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« Loi de composition interne » : différence entre les versions

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En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre générale]], une '''loi de composition interne''' est une [[application (mathématiques)|application]] qui, à deux éléments d'un [[ensemble]] ''E'', associe un élément de ''E''. Autrement dit, c'est une [[opération binaire]]<ref>Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise ''« binary operation »'', utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « [[opération (mathématiques)|opération]] » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.</ref> par laquelle ''E'' est [[Clôture (mathématiques)|stable]].
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre générale]], une '''loi de composition interne''', [[Liste d'abréviations en mathématiques|abrégé]] en "lci" ou simplement "loi" est une [[application (mathématiques)|application]] qui, à deux éléments d'un [[ensemble]] <math>E</math>, associe un élément de <math>E</math><ref>{{Lien web |titre=Langage des lois de composition |url=http://www.normalesup.org/~sage/Enseignement/TSI/cours/21EnsLois.pdf |site=normalesup.org |consulté le=27 septembre 2024}}</ref>. Autrement dit, c'est une [[opération binaire]]<ref>Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise ''« binary operation »'', utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « [[opération (mathématiques)|opération]] » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.</ref> par laquelle <math>E</math> est [[Clôture (mathématiques)|stable]].


L'[[addition]] et la [[multiplication]] dans l'ensemble des [[entiers naturels]] sont des exemples classiques de lois de composition internes.
L'[[addition]] et la [[multiplication]] dans l'ensemble des [[entiers naturels]] sont des exemples classiques de lois de composition internes.
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== Présentation ==
== Présentation ==
Une opération dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés ''opérandes'', en associe éventuellement un troisième, unique, nommé ''résultat'', toujours dans ce même ensemble.


Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :
Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d'''opérations'' telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une '''opération (interne)''' dans un ensemble est une ''relation interne'' dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés ''opérandes'', en associe éventuellement un troisième, unique, nommé ''résultat'', toujours dans ce même ensemble.
* la division n’est pas une loi de composition interne dans [[Nombre réel|ℝ]], parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un [[entier relatif]].
* la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
** s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits [[entier naturel|entiers naturels]] { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
** si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.


En résumé, une '''loi de composition interne''' dans un ensemble <math>E</math>, ou, plus simplement une loi dans <math>E</math>, est une opération qui donne un résultat dans <math>E</math> pour tous les couples possibles d'éléments de <math>E</math>.
Pour que l’''opération'' considérée soit effectivement une '''loi de composition interne''', il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments de l’ensemble choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :
* la division n’est pas une ''loi de composition interne'' dans [[Nombre réel|ℝ]], parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un [[entier relatif]].
* la soustraction peut être ou non une ''loi de composition interne'' selon l’ensemble de nombres considéré :
** s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits [[entier naturel|entiers naturels]] { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
** si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une ''loi de composition interne''.

En résumé, une '''loi de composition interne''' dans un ensemble ''E'', ou, plus simplement une '''loi''' dans ''E'', est une ''opération'' qui donne un ''résultat'' dans ''E'' pour tous les couples possibles d'éléments de ''E''.


== Exemples ==
== Exemples ==


Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’[[addition]] est une ''loi de composition interne'' ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’[[addition]] est une ''loi de composition interne'' ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :
* 0 est [[élément neutre|élément '''neutre''']] pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, &nbsp; 5 + 0 = 5 &nbsp;, et &nbsp; 0 + 8 = 8 &nbsp; ;
* 0 est [[élément neutre|élément '''neutre''']] pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple, &nbsp; 5 + 0 = 5 &nbsp;, et &nbsp; 0 + 8 = 8 ;
* pour tout entier, il existe un autre nombre, son '''[[Opposé (mathématique)|opposé]]''' (le terme général est ''[[élément symétrique]]''), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’''opposé'' se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : &nbsp; 3 + (–3) = 0 &nbsp; ;
* pour tout entier, il existe un autre nombre, son '''[[Opposé (mathématique)|opposé]]''' (le terme général est ''[[élément symétrique]]''), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’''opposé'' se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi : &nbsp; 3 + (–3) = 0 ;
* on peut échanger les deux éléments autour du signe « <math>+</math> » : &nbsp; 3 + 5 = 5 + 3 = 8 &nbsp; . On dit que l’opération est '''[[commutativité|commutative]]''' ;
* on peut échanger les deux éléments autour du signe « <math>+</math> » : &nbsp; 3 + 5 = 5 + 3 = 8 &nbsp;. On dit que l’opération est '''[[commutativité|commutative]]''' ;
* on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : &nbsp; 3 + 5 + 4 &nbsp; peut se calculer de deux manières :
* on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux : &nbsp; 3 + 5 + 4 &nbsp; peut se calculer de deux manières :
** en calculant d’abord &nbsp; 3 + 5 = 8 &nbsp; puis en ajoutant &nbsp; 4 &nbsp; au résultat,
** en calculant d’abord &nbsp; 3 + 5 = 8 &nbsp; puis en ajoutant &nbsp; 4 &nbsp; au résultat,
** ou en calculant &nbsp; 5 + 4 = 9 &nbsp; avant de calculer &nbsp; 3 + 9 &nbsp; .
** ou en calculant &nbsp; 5 + 4 = 9 &nbsp; avant de calculer &nbsp; 3 + 9 &nbsp;.
:Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : &nbsp; (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) &nbsp; . On dit que l’opération est '''[[associativité|associative]]'''.
:Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note : &nbsp; (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) &nbsp;. On dit que l’opération est '''[[associativité|associative]]'''.


Ces quatre propriétés, ''existence d’un élément neutre'', ''existence de symétriques'', ''commutativité'', ''associativité'', peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des ''translations'' (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3&nbsp;mètres vers la gauche et de 2&nbsp;mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la ''composition'' : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
Ces quatre propriétés, ''existence d’un élément neutre'', ''existence de symétriques'', ''commutativité'', ''associativité'', peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des ''translations'' (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3&nbsp;mètres vers la gauche et de 2&nbsp;mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la ''composition'' : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :
* le ''neutre'' est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
* le ''neutre'' est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
* le ''symétrique'' d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3&nbsp;mètres à droite et 2&nbsp;mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
* le ''symétrique'' d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3&nbsp;mètres à droite et 2&nbsp;mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
* on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la ''commutativité'' et l’''associativité''.
* on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la ''commutativité'' et l’''associativité''.


L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un [[groupe abélien]]. L'[[algèbre générale]] s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le [[Démonstration (logique et mathématique)|redémontrer]] pour chacun.
L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un [[groupe abélien]]. L'[[algèbre générale]] s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et toute autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le [[Démonstration (logique et mathématique)|redémontrer]] pour chacun.


== Définition formelle ==
== Définition formelle ==


On appelle '''loi de composition interne''' sur un [[ensemble]] ''E'' toute [[fonction (mathématiques)|application]] <math>*\,</math> du [[produit cartésien]] ''E'' × ''E'' dans ''E''.
On appelle '''loi de composition interne''' sur un [[ensemble]] <math>E</math> toute [[fonction (mathématiques)|application]] <math>*\,</math> du [[produit cartésien]] <math>E\times E</math> dans <math>E</math>.


Un ensemble ''E'' muni d’une loi de composition interne <math>*\,</math> constitue une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] appelée [[Magma (mathématiques)|magma]] et notée « ( ''E'', <math>*\,</math> ) ».
Un ensemble <math>E</math> muni d’une loi de composition interne <math>*\,</math> constitue une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] appelée [[Magma (mathématiques)|magma]] et notée « ( <math>E</math>, <math>*\,</math> ) ».


Quelques exemples triviaux, pour un ensemble ''E'' non vide :
Quelques exemples triviaux, pour un ensemble <math>E</math> non vide :
* les applications constantes : si '''''c''''' appartient à ''E'' : ''x'' ∈ ''E'', ''y'' ∈ ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = '''''c''''' ;
* les applications constantes : si '''''c''''' appartient à ''E'' : <math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x*y=c</math>
* l’application sélectionnant le terme de gauche : ''x'' ∈ ''E'', ''y'' ∈ ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = ''x'' ;
* l’application sélectionnant le terme de gauche : <math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x* y=x</math>
* l’application sélectionnant le terme de droite : ∀ ''x'' ∈ ''E'', ''y'' ∈ ''E'', &nbsp; ''x'' <math>\,*</math> ''y'' &nbsp; = ''y''.
* l’application sélectionnant le terme de droite :<math>\forall x\in E,\ \forall y\in E,\ x * y=y</math>


== Éléments particuliers ==
== Éléments particuliers ==
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=== Carrés et dérivés ===
=== Carrés et dérivés ===
* un élément <math> c \,</math> est dit '''[[carré]]''' si : &nbsp; <math> \exists\ x \in E ,\ x * x = c \,</math>
* un élément <math> c \,</math> est dit '''[[carré]]''' si : &nbsp; <math> \exists\ x \in E ,\ x * x = c \,</math>
:En sens inverse, tout élément ''x'' &nbsp; a un carré unique, noté habituellement « ''x'' <sup> 2 </sup> ».
:En sens inverse, tout élément ''x''&nbsp;a un carré unique, noté habituellement « ''x''<sup>2</sup> ».
:Si la loi est notée additivement, le terme de '''double''' sera employé de préférence à celui de ''carré''.
:Si la loi est notée additivement, le terme de '''double''' sera employé de préférence à celui de ''carré''.
::Exemple : dans ℤ, le ''double'' de 3 (pour l'addition) est 6, et son ''carré'' (pour la multiplication) est 9.
::Exemple : dans ℤ, le ''double'' de 3 (pour l'addition) est 6, et son ''carré'' (pour la multiplication) est 9.
* un élément <math> s \,</math> est dit '''[[idempotent]]''' (d'ordre 2) ou '''projecteur''' si : &nbsp; <math> s * s = s \,</math>
* un élément <math> s \,</math> est dit '''[[idempotent]]''' (d'ordre 2) ou '''projecteur''' si : &nbsp; <math> s * s = s \,</math>
:En d’autres termes, cet élément est son propre ''carré''.
:En d’autres termes, cet élément est son propre ''carré''.
::Exemples :
::Exemples :
::* tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
::* tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
::* dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.
::* dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.
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* ''[[élément neutre|neutre]]'' lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
* ''[[élément neutre|neutre]]'' lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
;Exemples
;Exemples
:*Dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
:*Dans ℝ, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
:*Dans l'[[ensemble des parties d'un ensemble]] ''X'', l'[[ensemble vide]] est neutre pour l'[[Union (mathématiques)|union]] et l'ensemble ''X'' est neutre pour l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]].
:*Dans l'[[ensemble des parties d'un ensemble]] ''X'', l'[[ensemble vide]] est neutre pour l'[[Union (mathématiques)|union]] et l'ensemble ''X'' est neutre pour l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]].
Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.
Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.
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=== Réguliers et dérivés ===
=== Réguliers et dérivés ===
Un élément <math> s\in E</math> est dit
Un élément <math> s\in E</math> est dit
* '''régulier à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si :
* '''régulier à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si :
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( s * x = s * y\Rightarrow x = y )</math> ;
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( s * x = s * y\Rightarrow x = y )</math> ; autrement dit si la multiplication à gauche <math>x\mapsto s*x</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]].
*'''régulier à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si :
*'''régulier à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si :
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( x * s = y * s\Rightarrow x = y )</math>;
:<math> \forall\ ( x , y ) \in E^2\ ( x * s = y * s\Rightarrow x = y )</math>; autrement dit si la multiplication à droite <math>x\mapsto x*s</math> est [[Injection (mathématiques)|injective]].
*'''régulier''' ou '''simplifiable''' lorsqu’il est ''régulier'' ''à droite'' et ''à gauche'' ;
*'''régulier''' ou '''simplifiable''' lorsqu’il est ''régulier'' ''à droite'' et ''à gauche'' ;
*'''[[diviseur de zéro]] à gauche''' s'il existe un ''élément absorbant'' <math>a</math> (évidemment unique), différent de <math> s</math>, et si :<math> \exists\ r \in E \ ( r \neq a\wedge s * r = a )</math>;
*'''[[diviseur de zéro]] à gauche''' s'il existe un ''élément absorbant'' <math>a</math> (évidemment unique), différent de <math> s</math>, et si :<math> \exists\ r \in E \ ( r \neq a\wedge s * r = a )</math>;
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**et aucun des deux éléments n’est égal à <math> a \,</math>,
**et aucun des deux éléments n’est égal à <math> a \,</math>,
**et : <math> r * s = a</math>;
**et : <math> r * s = a</math>;
:


Exemple: pour les entiers relatifs, 0 est ''neutre'' pour l’addition, ''absorbant'' pour la multiplication, et ''neutre à droite'' pour la soustraction.
Exemple : pour les entiers relatifs, 0 est ''neutre'' pour l’addition, ''absorbant'' pour la multiplication, et ''neutre à droite'' pour la soustraction.


== Propriétés ==
== Propriétés ==
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=== Régularité et propriétés liées ===
=== Régularité et propriétés liées ===
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à gauche'', c'est-à-dire si :
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à gauche''' ou '''simplifiable à gauche''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à gauche'', c'est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à droite'', c'est-à-dire si :
* <math>*\,</math> est dite '''régulière à droite''' ou '''simplifiable à droite''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers à droite'', c'est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
* <math>*\,</math> est dite '''régulière''' ou '''simplifiable''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers'', c’est-à-dire si :
* <math>*\,</math> est dite '''régulière''' ou '''simplifiable''' si tous les éléments de ''E'' sont ''réguliers'', c’est-à-dire si :
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \lor ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
:<math> \forall\ ( x , y , z ) \in E^3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \lor ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,</math>
:Une loi est ''régulière'' si et seulement si elle est ''régulière à gauche'' et ''régulière à droite''.
:Une loi est ''régulière'' si et seulement si elle est ''régulière à gauche'' et ''régulière à droite''.
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=== Associativité et propriétés analogues ===
=== Associativité et propriétés analogues ===
Une loi <math>*</math> est dite :
Une loi <math>*</math> est dite :
*'''[[associativité|associative]]''' si :
*'''[[associativité|associative]]''' si :
*:<math>\forall\left(x,y,z\right)\in E^3\quad x * ( y * z ) = ( x * y ) * z</math>.
*:<math>\forall\left(x,y,z\right)\in E^3\quad x * ( y * z ) = ( x * y ) * z</math>.
*:L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la [[Relation binaire#Composition|composition des relations binaires]]…) ;
*:L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la [[Relation binaire#Composition|composition des relations binaires]]…) ;
*'''[[alternativité|alternative]]''' si :
*'''[[alternativité|alternative]]''' si :
*:<math>\forall\left(x,y\right)\in E^2\quad\left[x * ( x * y ) = ( x * x ) * y\quad\text{et}\quad( x * y ) * y = x * ( y * y )\right]</math>.
*:<math>\forall\left(x,y\right)\in E^2\quad\left[x * ( x * y ) = ( x * x ) * y\quad\text{et}\quad( x * y ) * y = x * ( y * y )\right]</math>.
*:Cette propriété est moins forte que l'associativité ;
*:Cette propriété est moins forte que l'associativité ;
*'''[[associativité des puissances|associative des puissances]]''' si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : <math>x * ( x * x ) = ( x * x ) * x </math>).
*'''[[associativité des puissances|associative des puissances]]''' si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : <math>x * ( x * x ) = ( x * x ) * x </math>).
*:Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de '''puissance''' d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
*:Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de '''puissance''' d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
**la puissance ''n''-ième d’un élément ''x'', notée habituellement ''x{{exp|n}}'', est égale au résultat de la composition de ''x'' selon <math>*</math>, (''n'' – 1) fois avec lui-même ; ainsi, ''x''{{1}} = ''x'', ''x''{{2}} = ''x'' <math>*</math> ''x'', ''x''{{3}} = ''x'' <math>*</math> ''x'' <math>*</math> ''x''{{etc.}}
**la puissance ''n''-ième d’un élément ''x'', notée habituellement ''x{{exp|n}}'', est égale au résultat de la composition de ''x'' selon <math>*</math>, (''n'' – 1) fois avec lui-même ; ainsi, ''x''{{1}} = ''x'', ''x''{{2}} = ''x'' <math>*</math> ''x'', ''x''{{3}} = ''x'' <math>*</math> ''x'' <math>*</math> ''x''{{etc.}}
**si de plus la loi <math>*</math> présente un élément neutre ''e'', on pose ''x''{{exp|0}} = ''e''
**si de plus la loi <math>*</math> présente un élément neutre ''e'', on pose ''x''{{exp|0}} = ''e''
**si en outre l'élément ''x'' est inversible {{infra|Inversibilité}}, on pose ''x{{exp|–n}}'' = (''x{{exp|n}}''){{-1}}.
**si en outre l'élément ''x'' est inversible {{infra|Inversibilité}}, on pose ''x{{exp|–n}}'' = (''x{{exp|n}}''){{-1}}.


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Nous nous placerons dans un magma (''E'', <math>*\,</math>) dont nous supposerons la loi ''unifère'' donc disposant d'un élément neutre <math> e \,</math>.
Nous nous placerons dans un magma (''E'', <math>*\,</math>) dont nous supposerons la loi ''unifère'' donc disposant d'un élément neutre <math> e \,</math>.
Il est alors possible de définir les notions suivantes :
Il est alors possible de définir les notions suivantes :
* un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si :
* un élément <math> s \,</math> est dit '''symétrisable à gauche''' ou '''inversible à gauche''' si :
:<math> \exists\ s' \in E ,\ s' * s = e \,</math>
:<math> \exists\ s' \in E ,\ s' * s = e \,</math>
: ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à gauche'' de ''s'' ;
: ''s' '' est alors appelé ''élément symétrique à gauche'' de ''s'' ;
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* la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable''' ou '''inversible''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles''.
* la loi <math> * \,</math> est dite '''symétrisable''' ou '''inversible''' si tous les éléments de ''E'' sont ''inversibles''.


Si la loi <math> * \,</math> est de plus ''associative'', il y a unicité, pour les éléments ''symétrisables à gauche'' (respectivement ''à droite''), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément ''s'' est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « ''s'' <sup> -1 </sup> ».
Si la loi <math> * \,</math> est de plus ''associative'', il y a unicité, pour les éléments ''symétrisables à gauche'' (respectivement ''à droite''), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément ''s'' est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « ''s'' <sup> -1</sup> ».


Exemples :
Exemples :
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Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé ''opposé'', et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé ''inverse''.
Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé ''opposé'', et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé ''inverse''.


== Nombre de lois de composition internes sur un ensemble à ''n'' éléments ==
== Dénombrements concernant les lois de composition internes sur un ensemble à ''n'' éléments ==
Soit ''E'' un ensemble à ''n'' éléments.
Soit <math>E</math> un ensemble à <math>n</math> éléments.


Le nombre de lois de composition internes sur ''E'' est le [[Application (mathématiques)#Ensemble des applications entre deux ensembles|nombre d'applications]] de ''E×E'' dans ''E'', soit
Le nombre de lois de composition internes sur <math>E</math> est le [[Application (mathématiques)#Ensemble des applications entre deux ensembles|nombre d'applications]] de <math>E\times E</math> dans <math>E</math>, soit
<center><math>n^{(n^2)}.</math></center>
<center><math>n^{(n^2)}</math> ; voir la {{OEIS|A002489}}.</center>


Pour le nombre de lois à [[isomorphisme]] près (il en existe par exemple 10 sur les 16 pour <math>n=2</math> ), voir la {{OEIS|A001329}}. Ce nombre est asymptotiquement équivalent à <math>n^{(n^2)}/n!</math>.
On peut compter de même combien, parmi elles, sont commutatives. Une loi commutative sur ''E'' est entièrement déterminée par sa valeur ''x✲y=y✲x'' pour les [[paire]]s {''x,y''} et sa valeur ''x✲x'' pour les [[Singleton (mathématiques)|singletons]] {''x''}. Le [[Combinaison avec répétition|nombre de ces paires et singletons]] étant

<center><math>\Gamma_n^2={n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}2,</math></center>
On peut compter combien de lois sur <math>E</math> sont commutatives. Une telle loi est entièrement déterminée par sa valeur <math>x*y=y*x</math> pour les [[paire]]s <math>\{x,y\}</math> et sa valeur <math>x*x</math> pour les [[Singleton (mathématiques)|singletons]] <math>\{x,y\}</math>. Le [[Combinaison avec répétition|nombre de ces paires et singletons]] étant <math>\Gamma_n^2={n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}2</math>,<br>
il y a donc
le nombre de lois commutatives sur <math>E</math> est donc
<center><math>n^{n(n+1)/2}~</math></center>
<center><math>n^{n(n+1)/2}~</math> ; voir la {{OEIS|A023813}}</center>Pour le nombre de lois associatives, soit le nombre de structures de [[demi-groupe]] sur <math>E</math>, il n'y a pas actuellement de formule « fermée » ; voir la {{OEIS|A023814}}.
lois commutatives sur ''E''.

Le nombre de lois possédant un élément neutre (forcément unique) est<center><math>n^{(n-1)^2+1}</math> ; voir la {{OEIS|A090602}}</center>Le nombre de lois commutatives possédant un élément neutre est<center><math>n^{n(n-1)/2+1}</math> ; voir la {{OEIS|A090599}}</center>Le nombre de lois régulières à gauche (ou à droite) est <center><math>(n!)^n</math> ; voir la {{OEIS|A036740}}</center>Pour le nombre de lois régulières, soit le nombre de structures de [[Quasigroupe|quasi-groupe]] sur ''<math>E</math>,'' et aussi le nombre de [[Carré latin|carrés latins]] formés avec <math>n</math> objets, voir la {{OEIS|A002860}}.


== Voir aussi ==
== Voir aussi ==
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* [[Algèbre universelle]]
* [[Algèbre universelle]]
* [[Morphisme]]
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* [[Table de Cayley|Table d'une loi de composition interne]]

== Note==

<references />


== Références ==
== Références ==
{{Références}}


== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|lien auteur=N. Bourbaki

| prénom = N.
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|lien auteur1=N. Bourbaki|titre=[[Éléments de mathématique]]|volume=II|titre volume=Algèbre, Chapitres 1 à 3|lieu=Berlin|éditeur=Springer|année=1970|numéro d'édition=2|réimpression=2007|isbn=978-3-540-33849-9|présentation en ligne=https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-540-33849-9}}
| nom = Bourbaki|lien titre=Éléments de mathématique
| titre = Éléments de mathématique
| volume = II
| titre volume = Algèbre, Chapitres 1 à 3
| éditeur = Springer
| numéro d'édition = 2
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| réimpression = 2007
| isbn = 978-3-540-33849-9
| présentation en ligne = https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-540-33849-9
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Dernière version du 3 novembre 2024 à 12:56

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne, abrégé en "lci" ou simplement "loi" est une application qui, à deux éléments d'un ensemble , associe un élément de [1]. Autrement dit, c'est une opération binaire[2] par laquelle est stable.

L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes.

Les lois de composition internes et externes servent à définir les structures algébriques, qui occupent une place privilégiée en algèbre générale.

Présentation

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Une opération dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, appelés opérandes, en associe éventuellement un troisième, unique, nommé résultat, toujours dans ce même ensemble.

Pour que l’opération considérée soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu’elle ait un sens quels que soient les deux éléments (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :

  • la division n’est pas une loi de composition interne dans , parce qu’on ne peut pas diviser par zéro : par exemple, « 3 / 0 » n’a pas de sens. Mais cette même division est une loi de composition interne dans ℝ* (ensemble des réels privé de 0). Enfin cette même opération n'est pas une loi de composition interne dans ℤ* car 2 / 3 n'est pas un entier relatif.
  • la soustraction peut être ou non une loi de composition interne selon l’ensemble de nombres considéré :
    • s’il s’agit de l’ensemble des nombres usuels, dits entiers naturels { 0, 1, 2, 3,... }, ce n’en est pas une, puisque « 3 – 5 », par exemple, n’a pas pour résultat l’un de ces nombres usuels.
    • si au contraire, on choisit l’ensemble des entiers relatifs, qui en plus des entiers naturels, contient les entiers négatifs { ..., –3, –2, –1}, alors la soustraction est bien une loi de composition interne.

En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble , ou, plus simplement une loi dans , est une opération qui donne un résultat dans pour tous les couples possibles d'éléments de .

Dans l’ensemble des entiers relatifs, l’addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l’article :

  • 0 est élément neutre pour cette loi : l’ajouter à n’importe quel nombre redonne ce nombre : par exemple,   5 + 0 = 5  , et   0 + 8 = 8 ;
  • pour tout entier, il existe un autre nombre, son opposé (le terme général est élément symétrique), tel qu’ajouté au premier, il redonne l’élément neutre 0. L’opposé se note comme l’entier initial changé de signe. Ainsi :   3 + (–3) = 0 ;
  • on peut échanger les deux éléments autour du signe «  » :   3 + 5 = 5 + 3 = 8  . On dit que l’opération est commutative ;
  • on peut grouper les éléments comme on le souhaite quand on en ajoute plus de deux :   3 + 5 + 4   peut se calculer de deux manières :
    • en calculant d’abord   3 + 5 = 8   puis en ajoutant   4   au résultat,
    • ou en calculant   5 + 4 = 9   avant de calculer   3 + 9  .
Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce que l’on note :   (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)  . On dit que l’opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d’un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d’autres ensembles et d’autres lois. Ainsi, on peut étudier l’ensemble des translations (c’est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l’addition :

  • le neutre est la translation nulle, consistant à ne pas se déplacer ;
  • le symétrique d’une translation consiste à faire le même déplacement dans l’autre sens (3 mètres à droite et 2 mètres vers le bas pour l’exemple précédent) : si on fait successivement les deux, c’est comme si on faisait le déplacement nul ;
  • on peut faire les déplacements dans l’ordre qu’on veut, on retrouve la commutativité et l’associativité.

L’ensemble des entiers relatifs avec l’addition, et l’ensemble des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés particulières s’appelle en algèbre un groupe abélien. L'algèbre générale s’attache ensuite à rechercher d’autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables aussi bien pour l’ensemble des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et toute autre loi de composition interne ayant la structure d’un groupe abélien, sans qu’il soit nécessaire de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

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On appelle loi de composition interne sur un ensemble toute application du produit cartésien dans .

Un ensemble muni d’une loi de composition interne constitue une structure algébrique appelée magma et notée « ( , ) ».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble non vide :

  • les applications constantes : si c appartient à E :
  • l’application sélectionnant le terme de gauche :
  • l’application sélectionnant le terme de droite :

Éléments particuliers

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Carrés et dérivés

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  • un élément est dit carré si :  
En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté habituellement « x2 ».
Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé de préférence à celui de carré.
Exemple : dans ℤ, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.
  • un élément est dit idempotent (d'ordre 2) ou projecteur si :  
En d’autres termes, cet élément est son propre carré.
Exemples :
  • tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi ;
  • dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.

Neutres et dérivés

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Un élément est dit :

  • neutre à gauche si  ;
  • neutre à droite si  ;
  • neutre lorsqu’il est neutre à droite et à gauche.
Exemples

Tout élément neutre à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors la loi admet un unique élément neutre, et tout élément neutre à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsqu'il existe un élément neutre  :

  • un élément est dit involutif si .
    Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre ;
  • un élément est dit symétrique à gauche de l'élément si . L'élément est alors symétrique à droite de l'élément .

Absorbants et dérivés

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Un élément est dit :

  • absorbant à gauche si :  ;
  • absorbant à droite si :  ;
  • absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.
Exemples
  • Dans ℝ, 0 est absorbant pour la multiplication.
  • Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, l'ensemble vide est absorbant pour l'intersection et l'ensemble X est absorbant pour l'union.

Tout élément absorbant à gauche ou à droite est idempotent.

S'il existe un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, alors la loi admet un unique élément absorbant, et tout élément absorbant à gauche ou à droite lui est égal.

Lorsque la loi admet un élément absorbant , un élément est dit nilpotent (d'ordre 2) si .

Centre d'une structure

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Un élément est dit central si .

Les éléments neutre et absorbant bilatères sont centraux.

On appelle centre de E, et on note Z(E), l’ensemble des éléments centraux de E.

Réguliers et dérivés

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Un élément est dit

  • régulier à gauche ou simplifiable à gauche si :
 ; autrement dit si la multiplication à gauche est injective.
  • régulier à droite ou simplifiable à droite si :
; autrement dit si la multiplication à droite est injective.
  • régulier ou simplifiable lorsqu’il est régulier à droite et à gauche ;
  • diviseur de zéro à gauche s'il existe un élément absorbant (évidemment unique), différent de , et si :;
  • diviseur de zéro à droite s'il existe un élément absorbant , différent de , et si : .

Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l’élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Paires d'éléments

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Des paires d’éléments peuvent aussi présenter des propriétés particulières :

  • deux éléments et seront dits permutables ou commutants si :
  • deux éléments permutables et seront dits symétriques ou inversibles si :
    • il existe un élément neutre ,
    • et : ;
  • deux éléments permutables et seront dits diviseurs de zéro ou désintégrants si :
    • il existe un élément absorbant ,
    • et aucun des deux éléments n’est égal à ,
    • et : ;

Exemple : pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l’addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés

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Certaines propriétés des lois de composition internes, particulièrement intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma (E, ) ; la loi peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d’éléments remarquables

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Une loi est dite

  • unifère à gauche s’il existe un élément neutre à gauche. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à droite ;
  • unifère à droite s’il existe un élément neutre à droite. Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu’elle ne présente pas d’élément neutre à gauche ;
  • unifère (parfois unitaire) s’il existe un élément neutre (qui est alors unique).

Régularité et propriétés liées

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  • est dite régulière à gauche ou simplifiable à gauche si tous les éléments de E sont réguliers à gauche, c'est-à-dire si :
  • est dite régulière à droite ou simplifiable à droite si tous les éléments de E sont réguliers à droite, c'est-à-dire si :
  • est dite régulière ou simplifiable si tous les éléments de E sont réguliers, c’est-à-dire si :
Une loi est régulière si et seulement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.

Associativité et propriétés analogues

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Une loi est dite :

  • associative si :
    .
    L’associativité d’une loi permet de se passer des parenthèses quand on répète la loi ; la plupart des lois intéressantes sont associatives (exemples : l’addition, la multiplication, la composition des relations binaires…) ;
  • alternative si :
    .
    Cette propriété est moins forte que l'associativité ;
  • associative des puissances si, lorsqu'un élément est composé par lui-même plusieurs fois, l'ordre dans lequel sont effectuées ces compositions n'influe pas sur le résultat (ce qui implique en particulier : ).
    Quand cette propriété est vérifiée, il est possible d’introduire la notion de puissance d’un élément (d’où le nom de la propriété) :
    • la puissance n-ième d’un élément x, notée habituellement xn, est égale au résultat de la composition de x selon , (n – 1) fois avec lui-même ; ainsi, x1 = x, x2 = x x, x3 = x x xetc.
    • si de plus la loi présente un élément neutre e, on pose x0 = e
    • si en outre l'élément x est inversible (voir infra), on pose x–n = (xn)−1.

Autres propriétés

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Une loi est dite

  • intègre si elle admet un élément absorbant et si aucun élément n’est diviseur de zéro ;
  • commutative si .

La liste de propriétés ci-dessus n’est pas exhaustive, loin de là. Toutefois, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu’un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d’autres lois. La plus importante de ces lois relatives est la distributivité.

  • Une loi est distributive à gauche par rapport à une autre loi si :
  • Une loi est distributive à droite par rapport à une autre loi si :
  • Une loi est distributive par rapport à une autre loi si elle est à la fois distributive à droite et à gauche par rapport à

Par exemple, la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Remarque : si de plus est régulière et unifère, alors son élément neutre est nécessairement absorbant pour la loi . Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps commutatif, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la deuxième loi.

Inversibilité

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Cette propriété importante mérite un paragraphe séparé. Nous nous placerons dans un magma (E, ) dont nous supposerons la loi unifère donc disposant d'un élément neutre . Il est alors possible de définir les notions suivantes :

  • un élément est dit symétrisable à gauche ou inversible à gauche si :
s' est alors appelé élément symétrique à gauche de s ;
  • un élément est dit symétrisable à droite ou inversible à droite si :
s' est alors appelé élément symétrique à droite de s ;
  • Tout élément inversible à gauche est régulier à gauche, et de même à droite. Si E est fini, la réciproque est vraie car toute injection de E dans E est alors surjective (voir les propriétés des bijections).
  • un élément est dit symétrisable ou inversible lorsqu'il est inversible à droite et à gauche et que les deux symétriques sont égaux ;
s' est alors appelé élément symétrique de s.
  • la loi est dite symétrisable à gauche ou inversible à gauche si tous les éléments de E sont inversibles à gauche;
  • la loi est dite symétrisable à droite ou inversible à droite si tous les éléments de E sont inversibles à droite ;
  • la loi est dite symétrisable ou inversible si tous les éléments de E sont inversibles.

Si la loi est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite et à gauche alors ses symétriques à gauche et à droite sont forcément égaux entre eux et cet élément est donc symétrisable. Son symétrique est alors noté habituellement « s -1 ».

Exemples :

  • 2 n'est pas symétrisable pour l'addition dans les entiers naturels ;
  • 2 est symétrisable, de symétrique –2, pour l’addition dans les entiers relatifs ;
  • 2 n’est pas inversible pour le produit dans les entiers relatifs ;
  • 2 est inversible, d’inverse 1/2, pour le produit dans les rationnels.

Remarque :

Lorsque la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt appelé opposé, et quand la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt appelé inverse.

Dénombrements concernant les lois de composition internes sur un ensemble à n éléments

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Soit un ensemble à éléments.

Le nombre de lois de composition internes sur est le nombre d'applications de dans , soit

 ; voir la suite A002489 de l'OEIS.

Pour le nombre de lois à isomorphisme près (il en existe par exemple 10 sur les 16 pour ), voir la suite A001329 de l'OEIS. Ce nombre est asymptotiquement équivalent à .

On peut compter combien de lois sur sont commutatives. Une telle loi est entièrement déterminée par sa valeur pour les paires et sa valeur pour les singletons . Le nombre de ces paires et singletons étant ,
le nombre de lois commutatives sur est donc

 ; voir la suite A023813 de l'OEIS

Pour le nombre de lois associatives, soit le nombre de structures de demi-groupe sur , il n'y a pas actuellement de formule « fermée » ; voir la suite A023814 de l'OEIS. Le nombre de lois possédant un élément neutre (forcément unique) est

 ; voir la suite A090602 de l'OEIS

Le nombre de lois commutatives possédant un élément neutre est

 ; voir la suite A090599 de l'OEIS

Le nombre de lois régulières à gauche (ou à droite) est

 ; voir la suite A036740 de l'OEIS

Pour le nombre de lois régulières, soit le nombre de structures de quasi-groupe sur , et aussi le nombre de carrés latins formés avec objets, voir la suite A002860 de l'OEIS.

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Références

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  1. « Langage des lois de composition », sur normalesup.org (consulté le )
  2. Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise « binary operation », utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « opération » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.

Bibliographie

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