La méthode de Sotta , imaginée et mise au point par Bernard Sotta , permet de résoudre toutes les équations du troisième degré et peut se généraliser à certaines équations de degré supérieur ou égal à 4 si les coefficients de ces équations vérifient certaines conditions.
Ces équations fournissent des exemples d'équations qui, bien qu'ayant un degré supérieur ou égal à 5, ont un groupe de Galois résoluble. Nous savons en effet que les équations de degré supérieur ou égal à 5 n'ont pas forcément un groupe de Galois résoluble. Ce qui permet d'affirmer qu'il n'existe pas de méthode générale pour les résoudre. (voir Théorie de Galois ).
Dans tout cet article n est un nombre entier représentant le degré de l'équation à résoudre.
Toutes les autres lettres représentent des nombres complexes.
Par convention
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}
ème de a, il en est de même de
f
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{f}}}
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
Vérifiant les deux conditions :
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
≠
0
{\displaystyle 2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}\neq 0~}
3
(
n
−
1
)
a
n
−
1
a
n
−
3
−
2
(
n
−
2
)
a
n
−
2
2
≠
0
{\displaystyle 3(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-2(n-2)a_{n-2}^{2}\neq 0~}
Nous supposerons par la suite que ces conditions sont vérifiées sauf indications contraires.
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
[
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
]
X
2
+
2
(
n
−
1
)
[
3
n
a
n
a
n
−
3
−
(
n
−
2
)
a
n
−
1
a
n
−
2
]
X
+
6
(
n
−
1
)
a
n
−
1
a
n
−
3
−
4
(
n
−
2
)
a
n
−
2
2
=
0
{\displaystyle \qquad (n-1)(n-2)[2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}]X^{2}+2(n-1)[3na_{n}a_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X+6(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-4(n-2)a_{n-2}^{2}=0}
Nous avons alors le théorème suivant (théorème de Sotta) :
Si l'équation :
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
admet des racines sous la forme :
b
a
n
−
c
f
n
d
a
n
−
e
f
n
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{d{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}
(d et e non nul).
alors
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a et f sont alors donné par les deux relations :
a
=
e
n
a
n
−
1
+
n
c
e
n
−
1
a
n
{\displaystyle \qquad a=e^{n}a_{n-1}+nce^{n-1}a_{n}}
f
=
d
n
a
n
−
1
+
n
b
d
n
−
1
a
n
{\displaystyle \qquad f=d^{n}a_{n-1}+nbd^{n-1}a_{n}}
Les n racines de l'équation proposée seront alors :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
n
a
n
−
c
f
n
d
e
2
k
i
π
n
a
n
−
e
f
n
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}
Toutes les équations de degré 3 ayant trois racines distinctes admettent des racines sous la forme :
b
a
3
−
c
f
3
d
a
3
−
e
f
3
{\displaystyle {\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}~}
par conséquent, la méthode de Sotta permet de résoudre toutes les équations de degré 3.
Soit donc l'équation suivante :
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~}
Premier cas : Si
(
3
a
3
a
1
−
a
2
2
)
≠
0
{\displaystyle (3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})\not =0}
(
3
a
0
a
2
−
a
1
2
)
≠
0
{\displaystyle (3a_{0}a_{2}-a_{1}^{2})\not =0}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
3
a
3
a
1
−
a
2
2
)
X
2
+
(
9
a
3
a
0
−
a
2
a
1
)
X
+
3
a
2
a
0
−
a
1
2
=
0
{\displaystyle (3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})X^{2}+(9a_{3}a_{0}-a_{2}a_{1})X+3a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}=0~}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}~}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}~}
Les trois racines de l'équation à résoudre seront alors :
x
1
=
b
a
3
−
c
f
3
d
a
3
−
e
f
3
{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}
x
2
=
b
j
a
3
−
c
f
3
d
j
a
3
−
e
f
3
{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {bj{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}
x
3
=
b
j
2
a
3
−
c
f
3
d
j
2
a
3
−
e
f
3
{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {bj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}
avec :
j
=
e
2
i
π
3
{\displaystyle \qquad j=e^{\frac {2i\pi }{3}}~}
β
=
−
a
0
a
3
.
α
2
{\displaystyle \beta =-{\frac {a_{0}}{a_{3}.\alpha ^{2}}}~}
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
(
x
−
γ
)
=
0
{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0~}
Δ
=
−
3
(
α
−
β
)
2
(
α
−
γ
)
2
(
β
−
γ
)
2
{\displaystyle \Delta =-3(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\beta -\gamma )^{2}~}
Deuxième cas : Si
(
3
a
3
a
1
−
a
2
2
)
=
0
{\displaystyle (3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})=0}
On multiplie par 3a1 a2 tous les termes de l'équation :
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~}
On obtient :
3
a
1
a
2
a
3
x
3
+
3
a
1
a
2
2
x
2
+
3
a
1
2
a
2
x
+
3
a
1
a
2
a
0
=
0
{\displaystyle 3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{1}a_{2}a_{0}=0~}
Comme :
3
a
3
a
1
=
a
2
2
{\displaystyle 3a_{3}a_{1}=a_{2}^{2}~}
L'équation devient :
a
2
3
x
3
+
3
a
1
a
2
2
x
2
+
3
a
1
2
a
2
x
+
3
a
0
a
1
a
2
=
0
{\displaystyle a_{2}^{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{0}a_{1}a_{2}=0~}
Qui se met sous la forme :
(
a
2
x
+
a
1
)
3
=
a
1
3
−
3
a
0
a
1
a
2
{\displaystyle \left(a_{2}x+a_{1}\right)^{3}=a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}~}
On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :
x
1
=
1
a
2
(
a
1
3
−
3
a
0
a
1
a
2
3
−
a
1
)
{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{a_{2}}}\left({\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}
x
2
=
1
a
2
(
j
a
1
3
−
3
a
0
a
1
a
2
3
−
a
1
)
{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}
x
3
=
1
a
2
(
j
2
a
1
3
−
3
a
0
a
1
a
2
3
−
a
1
)
{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}
Troisième cas : Si
(
3
a
0
a
2
−
a
1
2
)
=
0
{\displaystyle (3a_{0}a_{2}-a_{1}^{2})=0}
On multiplie par 3a1 a2 tous les termes de l'équation :
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~}
On obtient :
3
a
1
a
2
a
3
x
3
+
3
a
1
a
2
2
x
2
+
3
a
1
2
a
2
x
+
3
a
0
a
1
a
2
=
0
{\displaystyle 3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{0}a_{1}a_{2}=0~}
Comme :
3
a
0
a
2
=
a
1
2
{\displaystyle 3a_{0}a_{2}=a_{1}^{2}~}
L'équation devient :
3
a
1
a
2
a
3
x
3
+
3
a
1
a
2
2
x
2
+
3
a
1
2
a
2
x
+
a
1
3
=
0
{\displaystyle 3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+a_{1}^{3}=0~}
Divisons maintenant chaque terme par x3 , on obtient :
3
a
1
a
2
a
3
+
3
(
a
1
x
)
a
2
2
+
3
(
a
1
x
)
2
a
2
+
(
a
1
x
)
3
=
0
{\displaystyle 3a_{1}a_{2}a_{3}+3\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)a_{2}^{2}+3\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)^{2}a_{2}+\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)^{3}=0~}
Qui se met sous la forme :
(
a
1
x
+
a
2
)
3
=
a
2
3
−
3
a
1
a
2
a
3
{\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{x}}+a_{2}\right)^{3}=a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}~}
On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :
x
1
=
a
1
a
2
3
−
3
a
1
a
2
a
3
3
−
a
2
{\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}
x
2
=
a
1
j
a
2
3
−
3
a
1
a
2
a
3
3
−
a
2
{\displaystyle x_{2}={\frac {a_{1}}{j{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}
x
3
=
a
1
j
2
a
2
3
−
3
a
1
a
2
a
3
3
−
a
2
{\displaystyle x_{3}={\frac {a_{1}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}
Les équations de degré 4 :
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
admettent des racines sous la forme :
b
a
4
−
c
f
4
d
a
4
−
e
f
4
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{d{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}}
seulement si :
27
a
4
a
1
2
−
72
a
4
a
2
a
0
+
2
a
2
3
−
9
a
3
a
2
a
1
+
27
a
3
2
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad 27a_{4}a_{1}^{2}-72a_{4}a_{2}a_{0}+2a_{2}^{3}-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^{2}a_{0}=0}
Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 4 vérifiant cette condition de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
Premier cas : Si
(
8
a
4
a
2
−
3
a
3
2
)
≠
0
{\displaystyle (8a_{4}a_{2}-3a_{3}^{2})\not =0}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
24
a
4
a
2
−
9
a
3
2
)
X
2
+
(
36
a
4
a
1
−
6
a
3
a
2
)
X
+
9
a
3
a
1
−
4
a
2
2
=
0
{\displaystyle \qquad (24a_{4}a_{2}-9a_{3}^{2})X^{2}+(36a_{4}a_{1}-6a_{3}a_{2})X+9a_{3}a_{1}-4a_{2}^{2}=0}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
4
a
3
+
4
c
e
3
a
4
{\displaystyle a=e^{4}a_{3}+4ce^{3}a_{4}~}
f
=
d
4
a
3
+
4
b
d
3
a
4
{\displaystyle f=d^{4}a_{3}+4bd^{3}a_{4}~}
Les quatre racines de l'équation à résoudre seront :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
4
a
4
−
c
f
4
d
e
2
k
i
π
4
a
4
−
e
f
4
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}}
Deuxième cas : Si
(
8
a
4
a
2
−
3
a
3
2
)
=
0
{\displaystyle (8a_{4}a_{2}-3a_{3}^{2})=0}
Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.
Les équations de degré 5 :
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
admettent des racines sous la forme :
b
a
5
−
c
f
5
d
a
5
−
e
f
5
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{d{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}}
seulement si :
10
a
5
a
2
2
−
20
a
5
a
3
a
1
+
a
3
3
−
4
a
4
a
3
a
2
+
8
a
4
2
a
1
=
0
{\displaystyle \qquad 10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=0}
8
a
4
a
1
2
−
20
a
4
a
2
a
0
+
a
2
3
−
4
a
3
a
2
a
1
+
10
a
3
2
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad 8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=0}
Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
,
{\displaystyle \qquad a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,}
Premier cas : Si
(
5
a
5
a
3
−
2
a
4
2
)
≠
0
{\displaystyle (5a_{5}a_{3}-2a_{4}^{2})\not =0}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
)
X
2
+
(
10
a
5
a
2
−
2
a
4
a
3
)
X
+
2
a
4
a
2
−
a
3
2
=
0
{\displaystyle \qquad (10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})X^{2}+(10a_{5}a_{2}-2a_{4}a_{3})X+2a_{4}a_{2}-a_{3}^{2}=0}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
5
a
4
+
5
c
e
4
a
5
{\displaystyle a=e^{5}a_{4}+5ce^{4}a_{5}~}
f
=
d
5
a
4
+
5
b
d
4
a
5
{\displaystyle f=d^{5}a_{4}+5bd^{4}a_{5}~}
Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
5
a
5
−
c
f
5
d
e
2
k
i
π
5
a
5
−
e
f
5
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}}
Deuxième cas : Si
(
5
a
5
a
3
−
2
a
4
2
)
=
0
{\displaystyle (5a_{5}a_{3}-2a_{4}^{2})=0}
Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.
Les équations de degré 6 :
a
6
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
admettent des racines sous la forme :
b
a
6
−
c
f
6
d
a
6
−
e
f
6
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{d{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}}
seulement si :
135
a
6
a
3
2
−
240
a
6
a
4
a
2
+
16
a
4
3
−
60
a
5
a
4
a
3
+
100
a
5
2
a
2
=
0
{\displaystyle \qquad 135a_{6}a_{3}^{2}-240a_{6}a_{4}a_{2}+16a_{4}^{3}-60a_{5}a_{4}a_{3}+100a_{5}^{2}a_{2}=0}
160
a
5
a
2
2
−
300
a
5
a
3
a
1
+
27
a
3
3
−
96
a
4
a
3
a
2
+
160
a
4
2
a
1
=
0
{\displaystyle \qquad 160a_{5}a_{2}^{2}-300a_{5}a_{3}a_{1}+27a_{3}^{3}-96a_{4}a_{3}a_{2}+160a_{4}^{2}a_{1}=0}
100
a
4
a
1
2
−
240
a
4
a
2
a
0
+
16
a
2
3
−
60
a
3
a
2
a
1
+
135
a
3
2
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad 100a_{4}a_{1}^{2}-240a_{4}a_{2}a_{0}+16a_{2}^{3}-60a_{3}a_{2}a_{1}+135a_{3}^{2}a_{0}=0}
Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
a
6
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
,
{\displaystyle \qquad a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,}
Premier cas : Si
(
12
a
6
a
4
−
5
a
5
2
)
≠
0
{\displaystyle (12a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2})\not =0}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
120
a
6
a
4
−
50
a
5
2
)
X
2
+
(
90
a
6
a
3
−
20
a
5
a
4
)
X
+
15
a
5
a
3
−
8
a
4
2
=
0
{\displaystyle \qquad (120a_{6}a_{4}-50a_{5}^{2})X^{2}+(90a_{6}a_{3}-20a_{5}a_{4})X+15a_{5}a_{3}-8a_{4}^{2}=0}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
6
a
5
+
6
c
e
5
a
6
{\displaystyle a=e^{6}a_{5}+6ce^{5}a_{6}~}
f
=
d
6
a
5
+
6
b
d
5
a
6
{\displaystyle f=d^{6}a_{5}+6bd^{5}a_{6}~}
Les six racines de l'équation à résoudre seront :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
6
a
6
−
c
f
6
d
e
2
k
i
π
6
a
6
−
e
f
6
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}}
Deuxième cas : Si
(
12
a
6
a
4
−
5
a
5
2
)
=
0
{\displaystyle (12a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2})=0}
Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.
Les équations de degré 7 :
a
7
x
7
+
a
6
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
admettent des racines sous la forme :
b
a
7
−
c
f
7
d
a
7
−
e
f
7
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{d{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}}
seulement si :
189
a
7
a
4
2
−
315
a
7
a
5
a
3
+
25
a
5
3
−
90
a
6
a
5
a
4
+
135
a
6
2
a
3
=
0
{\displaystyle \qquad 189a_{7}a_{4}^{2}-315a_{7}a_{5}a_{3}+25a_{5}^{3}-90a_{6}a_{5}a_{4}+135a_{6}^{2}a_{3}=0}
135
a
6
a
3
2
−
225
a
6
a
4
a
2
+
27
a
4
3
−
90
a
5
a
4
a
3
+
125
a
5
2
a
2
=
0
{\displaystyle \qquad 135a_{6}a_{3}^{2}-225a_{6}a_{4}a_{2}+27a_{4}^{3}-90a_{5}a_{4}a_{3}+125a_{5}^{2}a_{2}=0}
125
a
5
a
2
2
−
225
a
5
a
3
a
1
+
27
a
3
3
−
90
a
4
a
3
a
2
+
135
a
4
2
a
1
=
0
{\displaystyle \qquad 125a_{5}a_{2}^{2}-225a_{5}a_{3}a_{1}+27a_{3}^{3}-90a_{4}a_{3}a_{2}+135a_{4}^{2}a_{1}=0}
135
a
4
a
1
2
−
315
a
4
a
2
a
0
+
25
a
2
3
−
90
a
3
a
2
a
1
+
189
a
3
2
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad 135a_{4}a_{1}^{2}-315a_{4}a_{2}a_{0}+25a_{2}^{3}-90a_{3}a_{2}a_{1}+189a_{3}^{2}a_{0}=0}
Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
a
7
x
7
+
a
6
x
6
+
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
,
{\displaystyle \qquad a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,}
Premier cas : Si
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
≠
0
{\displaystyle 2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}\neq 0~}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
105
a
7
a
5
−
45
a
6
2
)
X
2
+
(
63
a
7
a
4
−
15
a
6
a
5
)
X
+
9
a
6
a
4
−
5
a
5
2
=
0
{\displaystyle \qquad (105a_{7}a_{5}-45a_{6}^{2})X^{2}+(63a_{7}a_{4}-15a_{6}a_{5})X+9a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2}=0}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
7
a
6
+
7
c
e
6
a
7
{\displaystyle a=e^{7}a_{6}+7ce^{6}a_{7}~}
f
=
d
7
a
6
+
7
b
d
6
a
7
{\displaystyle f=d^{7}a_{6}+7bd^{6}a_{7}~}
Les sept racines de l'équation à résoudre seront :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
7
a
7
−
c
f
7
d
e
2
k
i
π
7
a
7
−
e
f
7
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}}
Deuxième cas : Si
(
7
a
7
a
5
−
3
a
6
2
)
=
0
{\displaystyle (7a_{7}a_{5}-3a_{6}^{2})=0}
Compléments en fin d'article.
Les équations de degré n :
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0~}
admettent des racines sous la forme :
b
a
n
−
c
f
n
d
a
n
−
e
f
n
{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{d{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}
seulement si :
∀
i
∈
{
0
,
1
,
⋯
,
n
−
4
}
{\displaystyle \forall i\in \{0,1,\cdots ,n-4\}~}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle .\qquad (i+4)!(i+1)!(i+1)!(n-i-4)!(n-i-1)!a_{i+4}a_{i+1}^2 \cdots ~}
.
⋯
−
i
!
(
i
+
2
)
!
(
i
+
4
)
!
(
n
−
i
)
!
(
n
−
i
−
2
)
!
(
n
−
i
−
4
)
!
a
i
a
i
+
2
a
i
+
4
⋯
{\displaystyle .\qquad \qquad \qquad \cdots -i!(i+2)!(i+4)!(n-i)!(n-i-2)!(n-i-4)!a_{i}a_{i+2}a_{i+4}\cdots ~}
.
⋯
+
(
i
+
2
)
!
(
i
+
2
)
!
(
i
+
2
)
!
(
n
−
i
−
2
)
!
(
n
−
i
−
2
)
!
(
n
−
i
−
2
)
!
a
i
+
2
3
⋯
{\displaystyle .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots +(i+2)!(i+2)!(i+2)!(n-i-2)!(n-i-2)!(n-i-2)!a_{i+2}^{3}\cdots ~}
.
⋯
−
2
(
i
+
1
)
!
(
i
+
2
)
!
(
i
+
3
)
!
(
n
−
i
−
1
)
!
(
n
−
i
−
2
)
!
(
n
−
i
−
3
)
!
a
i
+
1
a
i
+
2
a
i
+
3
⋯
{\displaystyle .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots -2(i+1)!(i+2)!(i+3)!(n-i-1)!(n-i-2)!(n-i-3)!a_{i+1}a_{i+2}a_{i+3}\cdots ~}
.
⋯
+
i
!
(
i
+
3
)
!
(
i
+
3
)
!
(
n
−
i
)
!
(
n
−
i
−
3
)
!
(
n
−
i
−
3
)
!
a
i
a
i
+
3
2
=
0
{\displaystyle .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots +i!(i+3)!(i+3)!(n-i)!(n-i-3)!(n-i-3)!a_{i}a_{i+3}^{2}=0~}
Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré n vérifiant cette condition de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0~}
Premier cas : Si
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
≠
0
{\displaystyle 2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}\neq 0~}
La résolvante de Sotta associée sera :
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
[
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
]
X
2
+
2
(
n
−
1
)
[
3
n
a
n
a
n
−
3
−
(
n
−
2
)
a
n
−
1
a
n
−
2
]
X
+
6
(
n
−
1
)
a
n
−
1
a
n
−
3
−
4
(
n
−
2
)
a
n
−
2
2
=
0
{\displaystyle \qquad (n-1)(n-2)[2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}]X^{2}+2(n-1)[3na_{n}a_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X+6(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-4(n-2)a_{n-2}^{2}=0}
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que
b
d
{\displaystyle {\frac {b}{d}}}
c
e
{\displaystyle {\frac {c}{e}}}
a
=
e
n
a
n
−
1
+
n
c
e
n
−
1
a
n
{\displaystyle \qquad a=e^{n}a_{n-1}+nce^{n-1}a_{n}}
f
=
d
n
a
n
−
1
+
n
b
d
n
−
1
a
n
{\displaystyle \qquad f=d^{n}a_{n-1}+nbd^{n-1}a_{n}}
Les n racines de l'équation à résoudre seront :
x
k
=
b
e
2
k
i
π
n
a
n
−
c
f
n
d
e
2
k
i
π
n
a
n
−
e
f
n
{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}
Deuxième cas : Si
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
=
0
{\displaystyle 2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}=0~}
Voir le paragraphe Compléments ci-après.
Ce paragraphe examine plus en détail, pour n > 3, le cas où la résolvante n'est pas du second degré. C'est-à-dire si :
2
n
a
n
a
n
−
2
−
(
n
−
1
)
a
n
−
1
2
=
0
{\displaystyle 2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}=0~}
En fait cette condition entraine que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.
Démonstration
Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
=
0
{\displaystyle 10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~}
10
a
5
a
2
2
−
20
a
5
a
3
a
1
+
a
3
3
−
4
a
4
a
3
a
2
+
8
a
4
2
a
1
=
0
{\displaystyle 10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=0~}
(
a
3
2
10
a
5
−
2
a
1
)
(
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
)
+
10
a
5
(
a
2
−
a
4
a
3
5
a
5
)
2
=
0
{\displaystyle ({\frac {a_{3}^{2}}{10a_{5}}}-2a_{1})(10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})+10a_{5}(a_{2}-{\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}})^{2}=0~}
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
=
0
{\displaystyle 10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~}
a
2
=
a
4
a
3
5
a
5
{\displaystyle a_{2}={\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}}~}
10
a
5
a
2
−
2
a
4
a
3
=
0
{\displaystyle 10a_{5}a_{2}-2a_{4}a_{3}=0~}
2
a
4
a
2
−
a
3
2
=
2
a
4
a
4
a
3
5
a
5
−
a
3
2
=
2
a
4
2
a
3
−
5
a
5
a
3
2
5
a
5
=
−
a
3
10
a
5
(
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
)
=
0
{\displaystyle 2a_{4}a_{2}-a_{3}^{2}=2a_{4}{\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}}-a_{3}^{2}={\frac {2a_{4}^{2}a_{3}-5a_{5}a_{3}^{2}}{5a_{5}}}={\frac {-a_{3}}{10a_{5}}}(10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})=0}
Nous avons bien démontrer que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.
Nous avons alors deux possibilités.
Premier cas : Tous les coefficients de l'équation à résoudre ne sont pas nuls.
Alors l'équation à résoudre se met sous la forme :
(
a
x
+
b
)
n
=
c
{\displaystyle (ax+b)^{n}=c~}
Démonstration
Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.
a
5
x
5
+
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
1
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0~}
Vérifiant ses deux conditions de résolubilités et dont tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.
Posons :
a
3
=
t
{\displaystyle a_{3}=t~}
a
4
=
s
{\displaystyle a_{4}=s~}
Avec s et t non nuls puisque tous les coefficients de l'équation à résoudre sont non nuls.
La condition :
10
a
5
a
3
−
4
a
4
2
=
0
{\displaystyle 10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~}
entraine :
a
5
=
2
a
4
2
5
a
3
=
2
s
2
5
t
{\displaystyle a_{5}={\frac {2a_{4}^{2}}{5a_{3}}}={\frac {2s^{2}}{5t}}~}
2
a
4
a
2
−
a
3
2
=
0
{\displaystyle 2a_{4}a_{2}-a_{3}^{2}=0~}
entraine :
a
2
=
a
3
2
2
a
4
=
t
2
2
s
{\displaystyle a_{2}={\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}}}={\frac {t^{2}}{2s}}~}
8
a
4
a
1
2
−
20
a
4
a
2
a
0
+
a
2
3
−
4
a
3
a
2
a
1
+
10
a
3
2
a
0
=
0
{\displaystyle 8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=0~}
S'écrit en remplaçant ce qui est connue :
8
s
a
1
2
−
20
s
t
2
2
s
a
0
+
(
t
2
2
s
)
3
−
4
t
t
2
2
s
a
1
+
10
t
2
a
0
=
0
{\displaystyle 8sa_{1}^{2}-20s{\frac {t^{2}}{2s}}a_{0}+({\frac {t^{2}}{2s}})^{3}-4t{\frac {t^{2}}{2s}}a_{1}+10t^{2}a_{0}=0~}
Qui se simplifie sous la forme :
8
s
a
1
2
−
2
t
3
s
a
1
+
t
6
8
s
3
=
0
{\displaystyle 8sa_{1}^{2}-2{\frac {t^{3}}{s}}a_{1}+{\frac {t^{6}}{8s^{3}}}=0~}
En multipliant par 8s3 , on obtient :
64
s
4
a
1
2
−
16
s
2
t
3
a
1
+
t
6
=
0
{\displaystyle 64s^{4}a_{1}^{2}-16s^{2}t^{3}a_{1}+t^{6}=0~}
(
8
s
2
a
1
−
t
3
)
2
=
0
{\displaystyle (8s^{2}a_{1}-t^{3})^{2}=0~}
a
1
=
t
3
8
s
2
{\displaystyle a_{1}={\frac {t^{3}}{8s^{2}}}~}
2
s
2
5
t
x
5
+
s
x
4
+
t
x
3
+
t
2
2
s
x
2
+
t
3
8
s
2
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle {\frac {2s^{2}}{5t}}x^{5}+sx^{4}+tx^{3}+{\frac {t^{2}}{2s}}x^{2}+{\frac {t^{3}}{8s^{2}}}x+a_{0}=0~}
En multipliant tous les termes par :
5.2
4
.
s
3
t
{\displaystyle 5.2^{4}.s^{3}t~}
On obtient :
2
5
s
5
x
5
+
5.2
4
s
4
t
x
4
+
10.2
3
.
s
3
t
2
x
3
+
10.2
2
s
2
t
3
x
2
+
5.2
s
t
4
x
+
5.2
4
s
3
t
a
0
=
0
{\displaystyle 2^{5}s^{5}x^{5}+5.2^{4}s^{4}tx^{4}+10.2^{3}.s^{3}t^{2}x^{3}+10.2^{2}s^{2}t^{3}x^{2}+5.2st^{4}x+5.2^{4}s^{3}ta_{0}=0~}
Qui peut s'écrire sous la forme :
(
2
s
x
+
t
)
5
=
t
5
−
5.2
4
s
3
t
a
0
{\displaystyle (2sx+t)^{5}=t^{5}-5.2^{4}s^{3}ta_{0}~}
a
=
2
s
{\displaystyle a=2s~}
b
=
t
{\displaystyle b=t~}
c
=
t
5
−
5.2
4
.
s
3
t
a
0
{\displaystyle c=t^{5}-5.2^{4}.s^{3}ta_{0}~}
Nous voyons que l'équation à résoudre se met bien sous la forme :
(
a
x
+
b
)
n
=
c
{\displaystyle (ax+b)^{n}=c~}
Et l'on en déduit les n racines :
x
k
=
1
a
(
e
2
k
i
π
n
c
n
−
b
)
{\displaystyle x_{k}={\frac {1}{a}}\left(e^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{c}}-b\right)~}
Avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1
Deuxième cas : Certains coefficients de l'équation à résoudre sont nuls.
La méthode ne permet pas, en général, d'aboutir.
L'équation peut même être non résoluble par radicaux comme c'est le cas des équations du type :
a
x
5
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{5}+bx+c=0~}
Dont on démontre qu'elles ne sont pas en général résolubles par radicaux pour b différent de 0.
Nous avons stipulé en début d'article que l'équation à résoudre devait vérifier la condition :
3
(
n
−
1
)
a
n
−
1
a
n
−
3
−
2
(
n
−
2
)
a
n
−
2
2
≠
0
{\displaystyle 3(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-2(n-2)a_{n-2}^{2}\neq 0~}
Si cette condition n'est pas vérifier alors que le coefficient de degrés deux n'est pas nul, l'équation résolvante admet une racine nulle et dans ce cas la méthode ne peut pas, en général, aboutir.
Il y a toutefois une exception si l'équation à résoudre vérifie de plus la condition :
(
n
−
1
)
a
1
2
−
2
n
a
0
a
2
=
0
{\displaystyle (n-1)a_{1}^{2}-2na_{0}a_{2}=0~}
Soit
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
Une équation à résoudre satisfaisant les conditions de résolubilité et dont l'équation résolvante admet une racine double α.
α est alors racine multiple d'ordre n-1 de l'équation à résoudre et la racine simple β manquante est obtenue par la relation :
β
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
α
n
−
1
{\displaystyle \beta =(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}.\alpha ^{n-1}}}}
Plus précisément, l'équation à résoudre peut alors s'écrire :
(
X
−
α
)
n
−
1
(
a
n
X
−
(
−
1
)
n
a
0
α
n
−
1
)
=
0
{\displaystyle (X-\alpha )^{n-1}(a_{n}X-(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{\alpha ^{n-1}}})=0~}
Remarque : Les racines α et β ne sont pas égales sinon tous les coefficients de l'équation résolvante seraient nul.
Exemples
Les deux premiers exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif (Exemples 3 et 4), ou est un nombre complexe quelconque.
Exemple 1
Soit à résoudre l'équation :
6
x
3
−
6
x
2
+
12
x
+
7
=
0
{\displaystyle \qquad 6x^{3}-6x^{2}+12x+7=0}
La résolvante de Sotta est :
2
X
2
+
5
X
−
3
=
0
{\displaystyle \qquad 2X^{2}+5X-3=0}
qui a pour racine :
b
d
=
1
2
e
t
c
e
=
−
3
{\displaystyle \qquad {\frac {b}{d}}={\frac {1}{2}}et{\frac {c}{e}}=-3}
On peut choisir :
b
=
1
,
c
=
−
3
,
d
=
2
,
e
=
1
{\displaystyle \qquad b=1,c=-3,d=2,e=1}
d'où :
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
−
60
{\displaystyle \qquad a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-60}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
24
{\displaystyle \qquad f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=24}
En posant :
j
=
e
2
i
π
3
{\displaystyle \qquad j=e^{\frac {2i\pi }{3}}}
On obtient les trois racines suivantes :
x
1
=
−
60
3
−
(
−
3
)
24
3
2
−
60
3
−
24
3
=
5
3
−
3
2
3
2
5
3
+
2
3
{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}
x
2
=
j
−
60
3
−
(
−
3
)
24
3
2
j
−
60
3
−
24
3
=
j
5
3
−
3
2
3
2
j
5
3
+
2
3
{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {j{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}
x
3
=
j
2
−
60
3
−
(
−
3
)
24
3
2
j
2
−
60
3
−
24
3
=
j
2
5
3
−
3
2
3
2
j
2
5
3
+
2
3
{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}
Exemple 2
Soit à résoudre l'équation :
14
x
5
−
36
x
4
+
32
x
3
−
24
x
2
−
2
x
−
3
=
0
{\displaystyle \qquad 14x^{5}-36x^{4}+32x^{3}-24x^{2}-2x-3=0}
On a alors :
a
5
=
14
{\displaystyle \qquad a_{5}=14}
a
4
=
−
36
{\displaystyle \qquad a_{4}=-36}
a
3
=
32
{\displaystyle \qquad a_{3}=32}
a
2
=
−
24
{\displaystyle \qquad a_{2}=-24}
a
1
=
−
2
{\displaystyle \qquad a_{1}=-2}
a
0
=
−
3
{\displaystyle \qquad a_{0}=-3}
Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.
10
a
5
a
2
2
−
20
a
5
a
3
a
1
+
a
3
3
−
4
a
4
a
3
a
2
+
8
a
4
2
a
1
=
10
∗
14
∗
24
2
+
20
∗
14
∗
32
∗
2
+
32
3
−
4
∗
36
∗
32
∗
24
−
8
∗
36
2
∗
2
=
0
{\displaystyle \qquad 10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=10*14*24^{2}+20*14*32*2+32^{3}-4*36*32*24-8*36^{2}*2=0}
8
a
4
a
1
2
−
20
a
4
a
2
a
0
+
a
2
3
−
4
a
3
a
2
a
1
+
10
a
3
2
a
0
=
−
8
∗
36
∗
2
2
+
20
∗
36
∗
24
∗
3
−
24
3
−
4
∗
32
∗
24
∗
2
−
10
∗
32
2
∗
3
=
0
{\displaystyle \qquad 8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=-8*36*2^{2}+20*36*24*3-24^{3}-4*32*24*2-10*32^{2}*3=0}
La résolvante de Sotta est :
2
X
2
+
3
X
−
2
=
0
{\displaystyle \qquad 2X^{2}+3X-2=0}
qui a pour racine :
b
d
=
1
2
e
t
c
e
=
−
2
{\displaystyle \qquad {\frac {b}{d}}={\frac {1}{2}}et{\frac {c}{e}}=-2}
On peut choisir :
b
=
1
,
c
=
2
,
d
=
2
,
e
=
−
1
{\displaystyle \qquad b=1,c=2,d=2,e=-1}
d'où :
a
=
e
5
a
4
+
5
c
e
4
a
5
=
176
{\displaystyle \qquad a=e^{5}a_{4}+5ce^{4}a_{5}=176}
f
=
d
5
a
4
+
5
b
d
4
a
5
=
−
32
{\displaystyle \qquad f=d^{5}a_{4}+5bd^{4}a_{5}=-32}
L'une des racines de l'équation sera :
x
1
=
176
5
−
2
−
32
5
2
176
5
−
(
−
1
)
−
32
5
=
11
5
+
2
2
5
2
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{176}}-2{\sqrt[{5}]{-32}}}{2{\sqrt[{5}]{176}}-(-1){\sqrt[{5}]{-32}}}}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
On obtient alors les cinq racines suivantes :
x
1
=
11
5
+
2
2
5
2
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
x
2
=
e
2
i
π
5
11
5
+
2
2
5
2
e
2
i
π
5
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
x
3
=
e
4
i
π
5
11
5
+
2
2
5
2
e
4
i
π
5
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
x
4
=
e
6
i
π
5
11
5
+
2
2
5
2
e
6
i
π
5
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{4}={\frac {e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
x
5
=
e
8
i
π
5
11
5
+
2
2
5
2
e
8
i
π
5
11
5
−
2
5
{\displaystyle \qquad x_{5}={\frac {e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}
Exemple 3
Soit à résoudre l'équation :
x
3
−
3
(
k
+
1
)
x
2
+
(
3
k
2
+
6
k
+
2
)
x
−
k
(
k
2
+
3
k
+
2
)
=
0
{\displaystyle x^{3}-3(k+1)x^{2}+(3k^{2}+6k+2)x-k(k^{2}+3k+2)=0~}
Donc les coefficients dépendent d'un paramètre k.
La résolvante de Sotta est :
3
X
2
−
6
(
k
+
1
)
X
+
3
k
2
+
6
k
+
4
=
0
{\displaystyle 3X^{2}-6(k+1)X+3k^{2}+6k+4=0~}
Donc le discriminant est :
Δ
=
−
12
=
(
2
i
3
)
2
{\displaystyle \Delta =-12=(2i{\sqrt {3}})^{2}~}
et qui a donc pour racine :
b
d
=
3
k
+
3
+
i
3
3
e
t
c
e
=
3
k
+
3
−
i
3
3
{\displaystyle \qquad {\frac {b}{d}}={\frac {3k+3+i{\sqrt {3}}}{3}}et{\frac {c}{e}}={\frac {3k+3-i{\sqrt {3}}}{3}}}
On peut choisir :
b
=
3
k
+
3
+
i
3
,
c
=
−
3
k
−
3
+
i
3
,
d
=
3
,
e
=
−
3
{\displaystyle b=3k+3+i{\sqrt {3}},c=-3k-3+i{\sqrt {3}},d=3,e=-3~}
d'où :
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
27
i
3
{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=27i{\sqrt {3}}~}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
27
i
3
{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=27i{\sqrt {3}}~}
En posant :
j
=
e
2
i
π
3
{\displaystyle j=e^{\frac {2i\pi }{3}}~}
On obtient les trois racines suivantes :
{
x
1
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
27
i
3
3
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
27
i
3
3
3
27
i
3
3
+
3
27
i
3
3
x
2
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
j
27
i
3
3
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
27
i
3
3
3
j
27
i
3
3
+
3
27
i
3
3
x
3
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
j
2
27
i
3
3
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
27
i
3
3
3
j
2
27
i
3
3
+
3
27
i
3
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\\x_{2}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})j{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3j{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\\x_{3}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})j^{2}{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3j^{2}{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\end{matrix}}\right.}
En simplifiant le numérateur et le dénominateur de chaques fractions par :
27
i
3
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}~}
Et en remarquant que :
j
=
−
1
2
+
3
2
i
{\displaystyle j=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i~}
j
2
=
−
1
2
−
3
2
i
{\displaystyle j^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i~}
On obtient :
{
x
1
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
3
+
3
x
2
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
(
−
1
2
+
3
2
i
)
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
3
(
−
1
2
+
3
2
i
)
+
3
x
3
=
(
3
k
+
3
+
i
3
)
(
−
1
2
−
3
2
i
)
−
(
−
3
k
−
3
+
i
3
)
3
(
−
1
2
−
3
2
i
)
+
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})-(-3k-3+i{\sqrt {3}})}{3+3}}\\x_{2}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i)-(-3k-3+i{\sqrt {3}})}{3(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i)+3}}\\x_{3}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i)-(-3k-3+i{\sqrt {3}})}{3(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i)+3}}\end{matrix}}\right.}
En développant et en multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaques fractions par 2, on obtient :
{
x
1
=
6
k
+
6
6
x
2
=
3
k
+
3
k
i
3
3
+
3
i
3
x
3
=
3
k
+
6
−
6
i
3
−
3
k
i
3
3
−
3
k
i
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {6k+6}{6}}\\x_{2}={\frac {3k+3ki{\sqrt {3}}}{3+3i{\sqrt {3}}}}\\x_{3}={\frac {3k+6-6i{\sqrt {3}}-3ki{\sqrt {3}}}{3-3ki{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.}
En multipliant éventuellement le numérateur et le dénominateur de chaques fractions par l'expression conjuguée du dénominateur correspondant, on obtient finalement :
{
x
1
=
k
+
1
x
2
=
k
x
3
=
k
+
2
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}=k+1\\x_{2}=k\\x_{3}=k+2\end{matrix}}\right.}
Exemple 4
Soit à résoudre l'équation :
x
3
−
3
x
2
3
−
3
x
+
3
=
0
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}{\sqrt {3}}-3x+{\sqrt {3}}=0~}
La résolvante de Sotta est :
X
2
+
1
=
0
{\displaystyle \qquad X^{2}+1=0}
qui a pour racine :
b
d
=
i
e
t
c
e
=
−
i
{\displaystyle \qquad {\frac {b}{d}}=iet{\frac {c}{e}}=-i}
On peut choisir :
b
=
i
,
c
=
−
i
,
d
=
1
,
e
=
1
{\displaystyle \qquad b=i,c=-i,d=1,e=1}
d'où :
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
−
3
3
−
3
i
{\displaystyle \qquad a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-3{\sqrt {3}}-3i}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
−
3
3
+
3
i
{\displaystyle \qquad f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=-3{\sqrt {3}}+3i}
En posant :
j
=
e
2
i
π
3
{\displaystyle \qquad j=e^{\frac {2i\pi }{3}}}
On obtient les trois racines suivantes :
{
x
1
=
i
−
3
3
−
3
i
3
−
(
−
i
)
−
3
3
+
3
i
3
−
3
3
−
3
i
3
−
−
3
3
+
3
i
3
x
2
=
i
j
−
3
3
−
3
i
3
−
(
−
i
)
−
3
3
+
3
i
3
j
−
3
3
−
3
i
3
−
−
3
3
+
3
i
3
x
3
=
i
j
2
−
3
3
−
3
i
3
−
(
−
i
)
−
3
3
+
3
i
3
j
2
−
3
3
−
3
i
3
−
−
3
3
+
3
i
3
⟹
{
x
1
=
i
3
2
+
1
2
i
3
+
i
3
2
−
1
2
i
3
3
2
+
1
2
i
3
−
3
2
−
1
2
i
3
x
2
=
i
j
3
2
+
1
2
i
3
+
i
3
2
−
1
2
i
3
j
3
2
+
1
2
i
3
−
3
2
−
1
2
i
3
x
3
=
i
j
2
3
2
+
1
2
i
3
+
i
3
2
−
1
2
i
3
j
2
3
2
+
1
2
i
3
−
3
2
−
1
2
i
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\\x_{2}={\frac {ij{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{j{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\\x_{3}={\frac {ij^{2}{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\\x_{2}={\frac {ij{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{j{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\\x_{3}={\frac {ij^{2}{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\end{matrix}}\right.~}
Comme :
3
2
+
1
2
i
=
c
o
s
(
π
6
)
+
i
.
s
i
n
(
π
6
)
=
e
i
π
6
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i=cos({\frac {\pi }{6}})+i.sin({\frac {\pi }{6}})=e^{\frac {i\pi }{6}}~}
3
2
−
1
2
i
=
c
o
s
(
−
π
6
)
+
i
.
s
i
n
(
−
π
6
)
=
e
−
i
π
6
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i=cos(-{\frac {\pi }{6}})+i.sin(-{\frac {\pi }{6}})=e^{-{\frac {i\pi }{6}}}~}
j
=
e
2
i
π
3
{\displaystyle j=e^{\frac {2i\pi }{3}}~}
j
2
=
e
−
2
i
π
3
{\displaystyle j^{2}=e^{\frac {-2i\pi }{3}}~}
On obtient :
{
x
1
=
i
e
i
π
6
3
+
i
e
−
i
π
6
3
e
i
π
6
3
−
e
−
i
π
6
3
x
2
=
i
.
e
2
i
π
3
e
i
π
6
3
+
i
e
−
i
π
6
3
e
2
i
π
3
e
i
π
6
3
−
e
−
i
π
6
3
x
3
=
i
.
e
−
2
i
π
3
e
i
π
6
3
+
i
e
−
i
π
6
3
e
−
2
i
π
3
e
i
π
6
3
−
e
−
i
π
6
3
⟹
{
x
1
=
i
e
i
π
18
+
i
e
−
i
π
18
e
i
π
18
−
e
−
i
π
18
x
2
=
i
.
e
13
i
π
18
+
i
e
−
i
π
18
e
13
i
π
18
−
e
−
i
π
18
x
3
=
i
e
−
11
i
π
18
+
i
e
−
i
π
18
e
−
11
i
π
18
−
e
−
i
π
18
⟹
{
x
1
=
i
(
e
i
π
18
+
e
−
i
π
18
)
e
i
π
18
−
e
−
i
π
18
x
2
=
i
(
e
13
i
π
18
+
e
−
i
π
18
)
e
−
6
i
π
18
(
e
13
i
π
18
−
e
−
i
π
18
)
e
−
6
i
π
18
x
3
=
i
(
e
−
11
i
π
18
+
e
−
i
π
18
)
e
6
i
π
18
(
e
−
11
i
π
18
−
e
−
i
π
18
)
e
6
i
π
18
⟹
{
x
1
=
i
(
e
i
π
18
+
e
−
i
π
18
)
e
i
π
18
−
e
−
i
π
18
x
2
=
i
(
e
7
i
π
18
+
e
−
7
i
π
18
)
e
7
i
π
18
−
e
−
7
i
π
18
x
3
=
i
(
e
−
5
i
π
18
+
e
5
i
π
18
)
e
−
5
i
π
18
−
e
5
i
π
18
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\\x_{2}={\frac {i.e^{\frac {2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{e^{\frac {2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\\x_{3}={\frac {i.e^{\frac {-2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{e^{\frac {-2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {ie^{\frac {i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i.e^{\frac {13i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {13i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{3}={\frac {ie^{\frac {-11i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {-11i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i(e^{\frac {i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i(e^{\frac {13i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {-6i\pi }{18}}}{(e^{\frac {13i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {-6i\pi }{18}}}}\\x_{3}={\frac {i(e^{\frac {-11i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {6i\pi }{18}}}{(e^{\frac {-11i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {6i\pi }{18}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i(e^{\frac {i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i(e^{\frac {7i\pi }{18}}+e^{\frac {-7i\pi }{18}})}{e^{\frac {7i\pi }{18}}-e^{\frac {-7i\pi }{18}}}}\\x_{3}={\frac {i(e^{\frac {-5i\pi }{18}}+e^{\frac {5i\pi }{18}})}{e^{\frac {-5i\pi }{18}}-e^{\frac {5i\pi }{18}}}}\end{matrix}}\right.~}
Compte tenue des formules d'Euler :
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}~}
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}~}
On obtient :
{
x
1
=
i
.2
c
o
s
(
π
18
)
2
i
s
i
n
(
π
18
)
x
2
=
i
.2
c
o
s
(
7
π
18
)
2
i
s
i
n
(
7
π
18
)
x
3
=
i
.2
c
o
s
(
5
π
18
)
−
2
i
s
i
n
(
5
π
18
)
⟹
{
x
1
=
s
i
n
(
π
2
−
π
18
)
c
o
s
(
π
2
−
π
18
)
x
2
=
s
i
n
(
π
2
−
7
π
18
)
c
o
s
(
π
2
−
7
π
18
)
x
3
=
s
i
n
(
π
2
+
5
π
18
)
c
o
s
(
π
2
+
5
π
18
)
⟹
{
x
1
=
s
i
n
(
4
π
9
)
c
o
s
(
4
π
9
)
x
2
=
s
i
n
(
π
9
)
c
o
s
(
π
9
)
x
3
=
s
i
n
(
7
π
9
)
c
o
s
(
7
π
9
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i.2cos({\frac {\pi }{18}})}{2isin({\frac {\pi }{18}})}}\\x_{2}={\frac {i.2cos({\frac {7\pi }{18}})}{2isin({\frac {7\pi }{18}})}}\\x_{3}={\frac {i.2cos({\frac {5\pi }{18}})}{-2isin({\frac {5\pi }{18}})}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {sin({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{18}})}{cos({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{18}})}}\\x_{2}={\frac {sin({\frac {\pi }{2}}-{\frac {7\pi }{18}})}{cos({\frac {\pi }{2}}-{\frac {7\pi }{18}})}}\\x_{3}={\frac {sin({\frac {\pi }{2}}+{\frac {5\pi }{18}})}{cos({\frac {\pi }{2}}+{\frac {5\pi }{18}})}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {sin({\frac {4\pi }{9}})}{cos({\frac {4\pi }{9}})}}\\x_{2}={\frac {sin({\frac {\pi }{9}})}{cos({\frac {\pi }{9}})}}\\x_{3}={\frac {sin({\frac {7\pi }{9}})}{cos({\frac {7\pi }{9}})}}\end{matrix}}\right.~}
On obtient donc finalement :
{
x
1
=
t
a
n
(
4
π
9
)
x
2
=
t
a
n
(
π
9
)
x
3
=
t
a
n
(
7
π
9
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}=tan({\frac {4\pi }{9}})\\x_{2}=tan({\frac {\pi }{9}})\\x_{3}=tan({\frac {7\pi }{9}})\end{matrix}}\right.~}
Soit à résoudre l'équation :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
x
=
h
.
z
+
p
k
.
z
+
q
{\displaystyle x={\frac {h.z+p}{k.z+q}}~}
On obtient alors une nouvelle équation du troisième degré en z dont les coéfficient dépendent des paramétre h, p, k, q. On se propose alors de déterminer les paramètres de façon à obtenir par exemle :
- soit une simplification par les racines cubiques comme dans l'exemple 3.
- soit une apparition de fonctions trigonométriques comme dans l'exemple 4.
Exemple 5
Soit à résoudre l'équation :
x
3
−
3
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-3x-1=0~}
x
=
h
.
z
+
p
k
.
z
+
q
{\displaystyle x={\frac {h.z+p}{k.z+q}}~}
avec :
h
.
q
−
k
.
p
≠
0
{\displaystyle h.q-k.p\neq 0~}
a
3
.
z
3
+
a
2
.
z
5
+
a
1
.
z
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{3}.z^{3}+a_{2}.z^{5}+a_{1}.z+a_{0}=0~}
avec :
a
3
=
h
3
−
3
h
.
k
2
−
k
3
{\displaystyle a_{3}=h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}~}
a
2
=
3
(
h
2
.
p
−
2
h
.
k
.
q
−
k
2
.
p
−
k
2
.
q
)
{\displaystyle a_{2}=3(h^{2}.p-2h.k.q-k^{2}.p-k^{2}.q)~}
a
1
=
3
(
h
.
p
2
−
h
.
q
2
−
2
k
.
p
.
q
−
k
.
q
2
)
{\displaystyle a_{1}=3(h.p^{2}-h.q^{2}-2k.p.q-k.q^{2})~}
a
0
=
p
3
−
3
p
.
q
2
−
q
3
{\displaystyle a_{0}=p^{3}-3p.q^{2}-q^{3}~}
Les paramétres h,p,k,q seront déterminées ultérieurement de façon à ce qu'apparaissent des fonctions trigonométriques comme dans l'exemple 4.
−
9
(
h
.
q
−
k
.
p
)
2
.
[
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
Z
2
+
(
2
h
.
p
+
h
.
q
+
k
.
p
+
2
k
.
q
)
Z
+
p
2
+
p
.
q
+
q
2
]
=
0
{\displaystyle -9(h.q-k.p)^{2}.[(h^{2}+h.k+k^{2})Z^{2}+(2h.p+h.q+k.p+2k.q)Z+p^{2}+p.q+q^{2}]=0~}
Quel que soit l'équation de départ à résoudre, on peut toujours mettre l'expression (h.p-k.q)2 en facteur. Celle-ci n'étant pas nulle, on peut alors la simplifier et on obtient la résolvante paramétrique de Sotta :
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
Z
2
+
(
2
h
.
p
+
h
.
q
+
k
.
p
+
2
k
.
q
)
Z
+
p
2
+
p
.
q
+
q
2
=
0
{\displaystyle (h^{2}+h.k+k^{2})Z^{2}+(2h.p+h.q+k.p+2k.q)Z+p^{2}+p.q+q^{2}=0~}
Donc le discriminant est ici :
Δ
=
−
3
(
h
.
q
−
k
.
p
)
2
=
[
i
.
3
(
h
.
p
−
k
.
q
)
]
2
{\displaystyle \Delta =-3(h.q-k.p)^{2}=[i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)]^{2}~}
Les racines de la résolvante paramétrique sont alors :
b
d
=
−
2
h
.
p
−
h
.
q
−
k
.
p
−
2
k
.
q
+
i
.
3
(
h
.
p
−
k
.
q
)
2
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
e
t
c
e
=
−
2
h
.
p
−
h
.
q
−
k
.
p
−
2
k
.
q
−
i
.
3
(
h
.
p
−
k
.
q
)
2
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
{\displaystyle \qquad {\frac {b}{d}}={\frac {-2h.p-h.q-k.p-2k.q+i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)}{2(h^{2}+h.k+k^{2})}}\quad et\quad {\frac {c}{e}}={\frac {-2h.p-h.q-k.p-2k.q-i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)}{2(h^{2}+h.k+k^{2})}}}
On peut choisir :
b
=
−
2
h
.
p
−
h
.
q
−
k
.
p
−
2
k
.
q
+
i
.
3
(
h
.
p
−
k
.
q
)
{\displaystyle b=-2h.p-h.q-k.p-2k.q+i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)~}
c
=
−
2
h
.
p
−
h
.
q
−
k
.
p
−
2
k
.
q
−
i
.
3
(
h
.
p
−
k
.
q
)
{\displaystyle c=-2h.p-h.q-k.p-2k.q-i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)~}
d
=
2
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
{\displaystyle d=2(h^{2}+h.k+k^{2})~}
e
=
2
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
{\displaystyle e=2(h^{2}+h.k+k^{2})~}
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
−
12
(
h
.
p
−
k
.
q
)
.
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
2
.
[
h
3
+
6
h
2
.
k
+
3
h
.
k
2
−
k
3
+
i
.
(
h
3
−
3
h
.
k
2
−
k
3
)
.
3
]
{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-12(h.p-k.q).(h^{2}+h.k+k^{2})^{2}.[h^{3}+6h^{2}.k+3h.k^{2}-k^{3}+i.(h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}).{\sqrt {3}}]~}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
−
12
(
h
.
p
−
k
.
q
)
.
(
h
2
+
h
.
k
+
k
2
)
2
.
[
h
3
+
6
h
2
.
k
+
3
h
.
k
2
−
k
3
−
i
.
(
h
3
−
3
h
.
k
2
−
k
3
)
.
3
]
{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=-12(h.p-k.q).(h^{2}+h.k+k^{2})^{2}.[h^{3}+6h^{2}.k+3h.k^{2}-k^{3}-i.(h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}).{\sqrt {3}}]~}
1
+
i
3
{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}
1
−
i
3
{\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}}
h
3
+
6
h
2
.
k
+
3
h
.
k
2
−
k
3
=
h
3
−
3
h
.
k
2
−
k
3
{\displaystyle h^{3}+6h^{2}.k+3h.k^{2}-k^{3}=h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}~}
k
=
−
h
{\displaystyle k=-h~}
−
2
h
.
p
−
h
.
q
−
k
.
p
−
2
k
.
q
=
0
{\displaystyle -2h.p-h.q-k.p-2k.q=0~}
q
=
p
{\displaystyle q=p~}
x
=
h
.
z
+
p
k
.
z
+
q
=
h
.
z
+
p
−
h
.
z
+
p
=
z
+
p
h
−
z
+
p
h
=
z
+
l
−
z
+
l
{\displaystyle x={\frac {h.z+p}{k.z+q}}={\frac {h.z+p}{-h.z+p}}={\frac {z+{\frac {p}{h}}}{-z+{\frac {p}{h}}}}={\frac {z+l}{-z+l}}~}
En posant :
p
h
=
l
{\displaystyle {\frac {p}{h}}=l~}
Et nous remarquons que nous n'avons plus qu'un paramètre l à déterminer.
En posant :
x
=
z
+
l
−
z
+
l
{\displaystyle x={\frac {z+l}{-z+l}}~}
dans
x
3
−
3
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-3x-1=0~}
On obtient :
z
3
−
3
l
.
z
2
−
9
l
2
.
z
+
3
l
3
=
0
{\displaystyle z^{3}-3l.z^{2}-9l^{2}.z+3l^{3}=0~}
4
Z
2
+
9
l
2
−
9
l
=
0
{\displaystyle 4Z^{2}+9l^{2}-9l=0~}
Qui a pour racine :
Z
=
±
3.
i
.
l
2
−
l
2
{\displaystyle Z=\pm {\frac {3.i.{\sqrt {l^{2}-l}}}{2}}}
b
=
3.
i
.
l
2
−
l
{\displaystyle b=3.i.{\sqrt {l^{2}-l}}~}
c
=
−
3.
i
.
l
2
−
l
{\displaystyle c=-3.i.{\sqrt {l^{2}-l}}~}
d
=
2
{\displaystyle d=2~}
e
=
2
{\displaystyle e=2~}
D'ou :
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
−
24
l
−
36
i
.
l
2
−
l
{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-24l-36i.{\sqrt {l^{2}-l}}~}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
−
24
l
+
36
i
.
l
2
−
l
{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=-24l+36i.{\sqrt {l^{2}-l}}~}
Si l'on veut que a et f soit proportionnel respectivement à :
1
−
i
3
e
t
1
+
i
3
{\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}\quad et\quad 1+i{\sqrt {3}}~}
Il faut que :
24
l
.
3
+
36
l
(
l
−
1
)
=
0
{\displaystyle 24l.{\sqrt {3}}+36{\sqrt {l(l-1)}}=0~}
Ce qui entraine :
l
=
−
3
{\displaystyle l=-3~}
x
=
z
−
3
−
z
−
3
=
3
−
z
3
+
z
{\displaystyle x={\frac {z-3}{-z-3}}={\frac {3-z}{3+z}}~}
b
=
3.
i
.
3
{\displaystyle b=3.i.{\sqrt {3}}~}
c
=
−
3.
i
.
3
{\displaystyle c=-3.i.{\sqrt {3}}~}
d
=
1
{\displaystyle d=1~}
e
=
1
{\displaystyle e=1~}
a
=
e
3
a
2
+
3
c
e
2
a
3
=
9
−
9
i
.
3
=
18
(
1
2
−
i
.
3
2
)
=
18
e
−
i
π
3
{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=9-9i.{\sqrt {3}}=18\left({\frac {1}{2}}-i.{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=18e^{\frac {-i\pi }{3}}~}
f
=
d
3
a
2
+
3
b
d
2
a
3
=
9
+
9
i
.
3
=
18
(
1
2
+
i
.
3
2
)
=
18
e
i
π
3
{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=9+9i.{\sqrt {3}}=18\left({\frac {1}{2}}+i.{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=18e^{\frac {i\pi }{3}}~}
{
z
1
=
3
i
3
18
e
−
i
π
3
+
3
i
18
e
i
π
3
18
e
−
i
π
3
−
18
e
i
π
3
z
2
=
3
i
3
.
j
.
18
e
−
i
π
3
+
3
i
18
e
i
π
3
j
.
18
e
−
i
π
3
−
18
e
i
π
3
z
3
=
3
i
3
.
j
2
.
18
e
−
i
π
3
+
3
i
18
e
i
π
3
j
2
.
18
e
−
i
π
3
−
18
e
i
π
3
⟹
{
z
1
=
3
i
3
e
−
i
π
9
+
3
i
3
e
i
π
9
e
−
i
π
9
−
e
i
π
9
z
2
=
3
i
3
.
j
.
e
−
i
π
9
+
3
i
3
e
i
π
9
j
.
e
−
i
π
9
−
e
i
π
9
z
3
=
3
i
3
.
j
2
.
e
−
i
π
9
+
3
i
3
e
i
π
9
j
2
.
e
−
i
π
9
−
e
i
π
9
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}={\frac {3i{\sqrt {3}}{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}+3i{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}{{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}-{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}}\\z_{2}={\frac {3i{\sqrt {3}}.j.{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}+3i{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}{j.{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}-{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}}\\z_{3}={\frac {3i{\sqrt {3}}.j^{2}.{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}+3i{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}{j^{2}.{\sqrt {18e^{\frac {-i\pi }{3}}}}-{\sqrt {18e^{\frac {i\pi }{3}}}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}z_{1}={\frac {3i{\sqrt {3}}e^{\frac {-i\pi }{9}}+3i{\sqrt {3}}e^{\frac {i\pi }{9}}}{e^{\frac {-i\pi }{9}}-e^{\frac {i\pi }{9}}}}\\z_{2}={\frac {3i{\sqrt {3}}.j.e^{\frac {-i\pi }{9}}+3i{\sqrt {3}}e^{\frac {i\pi }{9}}}{j.e^{\frac {-i\pi }{9}}-e^{\frac {i\pi }{9}}}}\\z_{3}={\frac {3i{\sqrt {3}}.j^{2}.e^{\frac {-i\pi }{9}}+3i{\sqrt {3}}e^{\frac {i\pi }{9}}}{j^{2}.e^{\frac {-i\pi }{9}}-e^{\frac {i\pi }{9}}}}\end{matrix}}\right.~}
Et en procédant comme dans l'exemple 4, on obtient :
{
z
1
=
−
3
3
tan
(
π
9
)
z
2
=
−
3
3
tan
(
4
π
9
)
z
3
=
−
3
3
tan
(
7
π
9
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{1}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}\\z_{2}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {4\pi }{9}}\right)}}\\z_{3}={\frac {-3{\sqrt {3}}}{\tan \left(7{\frac {\pi }{9}}\right)}}\end{matrix}}\right.~}
x
=
3
−
z
3
+
z
{\displaystyle x={\frac {3-z}{3+z}}~}
{
x
1
=
3
+
3
3
tan
(
π
9
)
3
−
3
3
tan
(
π
9
)
x
2
=
3
+
3
3
tan
(
4
π
9
)
3
−
3
3
tan
(
4
π
9
)
x
3
=
3
+
3
3
tan
(
7
π
9
)
3
−
3
3
tan
(
7
π
9
)
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {3+{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}}{3-{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}}}\\x_{2}={\frac {3+{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {4\pi }{9}}\right)}}}{3-{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {4\pi }{9}}\right)}}}}\\x_{3}={\frac {3+{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {7\pi }{9}}\right)}}}{3-{\frac {3{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {7\pi }{9}}\right)}}}}\end{matrix}}\right.~}
{
x
1
=
tan
(
π
9
)
+
3
tan
(
π
9
)
−
3
x
2
=
tan
(
4
π
9
)
+
3
tan
(
4
π
9
)
−
3
x
3
=
tan
(
7
π
9
)
+
3
tan
(
7
π
9
)
−
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {\tan \left({\frac {\pi }{9}}\right)+{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {\pi }{9}}\right)-{\sqrt {3}}}}\\x_{2}={\frac {\tan \left({\frac {4\pi }{9}}\right)+{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {4\pi }{9}}\right)-{\sqrt {3}}}}\\x_{3}={\frac {\tan \left({\frac {7\pi }{9}}\right)+{\sqrt {3}}}{\tan \left({\frac {7\pi }{9}}\right)-{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.~}
L'ambition de la méthode trigonomètrique n'est pas de résoudre toutes les équations du troisième degré, mais de détecter dans celle-ci des racines sous la forme :
x
=
a
tan
(
k
π
9
)
+
b
3
c
tan
(
k
π
9
)
+
d
3
{\displaystyle x={\frac {a\tan \left({\frac {k\pi }{9}}\right)+b{\sqrt {3}}}{c\tan \left({\frac {k\pi }{9}}\right)+d{\sqrt {3}}}}~}
Plutôt que d'appliquer le procédé utilisé dans l'exemple 5 pour chaque équation que l'on doit résoudre, ce qui est assez fastidieux, il est plus judicieux de l'appliquer à l'équation générale du troisième degré :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
Celle-ci s'exécute ainsi :
δ
=
b
2
c
2
+
18
a
b
c
d
−
27
a
2
d
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
{\displaystyle \delta =b^{2}c^{2}+18abcd-27a^{2}d^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d~}
On choisit ensuite h et k tel que
h
k
{\displaystyle {\frac {h}{k}}}
(
27
a
2
d
+
2
b
3
−
9
a
b
c
+
3
a
ϵ
δ
)
X
3
+
(
27
a
b
d
+
3
b
2
c
−
18
a
c
2
+
3
b
ϵ
δ
)
X
2
{\displaystyle (27a^{2}d+2b^{3}-9abc+3a\epsilon {\sqrt {\delta }})X^{3}+(27abd+3b^{2}c-18ac^{2}+3b\epsilon {\sqrt {\delta }})X^{2}~}
+
(
18
b
2
d
−
27
a
c
d
−
3
b
c
2
+
3
c
ϵ
δ
)
X
+
9
b
c
d
−
27
a
d
2
−
2
c
3
+
3
d
ϵ
δ
=
0
{\displaystyle +(18b^{2}d-27acd-3bc^{2}+3c\epsilon {\sqrt {\delta }})X+9bcd-27ad^{2}-2c^{3}+3d\epsilon {\sqrt {\delta }}=0~}
On retiendra la valeur de &epsilon qui fournit une résolvante trigonométrique ayant une racine la plus simple possible (le plus souvent une racine évidente). si aucune des deux valeurs de &epsilon ne permet d'avoir une racine s'exprimant simplement, on peut considérer que la méthode a échoué.
p
q
=
9
a
d
h
−
b
c
h
+
6
b
d
k
−
2
c
2
k
2
b
2
h
+
b
c
k
−
6
a
c
h
−
9
a
d
k
{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {9adh-bch+6bdk-2c^{2}k}{2b^{2}h+bck-6ach-9adk}}~}
γ
=
3
a
c
h
2
+
9
a
d
h
k
−
b
2
h
2
−
b
c
h
k
+
3
b
d
k
2
−
c
2
k
2
{\displaystyle \gamma =3ach^{2}+9adhk-b^{2}h^{2}-bchk+3bdk^{2}-c^{2}k^{2}~}
Les racines de l'équation à résoudre sont alors :
{
x
1
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
x
2
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
4
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
4
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
x
3
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
7
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
7
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}\\x_{2}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {4\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {4\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}\\x_{3}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {7\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {7\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.~}
Exemple 6
Soit à résoudre l'équation :
17
x
3
−
138
x
2
+
144
x
−
24
=
0
{\displaystyle 17x^{3}-138x^{2}+144x-24=0~}
On a :
a
=
17
b
=
−
138
c
=
144
d
=
−
24
{\displaystyle a=17\qquad b=-138\qquad c=144\qquad d=-24~}
δ
=
b
2
c
2
+
18
a
b
c
d
−
27
a
2
d
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
=
81000000
=
9000
2
{\displaystyle \delta =b^{2}c^{2}+18abcd-27a^{2}d^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d=81000000=9000^{2}~}
racines évidentes .
Cette résolvante trigonométrique est :
6
X
3
+
X
2
−
18
X
+
8
=
0
{\displaystyle 6X^{3}+X^{2}-18X+8=0~}
Dont l'une des racines est:
h
k
=
1
2
{\displaystyle {\frac {h}{k}}={\frac {1}{2}}~}
On peut donc choisir h = 1 et k = 2.
p
q
=
9
a
d
h
−
b
c
h
+
6
b
d
k
−
2
c
2
k
2
b
2
h
+
b
c
k
−
6
a
c
h
−
9
a
d
k
=
−
27000
−
9000
=
3
{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {9adh-bch+6bdk-2c^{2}k}{2b^{2}h+bck-6ach-9adk}}={\frac {-27000}{-9000}}=3~}
On peut choisir p = 3 et q = 1.
Ensuite :
γ
=
3
a
c
h
2
+
9
a
d
h
k
−
b
2
h
2
−
b
c
h
k
+
3
b
d
k
2
−
c
2
k
2
=
−
22500
{\displaystyle \gamma =3ach^{2}+9adhk-b^{2}h^{2}-bchk+3bdk^{2}-c^{2}k^{2}=-22500~}
{
x
1
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
=
−
135000.
t
a
n
π
9
+
45000.
3
−
45000.
t
a
n
π
9
+
90000.
3
x
2
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
4
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
4
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
=
−
135000.
t
a
n
4
π
9
+
45000.
3
−
45000.
t
a
n
4
π
9
+
90000.
3
x
3
=
2
γ
.
p
.
t
a
n
7
π
9
−
h
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
2
γ
.
q
.
t
a
n
7
π
9
−
k
.
ϵ
.
(
h
q
−
k
p
)
.
δ
.
3
=
−
135000.
t
a
n
7
π
9
+
45000.
3
−
45000.
t
a
n
7
π
9
+
90000.
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}={\frac {-135000.tan{\frac {\pi }{9}}+45000.{\sqrt {3}}}{-45000.tan{\frac {\pi }{9}}+90000.{\sqrt {3}}}}\\x_{2}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {4\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {4\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}={\frac {-135000.tan{\frac {4\pi }{9}}+45000.{\sqrt {3}}}{-45000.tan{\frac {4\pi }{9}}+90000.{\sqrt {3}}}}\\x_{3}={\frac {2\gamma .p.tan{\frac {7\pi }{9}}-h.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}{2\gamma .q.tan{\frac {7\pi }{9}}-k.\epsilon .(hq-kp).{\sqrt {\delta }}.{\sqrt {3}}}}={\frac {-135000.tan{\frac {7\pi }{9}}+45000.{\sqrt {3}}}{-45000.tan{\frac {7\pi }{9}}+90000.{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.~}
{
x
1
=
3.
t
a
n
π
9
−
3
t
a
n
π
9
−
2.
3
x
2
=
3.
t
a
n
4
π
9
−
3
t
a
n
4
π
9
−
2.
3
x
3
=
3.
t
a
n
7
π
9
−
3
t
a
n
7
π
9
−
2.
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {3.tan{\frac {\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{tan{\frac {\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}\\x_{2}={\frac {3.tan{\frac {4\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{tan{\frac {4\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}\\x_{3}={\frac {3.tan{\frac {7\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{tan{\frac {7\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.~}
Remarque 1
Dans l'exemple 6, la résolvante trigonométrique avaient d'autres racines évidentes que 1/2. Nous avions aussi la racine évidente :
h
k
=
−
2
{\displaystyle {\frac {h}{k}}=-2}
Nous aurions pu alors choisir :
h
=
−
2
k
=
1
{\displaystyle h=-2\qquad k=1}
Nous aurions alors abouti aux racines :
{
x
1
′
=
6.
t
a
n
π
9
+
2
3
7.
t
a
n
π
9
−
3
x
2
′
=
6.
t
a
n
4
π
9
+
2
3
7.
t
a
n
4
π
9
−
3
x
3
′
=
6.
t
a
n
7
π
9
+
2
3
7.
t
a
n
7
π
9
−
3
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}'={\frac {6.tan{\frac {\pi }{9}}+2{\sqrt {3}}}{7.tan{\frac {\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}}\\x_{2}'={\frac {6.tan{\frac {4\pi }{9}}+2{\sqrt {3}}}{7.tan{\frac {4\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}}\\x_{3}'={\frac {6.tan{\frac {7\pi }{9}}+2{\sqrt {3}}}{7.tan{\frac {7\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}\right.~}
Qui contrairement aux apparences sont bien les mêmes racines que précédemment. Nous avons en effet :
{
x
1
′
=
x
2
x
2
′
=
x
3
x
3
′
=
x
1
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}'=x_{2}\\x_{2}'=x_{3}\\x_{3}'=x_{1}\end{matrix}}\right.~}
Ces identifications nous permettent d'en déduire les formules:
{
tan
4
π
9
.
tan
π
9
=
tan
4
π
9
−
tan
π
9
3
−
1
tan
7
π
9
.
tan
4
π
9
=
tan
7
π
9
−
tan
4
π
9
3
−
1
tan
π
9
.
tan
7
π
9
=
tan
π
9
−
tan
7
π
9
3
−
1
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\tan {\frac {4\pi }{9}}.\tan {\frac {\pi }{9}}={\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}-\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}-1\\\tan {\frac {7\pi }{9}}.\tan {\frac {4\pi }{9}}={\frac {\tan {\frac {7\pi }{9}}-\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}-1\\\tan {\frac {\pi }{9}}.\tan {\frac {7\pi }{9}}={\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}-\tan {\frac {7\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}-1\end{matrix}}\right.~}
Remarque 2
La méthode que l'on vient de voir permet de trouver les racines d'un polynôme du troisième degré en fonction de
t
a
n
(
k
π
/
9
)
{\displaystyle tan(k\pi /9)}
s
i
n
(
k
π
/
9
)
{\displaystyle sin(k\pi /9)}
c
o
s
(
k
π
/
9
)
{\displaystyle cos(k\pi /9)}
∀
k
∈
{
1
,
4
,
7
}
tan
k
π
9
=
3
+
(
−
1
)
k
×
4
sin
k
π
9
=
3
1
−
(
−
1
)
k
×
4
cos
k
π
9
{\displaystyle \forall k\in \{1,4,7\}\qquad \tan {\frac {k\pi }{9}}={\sqrt {3}}+(-1)^{k}\times 4\sin {\frac {k\pi }{9}}={\frac {\sqrt {3}}{1-(-1)^{k}\times 4\cos {\frac {k\pi }{9}}}}~}
{
x
1
=
3.
tan
π
9
−
3
tan
π
9
−
2.
3
=
12.
sin
π
9
−
2
3
4
sin
π
9
+
3
=
4.
cos
π
9
−
2
8
cos
π
9
+
1
x
2
=
3.
tan
4
π
9
−
3
tan
4
π
9
−
2.
3
=
12.
sin
4
π
9
+
2
3
4
sin
4
π
9
−
3
=
4.
cos
4
π
9
+
2
8
cos
4
π
9
−
1
x
3
=
3.
tan
7
π
9
−
3
tan
7
π
9
−
2.
3
=
12.
sin
7
π
9
−
2
3
4
sin
7
π
9
+
3
=
4.
cos
7
π
9
−
2
8
cos
7
π
9
+
1
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {3.\tan {\frac {\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{\tan {\frac {\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}={\frac {12.\sin {\frac {\pi }{9}}-2{\sqrt {3}}}{4\sin {\frac {\pi }{9}}+{\sqrt {3}}}}={\frac {4.\cos {\frac {\pi }{9}}-2}{8\cos {\frac {\pi }{9}}+1}}\\x_{2}={\frac {3.\tan {\frac {4\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{\tan {\frac {4\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}={\frac {12.\sin {\frac {4\pi }{9}}+2{\sqrt {3}}}{4\sin {\frac {4\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}}={\frac {4.\cos {\frac {4\pi }{9}}+2}{8\cos {\frac {4\pi }{9}}-1}}\\x_{3}={\frac {3.\tan {\frac {7\pi }{9}}-{\sqrt {3}}}{\tan {\frac {7\pi }{9}}-2.{\sqrt {3}}}}={\frac {12.\sin {\frac {7\pi }{9}}-2{\sqrt {3}}}{4\sin {\frac {7\pi }{9}}+{\sqrt {3}}}}={\frac {4.\cos {\frac {7\pi }{9}}-2}{8\cos {\frac {7\pi }{9}}+1}}\end{matrix}}\right.~}
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7873203eb76042fcd24056c553de8c86054a2df)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12de1d32a96564fd040ca11201cd4d149aee333)
![{\displaystyle \qquad (n-1)(n-2)[2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}]X^{2}+2(n-1)[3na_{n}a_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X+6(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-4(n-2)a_{n-2}^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b959b31dcd46477e128c012fdf16f016c1c0f0b)
![{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{d{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d617f63851ac7e2209d778052ce02d9ca50ab5)
![{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e667a47140d3430c07c032da2a95cc4761f8a49)
![{\displaystyle {\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68e0b4025826e73bb07bac567d63ad55e9aea5)
![{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0701537f0c8896f8a813628389366459a9e72426)
![{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {bj{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb84c82422e8793f3b23914734a936438064d58)
![{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {bj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c62cd37309aa47ac9c9ff62c2f2c500fe551986)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{a_{2}}}\left({\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce6b30167faf39f0241aa247b9a3fd16d0eb940)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38c9878542a7f59b9a95ea853b13b5af1cbaf19)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd128db1b243244ddd0dd2fb912453d81b8e5048)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}}{{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559653951277a964b2bc5a627c9d627e3e74be42)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {a_{1}}{j{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8ad164f8d914692e761fddd6e9ed8252fd868e)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {a_{1}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ff61f75969ce328dae81993ffccf0d6e322d34)
![{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{d{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814db3c0b7b3a3463d319cf2cf04c7f3ef3114ad)
![{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f53389084bee51bb6abe8b4c4811d01177087da)
![{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{d{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5047886bbc4910dd08628eb54a9d05ae0bf5c8fa)
![{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ee362bb0afd2cf941c77431fb2221e7cd09837)
![{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{d{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbffc073d6b000f28b50407532b66531bf0da051)
![{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8a35d5c871f1461c2c50d242a0a7dfbd55ad0)
![{\displaystyle \qquad {\frac {b{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{d{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe391e04600485d4afa968f5f5f4670cbe02118)
![{\displaystyle \qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b734085ddea35fec3bd982aceb4c5885dfbabf2)
![{\displaystyle x_{k}={\frac {1}{a}}\left(e^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{c}}-b\right)~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff731a7891632f9daf512a3c8c9d8d9aa57c45d3)
![{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3ac5142ad882105957c8cbfb1f250c662ad4ac)
![{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {j{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3449b2a157a81632ceefac4548d4a8838f4c8cf)
![{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814df1589ce12e37b55b050fef72199ff5c63a6d)
![{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{176}}-2{\sqrt[{5}]{-32}}}{2{\sqrt[{5}]{176}}-(-1){\sqrt[{5}]{-32}}}}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d55d8a170b8a46d39285d3d31fd301a21acbca1)
![{\displaystyle \qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b220c1bd604c4994838dbd6ba9ddc3ecf27221e)
![{\displaystyle \qquad x_{2}={\frac {e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5957bc6f4798bac52d378763c81c8fc17b7ddeff)
![{\displaystyle \qquad x_{3}={\frac {e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81efa0fac20c3db86c5d6b7f83d8adac948e95c)
![{\displaystyle \qquad x_{4}={\frac {e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673093383602ae199dc3cdac2be0e542de56aeac)
![{\displaystyle \qquad x_{5}={\frac {e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238815536f604f54a52a47b3d7beb973bf3fa134)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\\x_{2}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})j{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3j{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\\x_{3}={\frac {(3k+3+i{\sqrt {3}})j^{2}{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}-(-3k-3+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}{3j^{2}{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}+3{\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae79026c57340012f7f096fa5826cf79c7f74dc3)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27i{\sqrt {3}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce5b247666c3876265cf17a2c1e7e0f00836980)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\\x_{2}={\frac {ij{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{j{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\\x_{3}={\frac {ij^{2}{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-(-i){\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}-3i}}-{\sqrt[{3}]{-3{\sqrt {3}}+3i}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\\x_{2}={\frac {ij{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{j{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\\x_{3}={\frac {ij^{2}{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}+i{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i}}-{\sqrt[{3}]{{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i}}}}\end{matrix}}\right.~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7957bc164f3db0e06301ddcfecd216e1beb556d6)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\\x_{2}={\frac {i.e^{\frac {2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{e^{\frac {2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\\x_{3}={\frac {i.e^{\frac {-2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}+i{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}{e^{\frac {-2i\pi }{3}}{\sqrt[{3}]{e^{\frac {i\pi }{6}}}}-{\sqrt[{3}]{e^{-{\frac {i\pi }{6}}}}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {ie^{\frac {i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i.e^{\frac {13i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {13i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{3}={\frac {ie^{\frac {-11i\pi }{18}}+ie^{-{\frac {i\pi }{18}}}}{e^{\frac {-11i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i(e^{\frac {i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i(e^{\frac {13i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {-6i\pi }{18}}}{(e^{\frac {13i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {-6i\pi }{18}}}}\\x_{3}={\frac {i(e^{\frac {-11i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {6i\pi }{18}}}{(e^{\frac {-11i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}})e^{\frac {6i\pi }{18}}}}\end{matrix}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x_{1}={\frac {i(e^{\frac {i\pi }{18}}+e^{-{\frac {i\pi }{18}}})}{e^{\frac {i\pi }{18}}-e^{-{\frac {i\pi }{18}}}}}\\x_{2}={\frac {i(e^{\frac {7i\pi }{18}}+e^{\frac {-7i\pi }{18}})}{e^{\frac {7i\pi }{18}}-e^{\frac {-7i\pi }{18}}}}\\x_{3}={\frac {i(e^{\frac {-5i\pi }{18}}+e^{\frac {5i\pi }{18}})}{e^{\frac {-5i\pi }{18}}-e^{\frac {5i\pi }{18}}}}\end{matrix}}\right.~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561befb42335501c5536884d22329de59cd24222)
![{\displaystyle -9(h.q-k.p)^{2}.[(h^{2}+h.k+k^{2})Z^{2}+(2h.p+h.q+k.p+2k.q)Z+p^{2}+p.q+q^{2}]=0~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa856982fd423ea10b1d8df5b851e59b08ffa55e)
![{\displaystyle \Delta =-3(h.q-k.p)^{2}=[i.{\sqrt {3}}(h.p-k.q)]^{2}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74eeaf32ec5c83d1dd35a073f8db6e1e0d1df786)
![{\displaystyle a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-12(h.p-k.q).(h^{2}+h.k+k^{2})^{2}.[h^{3}+6h^{2}.k+3h.k^{2}-k^{3}+i.(h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}).{\sqrt {3}}]~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f9728932d31f02f0bfd1b4d0e9d471a3d40c79)
![{\displaystyle f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=-12(h.p-k.q).(h^{2}+h.k+k^{2})^{2}.[h^{3}+6h^{2}.k+3h.k^{2}-k^{3}-i.(h^{3}-3h.k^{2}-k^{3}).{\sqrt {3}}]~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8f78e26dc9831680ed386d32ae2db0f3426646)
