Sinus hyperbolique réciproque

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Courbe représentative de la fonction arsinh.

Définition

La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique, notée arsinh (ou argsh),

$\operatorname {arsinh} :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :

$y=\operatorname {arsinh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sinh y$.

Propriétés

Cette fonction est bijective et son image est $\mathbb {R}$. Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur $\mathbb {R} _{-}$ et concave sur $\mathbb {R} _{+}$.

Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur $\mathbb {R}$ et sa dérivée est donnée par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} 'x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.

Par conséquent, la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)$.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld