Voir la source de Octadécagone

{{Ébauche|géométrie}}

Un '''octadécagone''' ou '''octakaidécagone''' est un [[polygone]] à [[18 (nombre)|18]] [[Sommet (géométrie)|sommets]], donc 18 côtés et [[135 (nombre)|135]] [[diagonale]]s.

La [[Polygone#Somme des angles|somme des angles internes]] d'un octadécagone non [[Polygone#Polygone croisé|croisé]] vaut {{unité|2880|[[Degré (angle)|degrés]]}}.

== Nom ==

Le nom du polygone  [[étymologie|est formé à partir]] des [[Affixe|préfixes]] [[octo]] et [[Déca (préfixe du système international d'unités)|déca]]. Octo provient du [[grec ancien]] {{lang|grc|ὀκτώ}} (''octo'', [[huit]]) et déca de {{lang|grc|δέκα}} (''déca'', [[dix]]). En grec ancien, dix-huit se dit {{lang|grc|ὀκτὼ καὶ δέκα}} (''octo kai deka'').

==L'octadécagone régulier==
Un octadécagone [[Polygone régulier|régulier]] est un octadécagone dont les 18 côtés ont la même longueur et dont les [[Angle interne|angles internes]] ont même mesure. Il y en a trois : deux [[Polygone régulier étoilé|étoilés]] (les '''octadécagrammes''' notés [[Symbole de Schläfli|{18/5} et {18/7}]]) et un [[Polygone convexe|convexe]] (noté {18}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'octadécagone régulier ».

[[File:Regular polygon 18 annotated.svg|thumb|left|L'octadécagone régulier convexe {18} et [[#Caractéristiques|ses angles remarquables]].]]

<gallery caption="Les deux octadécagones réguliers étoilés">
Regular_star_polygon_18-5.svg|{18/5} (angle interne : 80°)
Regular_star_polygon_18-7.svg|{18/7} (angle interne : 40°)
</gallery>
{{clr}}

===Caractéristiques===
Dans l'octadécagone régulier, chacun des 18 [[Polygone régulier#Angles|angles au centre]] mesure <math>\frac{360^\circ}{18} = 20^\circ</math> et chaque angle interne mesure <math>\frac{2\,880^\circ}{18} = 160^\circ</math>.

Si {{math|''a''}} est la longueur d'une arête :
*le [[périmètre]] vaut <math>P = 18\,a</math> ;
*l'[[Polygone régulier#Périmètre et aire|aire]] vaut <math>A = \frac{18}{4} \,a^2 \cot\left(\frac{\pi}{18}\right)</math> ;
*l'[[apothème]] vaut <math>H = \frac{2\,A}{P} = \frac{a}{2} \cot\left(\frac{\pi}{18}\right)</math> ;
*le [[Cercle circonscrit|rayon]] vaut <math>R=\frac H{\cos\left(\frac{\pi}{18}\right)}=\frac a{2\sin\left(\frac{\pi}{18}\right)}</math>.

===Propriétés===

* L'octadécagone régulier n'est ''pas'' [[Construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]].
* Son [[symbole de Schläfli]] est {18}.
* Son [[groupe de symétrie]] est le [[groupe diédral]] D<sub>18</sub>.

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Octadecagons}}
{{MathWorld|nom_url=TrigonometryAnglesPi18|titre=Trigonometry Angles — Pi/18}}

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone]]