Espace séparé

Deux points admettant des voisinages disjoints.

En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T₂ au sein des axiomes de séparation.

L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.

Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent.

Exemples et contre-exemples

Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance $L$ l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon $L/3$ centrées sur chacun d'eux.

Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.

Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :

• tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la topologie grossière (toujours séparable) ;
• tout ensemble infini muni de la topologie cofinie (qui pourtant satisfait l'axiome T₁ d'espace accessible) ;
• certains spectres d'anneau munis de la topologie de Zariski.

Principales propriétés

• Dans un espace topologique séparé, une suite convergente a une limite unique.

Démonstration

C'est un cas particulier de l'unicité de la limite d'un filtre convergent, mais donnons-en une démonstration élémentaire. Supposons que $(u_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ soit une suite convergeant vers les points x et y dans un espace topologique séparé.

Soient $V_{x}$ un voisinage de x et $V_{y}$ un voisinage de y.

$(u_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ tend vers x donc il existe un entier $N_{x}$ tel que $\forall n\geq N_{x},u_{n}\in V_{x}$.

$(u_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ tend vers y donc il existe un entier $N_{y}$ tel que $\forall n\geq N_{y},u_{n}\in V_{y}$.

Posons $N=\max(N_{x},N_{y})~$. On a immédiatement $\forall n\geq N,u_{n}\in V_{x}\cap V_{y}$ donc $V_{x}\cap V_{y}\neq \varnothing$.

Par conséquent, un voisinage de x et un voisinage de y ont forcément des points en commun, ce qui dans un espace topologique séparé implique que x = y (contraposée de la définition de séparé).

Ainsi une suite convergente d'un espace topologique séparé ne peut converger vers deux limites distinctes.

• Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales. Plus explicitement : si $Y$ est séparé, si $f,g:X\to Y$ sont deux applications continues et s'il existe une partie $D$ dense dans $X$ telle que $\forall x\in D,\;f(x)=g(x)$ alors $\forall x\in X,\;f(x)=g(x)$.
• Une topologie plus fine qu'une topologie séparée est toujours séparée.
• Tout sous-espace d'un espace séparé est séparé.
• Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est.

Par contre un espace quotient d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.

• $X$ est séparé si et seulement si, dans l'espace produit $X\times X$, la diagonale $\{(x,x);x\in X\}$ est fermée.

Démonstration

Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble $O=\{(x,y)\in X\times X\ |\ x\neq y\}$ est ouvert (pour la topologie produit). Les équivalences suivantes permettent de conclure :

O est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à

pour tout $(x,y)\in O$, il existe U, V ouverts de X tels que $(x,y)\in U\times V$ et $U\times V\subset O$, qui lui-même équivaut à

pour tous $x,y\in X$ distincts, il existe U, V ouverts de X tels que $x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing .$