0\in P\\+\infty &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.$

Exemple

Si $E=\mathbb {R}$ et $P=\{1\}$ alors pour tout $x>0$, $\mu _{P}(x)=x$ et pour tout $x\leqslant 0$, $\mu _{P}(x)=+\infty$.

Propriétés immédiates — Soit $P$ une partie de $E$.

1. $P\subset \{x\in E\mid \mu _{P}(x)\leqslant 1\}$.
2. $\mu _{P}$ est positive.
3. $\mu _{P}$ est positivement homogène de degré 1 : si $\alpha >0$ et $x\in E$, on a$\mu _{P}(\alpha x)=\alpha \mu _{P}(x)$.
4. $\forall \alpha >0\quad \alpha \mu _{P}=\mu _{{\frac {1}{\alpha }}P}$.

On déduit de la propriété 3 ci-dessus que pour $\alpha >0$, on a

$\{x\in E\mid \mu _{P}(x)\leqslant \alpha \}=\alpha \,\{x\in E\mid \mu _{P}(x)\leqslant 1\},$

ce qui justifie la définition imprécise donnée dans l'introduction : les ensembles de sous-niveaux de $\mu _{P}$ sont homothétiques.

Cas d'un ensemble convexe

Dans cette section, on considère la fonction de Minkowski associée à un ensemble convexe $C$ de $E$, contenant l'origine. Alors $\mu _{C}$ est une jauge et partage beaucoup de propriétés avec les normes.

Propriétés de base

Propriétés de base — Soient $C$, $C_{1}$ et $C_{2}$ des convexes de $E$ contenant 0.

1. $\mu _{C}$ est une jauge, c'est-à-dire qu'en plus d'être positive, positivement homogène de degré 1 et nulle en l'origine (voir supra), elle est sous-additive (elle est donc sous-linéaire et par conséquent convexe).
2. Pour tout $t>\mu _{C}(x)$, on a $x\in t\,C$.
3. $\{x\in E\mid \mu _{C}(x)<1\}\subset C$, avec égalité si $C$ est ouvert.
4. Si $C_{1}\subset C_{2}$, alors $\mu _{C_{2}}\leqslant \mu _{C_{1}}$.
5. Si $C$ est fermé, alors $\mu _{C}$ est fermée et$\{x\in E\mid \mu _{C}(x)=0\}=C^{\infty }$ (le cône asymptotique de $C$),$\{x\in E\mid \mu _{C}(x)\leqslant 1\}=C$.

Si $C$ (convexe contenant 0) est fermé, on a donc, pour tout $x\in E$ : $\forall \alpha >0\quad \left(\mu _{C}(x)\leq \alpha \Leftrightarrow x\in \alpha C\right)$, en particulier : $\mu _{C}(x)>0\Rightarrow x\in \mu _{C}(x)C$.

Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur +∞

Fonction de Minkowski finie — La fonction de Minkowski d'un convexe C contenant 0 ne prend que des valeurs finies si et seulement si C est absorbant.

Il est également immédiat de vérifier que cette condition est en particulier réalisée si 0 est intérieur à C ; la réciproque est vraie en dimension finie et facile à vérifier — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, $\mu _{C}$ est alors continue, et que $\{x\in E\mid \mu _{C}(x)<1\}$ est alors un voisinage de 0 contenu dans C.

Lorsque 0 est intérieur à C, on peut se faire une image mentale simple de la fonction de Minkowski via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur 1 est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la fonction de Minkowski prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si C est symétrique par rapport à 0 avec une fonction de Minkowski évitant la valeur +∞, la fonction de Minkowski est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module 1.

Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur 0 hors de l'origine

Il est clair, au vu de la définition, que la fonction de Minkowski prend la valeur 0 en un point x₀ autre que l'origine si et seulement si toute la demi-droite issue de l'origine et passant par x₀ est incluse dans le convexe.

Il est dès lors immédiat que (dans un espace vectoriel normé) la fonction de Minkowski d'un convexe borné ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.

La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 :

Ensemble borné — Soit C un convexe fermé contenant 0 dans un espace de dimension finie. Alors C est borné si et seulement si sa fonction de Minkowski ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.

Exemples d'utilisation

• Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de fonctions de Minkowski qu'on peut caractériser les espaces localement convexes en termes de semi-normes.
• En géométrie des convexes, la fonction de Minkowski est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un hyperplan) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du théorème de Hahn-Banach — fondement de toute la théorie de la séparation des convexes et des hyperplans d'appui —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation f(x) = 1 qu'il évite un convexe donné $C$ (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à f de vérifier l'inéquation $\mu _{C}\leqslant f$.

Bibliographie

• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Berlin Heidelberg New York, Springer, coll. « Grundlehren Text », 2004 (1^re éd. 2001) (lire en ligne), p. 128-130
• (en) R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematics Ser. » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)