Arc tangente intégral

En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction ${\frac {\arctan t}{t}}$.

Graphe de la fonction arc tangente intégral.

Définition

La fonction arc tangente intégral est définie par :

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,\mathrm {d} t$

La fonction arc tangente ($\arctan$) est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que $-{\frac {\pi }{2}}<\arctan t<{\frac {\pi }{2}}$ pour tout nombre réel $t$.

Histoire et notations

Spence (1809) a étudié la fonction en utilisant la notation ${\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)$. La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan.

La notation $\operatorname {Ti} _{2}$ (et plus généralement $\operatorname {Ti} _{n}$, cf. « Généralisation ») est due à Lewin.

Propriétés

La fonction arc tangente intégral est impaire :

$\operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)$

Les valeurs de $\operatorname {Ti} _{2}(x)$ et $\operatorname {Ti} _{2}(1/x)$ sont reliées par l'identité :

$\operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\ln x$,

vraie pour tout $x>0$ (ou, plus généralement, pour $\operatorname {Re} (x)>0$). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité $\arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2$.

La valeur particulière $\operatorname {Ti} _{2}(1)$ donne la constante de Catalan $K=\beta (2)=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0,915966$.

Relation avec d'autres fonctions

Développement en série

La représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots$,

qui est absolument convergente pour $|x|\leq 1$.

Relation avec le dilogarithme

L'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme $\operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$, et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :

$\operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left[\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} z)-\operatorname {Li} _{2}(-\mathrm {i} z)\right]$

Ainsi :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\ \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(\mathrm {i} x)).$

Relation avec la fonction chi de Legendre

L'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre $\chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots$ par :

$\operatorname {Ti} _{2}(x)=-\mathrm {i} \,\chi _{2}(\mathrm {i} x)$

On peut remarquer que $\chi _{2}(x)$ peut s'exprimer à partir de l'intégrale $\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,\mathrm {d} t$, similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.

Relation avec la fonction zêta de Lerch

L'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch $\Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}$ :

$\operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\,\Phi (-x^{2},2,{\frac {1}{2}})$

Généralisation

De façon similaire au polylogarithme $\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$, la fonction :

$\operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots$

est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence :

$\operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t$

Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales $\operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)$, où $\beta (s)$ représente la fonction bêta de Dirichlet.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse tangent integral » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent Integral », sur MathWorld
• L. Lewin, Dilogarithms and Associated Functions, London, Macdonald, 1958 (MR 0105524, zbMATH 0083.35904)
• L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, New York, North-Holland, 1981 (ISBN 978-0-444-00550-2)