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En mathématiques, un espace séparé, dit aussi espace de Hausdorff, est un espace topologique dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints. Cette condition est aussi appelée axiome T₂ au sein des axiomes de séparation.

L'appellation fait référence à Felix Hausdorff, mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la topologie, qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.

Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou ce qui revient au même : de toute suite généralisée convergente).

Exemples et contre-exemples

Tout espace métrique est séparé. En effet, deux points situés à une distance L l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon L/3 centrées sur chacun d'eux.

Tout espace discret est séparé, chaque singleton constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non dénombrable est séparé et non séparable.

La topologie de l'ordre associée à un ordre total est séparée.

Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :

tout ensemble ayant au moins deux éléments et muni de la topologie grossière (toujours séparable) ;
tout ensemble infini muni de la topologie cofinie (qui pourtant satisfait l'axiome T₁ d'espace accessible) ;
certains spectres d'anneau munis de la topologie de Zariski.

Principales propriétés

Dans un espace séparé, tout singleton est fermé^[1]. Autrement dit : tout espace T₂ est T₁.
Pour toute fonction f à valeurs dans un espace séparé et tout point a adhérent au domaine de définition de f, la limite de f en a, si elle existe, est unique^[2]. Cette propriété équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou de toute suite généralisée convergente) à valeurs dans cet espace.
En particulier^[3], la limite d'une suite à valeurs dans un espace séparé, si elle existe, est unique^[4].
Deux applications continues à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une partie dense sont égales^[1]. Plus explicitement : si Y est séparé, si f, g : X → Y sont deux applications continues et s'il existe une partie D dense dans X telle que $\forall x\in D,\;f(x)=g(x)$ alors $\forall x\in X,\;f(x)=g(x).$
Une topologie plus fine qu'une topologie séparée est toujours séparée.
Tout sous-espace d'un espace séparé est séparé.
Un produit d'espaces topologiques non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est.

Par contre, un espace quotient d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.

X est séparé si et seulement si, dans l'espace produit X×X, la diagonale { (x, x) | x ∈ X } est fermée^[5].
Le graphe d'une application continue f : X → Y est fermé dans X×Y dès que Y est séparé. (En effet, la diagonale de Y est alors fermée dans Y×Y donc le graphe de f, image réciproque de ce fermé par l'application continue f×id_Y : (x,y) ↦ (f(x), y), est fermé dans X×Y.) « La » réciproque est fausse, au sens où une application de graphe fermé n'est pas nécessairement continue, même si l'espace d'arrivée est séparé.
X est séparé si et seulement si, pour tout point x de X, l'intersection des voisinages fermés de x est réduite au singleton {x} (ce qui entraine la séparation T₁ : l'intersection de tous les voisinages de x est réduite au singleton).

Espace localement séparé

Un espace topologique X est localement séparé lorsque tout point de X admet un voisinage séparé.

Un tel espace est toujours T₁ mais n'est pas nécessairement séparé ni même seulement à unique limite séquentielle. On peut par exemple considérer la droite réelle munie de sa topologie usuelle et y ajouter un point 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 dans lesquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, la suite (1/n) converge à la fois vers 0 et 0'.

Notes et références

↑ ^{a et b} Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 21, 46.
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le paragraphe « Limite » dans la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.
↑ En considérant toute suite comme une fonction définie sur ℕ, auquel le point $+\infty$ est adhérent dans ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre.
↑ C'est aussi une conséquence des faits (démontrés dans l'article Axiome de séparation (topologie)) que tout espace séparé est KC et tout espace KC est à unique limite séquentielle.
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le paragraphe « Puissance n-ième d'un espace » dans la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.

Article connexe

Espace faiblement séparé

Portail des mathématiques

[:0-1] {a et b} Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 21, 46.

[2] Pour une démonstration, voir par exemple le paragraphe « Limite » dans la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.

[3] En considérant toute suite comme une fonction définie sur ℕ, auquel le point $+\infty$ est adhérent dans ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre.

[4] C'est aussi une conséquence des faits (démontrés dans l'article Axiome de séparation (topologie)) que tout espace séparé est KC et tout espace KC est à unique limite séquentielle.

[5] Pour une démonstration, voir par exemple le paragraphe « Puissance n-ième d'un espace » dans la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.

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-{{confusion|texte = Ne pas confondre avec la structure d'[[espace séparable]].}}
+{{confusion|texte = Ne pas confondre avec la notion d'[[espace séparable]].}}
-[[Image:Hausdorff space.svg|thumb|''Deux points admettant des voisinages disjoints.'']]
+[[Image:Hausdorff space.svg|vignette|Deux points admettant des voisinages disjoints.]]
-En [[mathématiques]], un '''espace séparé''', dit aussi '''espace de Hausdorff''', est un [[espace topologique]] dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des [[Glossaire de topologie#V|voisinages]] [[ensembles disjoints|disjoints]]. Cette condition est aussi appelée '''axiome T<sub>2</sub>''' au sein des [[axiome de séparation (topologie)|axiomes de séparation]].
+En [[mathématiques]], un '''espace séparé''', dit aussi '''espace de Hausdorff''', est un [[espace topologique]] dans lequel deux points distincts quelconques admettent toujours des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] [[ensembles disjoints|disjoints]]. Cette condition est aussi appelée '''axiome T<sub>2</sub>''' au sein des [[axiome de séparation (topologie)|axiomes de séparation]].
 L'appellation fait référence à [[Felix Hausdorff]], mathématicien allemand et l'un des fondateurs de la [[topologie]], qui avait inclus cette condition dans sa définition originale d'espace topologique.
-Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la [[limite (mathématiques)|limite]] de tout [[filtre (mathématiques)|filtre]] convergent.
+Cette propriété de séparation équivaut à l'unicité de la [[limite (mathématiques)|limite]] de tout [[filtre (mathématiques)|filtre]] convergent (ou ce qui revient au même : de toute [[suite généralisée]] convergente).
 == Exemples et contre-exemples ==
-Tout [[espace métrique]] est séparé. En effet, deux points situés à une distance ''L ''l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les boules de rayon ''L''/3 centrées sur chacun d'eux.
+Tout [[espace métrique]] est séparé. En effet, deux points situés à une distance ''L ''l'un de l'autre admettent comme voisinages disjoints les [[Boule (topologie)|boules]] de rayon ''L''/3 centrées sur chacun d'eux.
 Tout [[espace discret]] est séparé, chaque [[Singleton (mathématiques)|singleton]] constituant un voisinage de son élément. En particulier, un espace discret non [[ensemble dénombrable|dénombrable]] est séparé et non [[espace séparable|séparable]].
+La [[topologie de l'ordre]] associée à un [[ordre total]] est séparée.
 Des exemples d'espaces non séparés sont donnés par :
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 == Principales propriétés ==
+*Dans un espace séparé, tout [[Singleton (mathématiques)|singleton]] est [[Fermé (topologie)|fermé]]<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Dixmier]]|titre=Topologie générale|passage=21, 46|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|date=1981}}.</ref>. Autrement dit : tout espace T{{ind|2}} est [[Espace T1|T{{ind|1}}]].
-* Dans un espace topologique séparé, une [[suite (mathématiques)|suite]] convergente a une [[limite (mathématiques)|limite]] unique.
+* Pour toute fonction ''f'' à valeurs dans un espace séparé et tout point ''a'' [[Point adhérent|adhérent]] au [[domaine de définition]] de ''f'', la [[Limite (mathématiques)#Généralisations pour les espaces topologiques|limite de ''f'' en ''a'']], si elle existe, est unique<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Limite|paragraphe « Limite » dans la leçon « Topologie générale »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>. Cette propriété équivaut à l'unicité de la limite de tout filtre convergent (ou de toute suite généralisée convergente) à valeurs dans cet espace.
+* En particulier<ref>En considérant toute [[Suite (mathématiques)|suite]] comme une fonction définie sur ℕ, auquel le point <math>+\infty</math> est adhérent dans [[Droite réelle achevée|ℕ ∪ {+∞}]] muni de la [[topologie de l'ordre]].</ref>, la [[limite d'une suite]] à valeurs dans un espace séparé, si elle existe, est unique<ref>C'est aussi une conséquence des faits (démontrés dans l'article [[Axiome de séparation (topologie)]]) que tout espace séparé est KC et tout espace KC est à unique limite séquentielle.</ref>.
-{{démonstration|titre=Trois démonstrations|contenu=
+* Deux applications [[continue]]s à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une [[partie dense]] sont égales<ref name=":0" />. Plus explicitement : si ''Y ''est séparé, si ''f'', ''g '': ''X ''→ ''Y ''sont deux applications continues et s'il existe une partie ''D ''dense dans ''X ''telle que{{Retrait|<math>\forall x\in D,\; f(x)=g(x)</math>}}alors{{retrait|<math>\forall x\in X,\; f(x)=g(x).</math>}}
-*C'est un cas particulier de l'unicité de la limite d'un filtre convergent.
-*C'est aussi une conséquence des faits (démontrés dans l'article [[Axiome de séparation (topologie)]]) que tout espace séparé est KC et tout espace KC est à unique limite séquentielle.
-*Démonstration élémentaire directe.
-Supposons que <math>(u_n)_{n\in{\N}}</math> est une suite convergeant vers les points ''x'' et ''y'' dans un espace topologique séparé.
-Soient <math>V_x</math> un voisinage de ''x'' et <math>V_y</math> un voisinage de ''y''.
-<math>(u_n)_{n\in{\N}}</math> tend vers ''x'' donc il existe un entier <math>N_x</math> tel que <math>\forall n \geq N_x, u_n \in V_x</math>.
-<math>(u_n)_{n\in{\N}}</math> tend vers ''y'' donc il existe un entier <math>N_y</math> tel que <math>\forall n \geq N_y, u_n \in V_y</math>.
-Posons <math>N=\max(N_x,N_y)</math>. On a immédiatement <math>\forall n \geq N, u_n \in V_x\cap V_y</math> donc <math>V_x\cap V_y\neq\varnothing</math>.
-Par conséquent, un voisinage de ''x'' et un voisinage de ''y'' ont forcément des points en commun, ce qui dans un espace topologique séparé implique que ''x = y'' ([[contraposition|contraposée]] de la définition de ''séparé'').
-Ainsi une suite convergente d'un espace topologique séparé ne peut converger vers deux limites distinctes.}}
-* Deux applications [[continue]]s à valeurs dans un séparé qui coïncident sur une [[Densité (mathématiques)|partie dense]] sont égales. Plus explicitement : si ''Y ''est séparé, si ''f'', ''g '': ''X ''→ ''Y ''sont deux applications continues et s'il existe une partie ''D ''dense dans ''X ''telle que{{Retrait|<math>\forall x\in D,\; f(x)=g(x)</math>}}alors{{retrait|<math>\forall x\in X,\; f(x)=g(x).</math>}}
 * Une [[Comparaison de topologies|topologie plus fine]] qu'une topologie séparée est toujours séparée.
 * Tout [[Topologie induite|sous-espace]] d'un espace séparé est séparé.
 * Un [[Topologie produit|produit d'espaces topologiques]] non vides est séparé si et seulement si chacun d'eux l'est.
+{{Attention|dimension=24|Par contre, un [[Topologie quotient|espace quotient]] d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.}}
+* ''X ''est séparé si et seulement si, dans l'espace produit ''X''×''X'', la diagonale {{nobr|<nowiki>{</nowiki> (''x'', ''x'') {{!}} ''x ''∈ ''X ''<nowiki>}</nowiki>}} est fermée<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Espace produit#Puissance n-ième d'un espace|paragraphe « Puissance ''n''-ième d'un espace » dans la leçon « Topologie générale »|début=Pour une démonstration, voir par exemple le}}</ref>.
+* Le [[graphe d'une fonction|graphe]] d'une application continue ''f '': ''X ''→ ''Y ''est fermé dans ''X''×''Y ''dès que ''Y ''est séparé. (En effet, la diagonale de ''Y'' est alors fermée dans ''Y''×''Y ''donc le graphe de ''f'', [[image réciproque]] de ce fermé par l'application continue ''f''×[[Application identité|id{{ind|''Y''}}]] : (''x'',''y'') ↦ (''f''(''x''), ''y''), est fermé dans ''X''×''Y''.) « La » [[réciproque]] est fausse, au sens où une application de graphe fermé n'est pas nécessairement continue, même si l'espace d'arrivée est séparé.
+* ''X ''est séparé si et seulement si, pour tout point ''x'' de ''X'', l'intersection des voisinages fermés de ''x'' est réduite au singleton {''x''} (ce qui entraine la [[Espace T1|séparation T{{ind|1}}]] : l'intersection de tous les voisinages de ''x ''est réduite au singleton).
+== Espace localement séparé ==
-[[Image:Nuvola apps important.svg|17px]] Par contre un [[Topologie quotient|espace quotient]] d'un espace séparé n'est pas toujours séparé.
-*''X ''est séparé si et seulement si, dans l'espace produit ''X''×''X'', la diagonale {{nobr|<nowiki>{</nowiki> (''x'', ''x'') {{!}} ''x ''∈ ''X ''<nowiki>}</nowiki>}} est [[Fermé (topologie)|fermée]].
-{{démonstration|contenu=Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble <math>O=\{(x,y)\in X\times X\ |\ x\ne y\}</math> est ouvert (pour la [[topologie produit]]). Les équivalences suivantes permettent de conclure :
-:''O'' est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à
-:pour tout <math>(x,y)\in O</math>, il existe ''U'', ''V'' ouverts de ''X'' tels que <math>(x,y)\in U\times V</math> et <math>U\times V\subset O</math>, qui lui-même équivaut à
-:pour tous <math>x,y\in X</math> distincts, il existe ''U'', ''V'' ouverts de ''X'' tels que <math>x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing.</math>
-}}
-*Le [[graphe d'une fonction|graphe]] d'une application continue ''f '': ''X ''→ ''Y ''est fermé dans ''X''×''Y ''dès que ''Y ''est séparé. (En effet, la diagonale de ''Y'' est alors fermée dans ''Y''×''Y ''donc le graphe de ''f'', [[image réciproque]] de ce fermé par l'application continue ''f''×[[Application identité|id{{ind|''Y''}}]] : (''x'',''y'') ↦ (''f''(''x''), ''y''), est fermé dans ''X''×''Y''.)
-*''X ''est séparé si et seulement si, pour tout point ''x'' de ''X'', l'intersection des voisinages fermés de ''x'' est réduite au singleton {''x''} (ce qui entraine la [[Espace T1|séparation T{{ind|1}}]] : l'intersection de tous les voisinages de ''x ''est réduite au singleton).
-== Variantes affaiblies ==
-==== Espace localement séparé ====
 Un espace topologique ''X'' est localement séparé lorsque tout point de ''X'' admet un voisinage séparé.
-Un tel espace est toujours [[espace accessible|T<sub>1</sub>]] mais n'est pas nécessairement séparé. On peut par exemple considérer la droite réelle <math>\R</math> munie de sa topologie usuelle et y ajouter un point 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 auxquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, le segment [-1,1] est compact mais non fermé. ainsi, il n'est ni séparé ni même faiblement séparé.
+Un tel espace est toujours [[espace accessible|T<sub>1</sub>]] mais n'est pas nécessairement séparé ni même seulement [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces à unique limite séquentielle|à unique limite séquentielle]]. On peut par exemple considérer la [[Topologie de la droite réelle|droite réelle munie de sa topologie usuelle]] et y [[Espace topologique#Définition par les voisinages|ajouter un point]] 0' (qui clone le réel 0) dont les voisinages sont les voisinages de 0 dans lesquels on remplace 0 par 0'. Dans cet espace, la suite (1/''n'') [[Limite d'une suite|converge]] à la fois vers 0 et 0'.
+== Notes et références ==
-==== Espace faiblement séparé ====
+{{Références}}
-Un espace topologique est faiblement séparé, ou faiblement Hausdorff<ref>Voir l'article [[Espace compactement engendré]]</ref> lorsque pour tout espace [[Compacité (mathématiques)|compact]] ''K'' et toute application continue ''f'' de ''K'' dans ''X'', l'image de ''K'' par ''f'' est fermée dans ''X''.
+== Article connexe ==
-Tout espace séparé est faiblement séparé. Tout espace faiblement séparé est [[espace accessible|T<sub>1</sub>]].
+* [[Axiome de séparation (topologie)#Espaces faiblement séparés|Espace faiblement séparé]]
-{{reflist}}
+{{palette Axiomes de séparation}}
-{{Portail mathématiques}}
+{{Portail|mathématiques}}
-[[Catégorie:Topologie générale]]
+[[Catégorie:Propriété d'espace topologique|Separe]]