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Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f – id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f – id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).
On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) – x appartient à H)[1].
Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f – id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f – id)2 = 0.
Condition équivalente 2[2] : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E : f(x) = x + h(x)u.
Les transvections sont bijectives (f−1(x) = x – h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire SL(E) de E. L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à u de H, faire correspondre la transvection x ↦ x + h(x)u).
IllustrationLa transvection associée à la matrice ,illustrée ci-contre. Dans R², considérons u définie par u: X=(x,y)→(x+2y,y)=(x,y)+y(2,0)=X+g(X)c où g:X=(x,y)→y est une forme linéaire et c=(2,0). u est la transvection d'hyperplan l'axe des abscisses et de droite l'axe des abscisses. On retrouve la forme (condition équivalente n°2 ) proposée dans la définition générale.
Une transvection d'un espace affine E est soit l'identité, soit une application affine de E dans E dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan H de E (base de la transvection) et telle que pour tout point M le vecteur reste parallèle à H.
Les vecteurs forment alors une droite vectorielle (direction de la transvection).
Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.
Étant donnés deux points A et A' tels que la droite (AA') est parallèle à un hyperplan H, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base H envoyant A sur A' ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction de la figure ci-contre.
Si l'on plonge l'espace affine E dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini H' , on sait que l'on peut munir le complémentaire E' de l'hyperplan H d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de H dans E deviennent parallèles dans E' et celles qui sont parallèles dans E deviennent sécantes en un point de H' ).
À toute transvection d'hyperplan H de E est alors associée une application affine de E' qui n'est autre qu'une translation.
Les transvections sont donc en fait des « translations en perspective ».[réf. nécessaire] Si l'on regarde par avion une translation[Interprétation personnelle ?] de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection (cf figure ci-contre).
Si maintenant on envoie un autre hyperplan que H et H' à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.
En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.
Plongeons l'espace euclidien En de dimension n comme hyperplan d'un espace En+1 de dimension n+1 et faisons tourner En autour de son hyperplan H, de façon à en obtenir une copie .
Tout point M de En a une copie dans , donc aussi l'image M' de M par une transvection de base H.
On montre que la droite garde une direction fixe D, ce qui montre que s'obtient par projection de M dans En+1 (projection de base et de direction D)[3].
Dessin d'origine
Résultat d'une transvection
