Fonction de taux

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.

Définition

Soit $X$ un espace topologique séparé et $I:X\longrightarrow [0,+\infty ]$ une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que $I$ est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :

pour tout $a\in [0,+\infty [$ l'ensemble $I^{-1}([0,a])=\{x\in X,\,I(x)\leq a\}\subset X$ est fermé.

Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que $I$ est une bonne fonction de taux.

Si $I$ est une bonne fonction de taux alors $I$ possède un minimum sur tout fermé. Autrement dit $I$ atteint son infimum sur tout fermé.
La transformée de Cramér d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ est toujours une fonction de taux. Plus précisément si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb {R} ^{d}$ et si on note

K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}

X

et

K^{*}(x)=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\{\langle t,x\rangle -K(t)\}~~~\forall x\in \mathbb {R} ^{d}

K

, alors

K^{*}

est une fonction de taux convexe. Si de plus 0 appartient à l'intérieur de l'ensemble

D_{K}=\{t\in \mathbb {R} ^{d},\,K(t)<+\infty \}

alors

K^{*}

est une bonne fonction de taux convexe.

(en) Amir Dembo et Ofer Zeitouni, Large deviations techniques and applications, vol. 38, New York, Springer-Verlag, coll. « Applications of Mathematics », 1998, 2^e éd. (ISBN 0-387-98406-2) lien Math Reviews
(en) Frank den Hollander, Large deviations, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Fields Institute Monographs 14 », 2000 (ISBN 0-8218-1989-5)
(en) Achim Klenke, Probability Theory—A Comprehensive Course, London, Springer, 2008 (ISBN 978-1-84800-047-6)