Fonctionnelle de Minkowski

En analyse convexe et en analyse fonctionnelle, une fonction de Minkowski est une fonction définie sur un espace vectoriel, à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, dont les ensembles de sous-niveau sont obtenus par homothétie d'un ensemble donné.

De manière plus précise, si $\mathbb {E}$ est l'espace vectoriel, la fonction de Minkowski de l'ensemble $P\subset \mathbb {E}$ est la fonction $\mu _{P}:\mathbb {E} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, définie en $x\in \mathbb {E}$ par

$\mu _{P}(x):=\inf\{t>0:x\in t\,P\}.$

La fonction de Minkowski d'un ensemble convexe contenant zéro est une jauge, c'est-à-dire une fonction convexe, positive, positivement homogène de degré un et nulle en l'origine.

Cette notion et sa cousine, la jauge, interviennent en analyse fonctionnelle (démonstration de la forme analytique du théorème de Hahn-Banach), en optimisation (problème de recouvrement par jauge), etc.

Définition

Soient $\mathbb {E}$ un espace vectoriel sur $\mathbb {R}$, que l'on supposera topologique chaque fois que nécessaire, et $P$ une partie de $\mathbb {E}$. On appelle fonction de Minkowski de $P$, la fonction $\mu _{P}$ de $\mathbb {E}$ dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ définie en $x\in \mathbb {E}$ par

$\mu _{P}(x)=\inf \,\{t>0:x\in t\,P\}.$

Dans cette définition, $t\,P$ est l'ensemble des éléments de la forme $t\,x$ avec $x\in P$. Par cette définition, $\mu _{P}(x)=+\infty$ s'il n'existe pas de $t>0$ tel que $x\in t\,P$. Dès lors

$\mu _{P}(0)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\mbox{si}}~0\in P\\+\infty &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.$

Propriétés immédiates — Soit $P$ une partie de $\mathbb {E}$.

1. $P\subset \{x:\mu _{P}(x)\leqslant 1\}$, avec égalité si $P$ est fermé.
2. $\mu _{P}$ est positive.
3. $\mu _{P}$ est positivement homogène de degré un : si $\alpha >0$ et $x\in \mathbb {E}$, on a
   
   $\mu _{P}(\alpha x)=\alpha \mu _{P}(x)=\mu _{{\frac {1}{\alpha }}P}(x).$

Si $P$ n'est pas convexe ou ne contient pas zéro, on n'a pas nécessairement $\{x:\mu _{P}(x)<1\}\subset P$. Voici un contre-exemple : si $\mathbb {E} =\mathbb {R}$, $P=\{1\}$ et $x=1/2$, alors $\mu _{P}(x)=1/2$ mais $x\notin P$.

On déduit de la propriété 3 ci-dessus que pour $\alpha >0$, on a

$\{x:\mu _{P}(x)\leqslant \alpha \}=\alpha \,\{x:\mu _{P}(x)\leqslant 1\},$

ce qui justifie la définition imprécise donnée dans l'introduction : les ensembles de sous-niveaux de $\mu _{P}$ sont d'homothétiques.

Cas d'un ensemble convexe

Dans cette section on considère la fonction de Minkowski associée à un ensemble convexe $C$ de $\mathbb {E}$, contenant l'origine. Alors $\mu _{C}$ est une jauge et partage beaucoup de propriétés avec celles d'une norme.

Propriétés de base

Dans le résultat ci-dessous, l'on note $C^{\infty }$ le cône asymptotique d'un convexe fermé non vide $C$.

Propriétés de base — Soient $C$, $C_{1}$ et $C_{2}$ des convexes de $\mathbb {E}$ contenant zéro.

1. $\mu _{C}$ est une jauge (elle est donc convexe, positive, positivement homogène de degré un, sous-linéaire et nulle en l'origine).
2. Pour tout $t>\mu _{C}(x)$, on a $x\in t\,C$.
3. $\{x:\mu _{C}(x)<1\}\subset C,$ avec égalité si $C$ est ouvert.
4. Si $C_{1}\subset C_{2}$, alors $\mu _{C_{2}}\leqslant \mu _{C_{1}}$.
5. Si $C$ est fermé, alors $\mu _{C}$ est fermée et

${\begin{array}{c}\{x\in \mathbb {E} :\mu _{C}(x)=0\}=C^{\infty },\\\forall \,\alpha >0:\quad \{x\in \mathbb {E} :\mu _{C}(x)\leqslant \alpha \}=\alpha C,\\\mu _{C}(x)>0\qquad \Longrightarrow \qquad x\in \mu _{C}(x)\,C.\end{array}}$

Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur +∞

Fonction de Minkowski finie — La fonction de Minkowski d'un convexe C contenant 0 ne prend que des valeurs finies si et seulement si C est absorbant.

Il est également immédiat de vérifier que cette condition est en particulier réalisée si 0 est intérieur à C ; la réciproque est vraie en dimension finie et facile à vérifier — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, $\mu _{C}$ est alors continue, et que $\{x:\mu _{C}(x)<1\}$ est alors un voisinage de 0 contenu dans C.

Lorsque 0 est intérieur à C, on peut se faire une image mentale simple de la fonction de Minkowski via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur 1 est exactement la frontière du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la fonction de Minkowski prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si C est symétrique par rapport à 0 avec une fonction de Minkowski évitant la valeur +∞, la fonction de Minkowski est alors une semi-norme ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module 1.

Fonction de Minkowski ne prenant pas la valeur 0 hors de l'origine

Il est clair au vu de la définition que la fonction de Minkowski prend la valeur 0 en un point x₀ autre que l'origine si et seulement si toute la demi-droite issue de l'origine et passant par x₀ est incluse dans le convexe.

Il est dès lors immédiat que (dans un espace vectoriel normé) la fonction de Minkowski d'un convexe borné ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.

La réciproque est vraie pour un convexe fermé en dimension finie, et se démontrerait en exploitant la compacité de la sphère de rayon 1 :

Ensemble borné — Soit C un convexe fermé contenant 0 dans un espace de dimension finie. Alors C est borné si et seulement si sa fonction de Minkowski ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.

Exemples d'utilisation

• Dans la théorie des espaces vectoriels topologiques, c'est par l'introduction d'une collection appropriée de fonctions de Minkowski qu'on peut caractériser les espaces localement convexes en termes de semi-normes.
• En géométrie des convexes, la fonction de Minkowski est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un hyperplan) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du théorème de Hahn-Banach — fondement de toute la théorie de la séparation des convexes et des hyperplans d'appui —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation f(x) = 1 qu'il évite un convexe donné $C$ (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à f de vérifier l'inéquation $\mu _{C}\leqslant f$.

Annexes

Article connexe

• Jauge (analyse convexe)

Bibliographie

• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, Berlin New York, Springer, coll. « Grundlehren Text », 2001 (ISBN 3-540-42205-6), p. 128-130
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.