Utilisateur:Charles Dyon/Méthode de Sotta

La méthode de Sotta, imaginée et mise au point par Bernard Sotta, permet de résoudre toutes les équations du troisième degré et peut se généraliser à certaines équations de degré supérieur ou égal à 4 si les coefficients de ces équations vérifient certaines conditions.

Ces équations fournissent des exemples d'équations qui, bien qu'ayant un degré supérieur ou égal à 5, ont un groupe de Galois résoluble. Nous savons en effet que les équations de degré supérieur ou égal à 5 n'ont pas forcément un groupe de Galois résoluble. Ce qui permet d'affirmer qu'il n'existe pas de méthode générale pour les résoudre. (voir Théorie de Galois).

Principe de la méthode

Dans tout cet article n est un nombre entier représentant le degré de l'équation à résoudre.

Toutes les autres lettres représentent des nombres complexes.

Par convention ${\sqrt[{n}]{a}}$ désigne n'importe laquelle des n racines n^ème de a, il en est de même de ${\sqrt[{n}]{f}}$

Considérons une équation de degré n avec n > 2 :

$\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

Vérifiant les deux conditions :

$2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}\neq 0~$

$3(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-2(n-2)a_{n-2}^{2}\neq 0~$

Ces deux conditions permettent de garantir que l'équation résolvante définie ci-dessous existe et n'a pas de racines nulles.

Nous supposerons par la suite que ces conditions sont vérifiées sauf indications contraires.

Nous appellerons équation résolvante de Sotta associée à l'équation précédente, l'équation du second degré suivante :

$\qquad (n-1)(n-2)[2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}]X^{2}+2(n-1)[3na_{n}a_{n-3}-(n-2)a_{n-1}a_{n-2}]X+6(n-1)a_{n-1}a_{n-3}-4(n-2)a_{n-2}^{2}=0$

Nous avons alors le théorème suivant (théorème de Sotta) :

Si l'équation :

$\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

admet des racines sous la forme :

$\qquad {\frac {b{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{d{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}$

(d et e non nul).

alors ${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ sont les deux racines de l'équation résolvante.

a et f sont alors donné par les deux relations :

• $\qquad a=e^{n}a_{n-1}+nce^{n-1}a_{n}$
• $\qquad f=d^{n}a_{n-1}+nbd^{n-1}a_{n}$

Les n racines de l'équation proposée seront alors :

$\qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-c{\sqrt[{n}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{n}}{\sqrt[{n}]{a}}-e{\sqrt[{n}]{f}}}}$ avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1

Sauf précision contraire, les paragraphes suivant supposent que l'équation résolvante n'admet pas une racine double. Le cas particulier où l'équation résolvante admet une racine double est traité en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 3

Toutes les équations de degré 3 ayant trois racines distinctes admettent des racines sous la forme :

${\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}~$

par conséquent, la méthode de Sotta permet de résoudre toutes les équations de degré 3.

Soit donc l'équation suivante :

$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~$

Premier cas : Si $(3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})\not =0$ et $(3a_{0}a_{2}-a_{1}^{2})\not =0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré avec des racines non nulles).

La résolvante de Sotta associée sera :

$(3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})X^{2}+(9a_{3}a_{0}-a_{2}a_{1})X+3a_{2}a_{0}-a_{1}^{2}=0~$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

• $a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}~$
• $f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}~$

Les trois racines de l'équation à résoudre seront alors :

$\qquad x_{1}={\frac {b{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{d{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}$

$\qquad x_{2}={\frac {bj{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}$

$\qquad x_{3}={\frac {bj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-c{\sqrt[{3}]{f}}}{dj^{2}{\sqrt[{3}]{a}}-e{\sqrt[{3}]{f}}}}$

avec :

$\qquad j=e^{\frac {2i\pi }{3}}~$

Remarque : Si l'équation résolvante admet une racine double α, celle-ci est aussi racine double de l'équation à résoudre et la troisième racine simple β manquante est obtenue par la relation :

$\beta =-{\frac {a_{0}}{a_{3}.\alpha ^{2}}}~$

En effet, en désignant par α, β, γ, les trois racines de l'équation à résoudre, celle-ci peut se mettre sous la forme :

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0~$

En développant le premier membre et en formant l'équation résolvante, on obtient une équation du second degré dont le discriminant Δ peut se factoriser sous la forme :

$\Delta =-3(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\beta -\gamma )^{2}~$

Si l'équation résolvante a une racine double, cela signifie que son discriminant Δ est nul. Nous voyons alors que cela n'est possible que si deux des nombres parmis α, β, γ sont égaux et on vérifie que cette valeur commune se trouve ètre justement la racine double de l'équation résolvante.

Deuxième cas : Si $(3a_{3}a_{1}-a_{2}^{2})=0$ (On est dans le cas: d ou e nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~$

On obtient :

$3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{1}a_{2}a_{0}=0~$

Comme :

$3a_{3}a_{1}=a_{2}^{2}~$

L'équation devient :

$a_{2}^{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{0}a_{1}a_{2}=0~$

Qui se met sous la forme :

$\left(a_{2}x+a_{1}\right)^{3}=a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}~$

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

$x_{1}={\frac {1}{a_{2}}}\left({\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~$

$x_{2}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~$

$x_{3}={\frac {1}{a_{2}}}\left(j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{1}^{3}-3a_{0}a_{1}a_{2}}}-a_{1}\right)~$

Troisième cas : Si $(3a_{0}a_{2}-a_{1}^{2})=0$ (On est dans le cas: b ou c nul)

On multiplie par 3a₁a₂ tous les termes de l'équation :

$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0~$

On obtient :

$3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+3a_{0}a_{1}a_{2}=0~$

Comme :

$3a_{0}a_{2}=a_{1}^{2}~$

L'équation devient :

$3a_{1}a_{2}a_{3}x^{3}+3a_{1}a_{2}^{2}x^{2}+3a_{1}^{2}a_{2}x+a_{1}^{3}=0~$

Divisons maintenant chaque terme par x³, on obtient :

$3a_{1}a_{2}a_{3}+3\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)a_{2}^{2}+3\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)^{2}a_{2}+\left({\frac {a_{1}}{x}}\right)^{3}=0~$

Qui se met sous la forme :

$\left({\frac {a_{1}}{x}}+a_{2}\right)^{3}=a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}~$

On en déduit les trois racines de l'équation à résoudre :

$x_{1}={\frac {a_{1}}{{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~$

$x_{2}={\frac {a_{1}}{j{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~$

$x_{3}={\frac {a_{1}}{j^{2}{\sqrt[{3}]{a_{2}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{2}}}~$

Application à la résolution des équations de degré 4

Les équations de degré 4 :

$\qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad {\frac {b{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{d{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}$

seulement si :

• $\qquad 27a_{4}a_{1}^{2}-72a_{4}a_{2}a_{0}+2a_{2}^{3}-9a_{3}a_{2}a_{1}+27a_{3}^{2}a_{0}=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 4 vérifiant cette condition de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

Premier cas : Si $(8a_{4}a_{2}-3a_{3}^{2})\not =0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (24a_{4}a_{2}-9a_{3}^{2})X^{2}+(36a_{4}a_{1}-6a_{3}a_{2})X+9a_{3}a_{1}-4a_{2}^{2}=0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

• $a=e^{4}a_{3}+4ce^{3}a_{4}~$
• $f=d^{4}a_{3}+4bd^{3}a_{4}~$

Les quatre racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-c{\sqrt[{4}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{4}}{\sqrt[{4}]{a}}-e{\sqrt[{4}]{f}}}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3.

Deuxième cas : Si $(8a_{4}a_{2}-3a_{3}^{2})=0$ (On est dans le cas: d ou e nul).

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 5

Les équations de degré 5 :

$\qquad a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad {\frac {b{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{d{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}$

seulement si :

• $\qquad 10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=0$
• $\qquad 8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,$

Premier cas : Si $(5a_{5}a_{3}-2a_{4}^{2})\not =0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})X^{2}+(10a_{5}a_{2}-2a_{4}a_{3})X+2a_{4}a_{2}-a_{3}^{2}=0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

• $a=e^{5}a_{4}+5ce^{4}a_{5}~$
• $f=d^{5}a_{4}+5bd^{4}a_{5}~$

Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-c{\sqrt[{5}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{a}}-e{\sqrt[{5}]{f}}}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.

Deuxième cas : Si $(5a_{5}a_{3}-2a_{4}^{2})=0$ (On est dans le cas: d ou e nul).

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 6

Les équations de degré 6 :

$\qquad a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad {\frac {b{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{d{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}$

seulement si :

• $\qquad 135a_{6}a_{3}^{2}-240a_{6}a_{4}a_{2}+16a_{4}^{3}-60a_{5}a_{4}a_{3}+100a_{5}^{2}a_{2}=0$
• $\qquad 160a_{5}a_{2}^{2}-300a_{5}a_{3}a_{1}+27a_{3}^{3}-96a_{4}a_{3}a_{2}+160a_{4}^{2}a_{1}=0$
• $\qquad 100a_{4}a_{1}^{2}-240a_{4}a_{2}a_{0}+16a_{2}^{3}-60a_{3}a_{2}a_{1}+135a_{3}^{2}a_{0}=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,$

Premier cas : Si $(12a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2})\not =0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (120a_{6}a_{4}-50a_{5}^{2})X^{2}+(90a_{6}a_{3}-20a_{5}a_{4})X+15a_{5}a_{3}-8a_{4}^{2}=0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

• $a=e^{6}a_{5}+6ce^{5}a_{6}~$
• $f=d^{6}a_{5}+6bd^{5}a_{6}~$

Les six racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-c{\sqrt[{6}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{6}}{\sqrt[{6}]{a}}-e{\sqrt[{6}]{f}}}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Deuxième cas : Si $(12a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2})=0$ (On est dans le cas: d ou e nul).

Voir le paragraphe Compléments en fin d'article.

Application à la résolution des équations de degré 7

Les équations de degré 7 :

$\qquad a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

admettent des racines sous la forme :

$\qquad {\frac {b{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{d{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}$

seulement si :

• $\qquad 189a_{7}a_{4}^{2}-315a_{7}a_{5}a_{3}+25a_{5}^{3}-90a_{6}a_{5}a_{4}+135a_{6}^{2}a_{3}=0$
• $\qquad 135a_{6}a_{3}^{2}-225a_{6}a_{4}a_{2}+27a_{4}^{3}-90a_{5}a_{4}a_{3}+125a_{5}^{2}a_{2}=0$
• $\qquad 125a_{5}a_{2}^{2}-225a_{5}a_{3}a_{1}+27a_{3}^{3}-90a_{4}a_{3}a_{2}+135a_{4}^{2}a_{1}=0$
• $\qquad 135a_{4}a_{1}^{2}-315a_{4}a_{2}a_{0}+25a_{2}^{3}-90a_{3}a_{2}a_{1}+189a_{3}^{2}a_{0}=0$

Par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.

Soit donc l'équation suivante :

$\qquad a_{7}x^{7}+a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0,$

Premier cas : Si $(7a_{7}a_{5}-3a_{6}^{2})\not =0$ (condition pour que la résolvante soit du second degré).

La résolvante de Sotta associée sera :

$\qquad (105a_{7}a_{5}-45a_{6}^{2})X^{2}+(63a_{7}a_{4}-15a_{6}a_{5})X+9a_{6}a_{4}-5a_{5}^{2}=0$

Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que${\frac {b}{d}}$ et ${\frac {c}{e}}$ soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :

• $a=e^{7}a_{6}+7ce^{6}a_{7}~$
• $f=d^{7}a_{6}+7bd^{6}a_{7}~$

Les sept racines de l'équation à résoudre seront :

$\qquad x_{k}={\frac {be^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-c{\sqrt[{7}]{f}}}{de^{\frac {2ki\pi }{7}}{\sqrt[{7}]{a}}-e{\sqrt[{7}]{f}}}}$ avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Deuxième cas : Si $(7a_{7}a_{5}-3a_{6}^{2})=0$ (On est dans le cas: d ou e nul).

Voir le paragraphe Compléments ci-après.

Compléments

Ce paragraphe examine plus en détail, pour n > 3, le cas où la résolvante n'est pas du second degré. C'est-à-dire si :

$2na_{n}a_{n-2}-(n-1)a_{n-1}^{2}=0~$

En fait cette condition entraine que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nul.

Démonstration

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Supposons donc que le coefficient du second degré de l'équation résolvante soit nul :

$10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~$

Nous remarquons que la première condition de résolubilité :

$10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=0~$

peut s'écrire sous la forme :

$({\frac {a_{3}^{2}}{10a_{5}}}-2a_{1})(10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})+10a_{5}(a_{2}-{\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}})^{2}=0~$

Ce qui compte tenu de l'hypothèse :

$10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~$

entraine :

$a_{2}={\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}}~$

Ce qui s'écrit :

$10a_{5}a_{2}-2a_{4}a_{3}=0~$

Ce qui montre que le coefficient de degré 1 est nul

Calculons ensuite le coefficient du terme de degré 0 de l'équation résolvante :

$2a_{4}a_{2}-a_{3}^{2}=2a_{4}{\frac {a_{4}a_{3}}{5a_{5}}}-a_{3}^{2}={\frac {2a_{4}^{2}a_{3}-5a_{5}a_{3}^{2}}{5a_{5}}}={\frac {-a_{3}}{10a_{5}}}(10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2})=0$

Nous avons bien démontrer que tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

 

Nous avons alors deux possibilités.

Premier cas : Tous les coefficients de l'équation à résoudre ne sont pas nul.

Alors l'équation à résoudre se met sous la forme :

$(ax+b)^{n}=c~$

Démonstration

Nous présentons la démonstration pour les équations du cinquième degré. Mais cette démonstration est aisément adaptable aux autres degrés.

Soit l'équation à résoudre :

$a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=0~$

Vérifiant ses deux conditions de résolubilités et dont tous les coefficients de l'équation résolvante sont nuls.

Posons :

$a_{3}=t~$

$a_{4}=s~$

Avec s et t non nul puisque tous les coefficients de l'équation à résoudre sont non nuls.

La condition :

$10a_{5}a_{3}-4a_{4}^{2}=0~$

entraine :

$a_{5}={\frac {2a_{4}^{2}}{5a_{3}}}={\frac {2s^{2}}{5t}}~$

La condition :

Échec de l’analyse (Erreur de conversion. Le serveur (« https://wikimedia.org/api/rest_ ») a indiqué : « Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination »): {\displaystyle 2a_{4}a_{2}-4a_{3}^{2}=0~}

entraine :

$a_{2}={\frac {a_{3}^{2}}{2a_{4}}}={\frac {t^{2}}{2s}}~$

La condition :

$8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=0~$

S'écrit en remplaçant ce qui est connue :

$8sa_{1}^{2}-20s{\frac {t^{2}}{2s}}a_{0}+({\frac {t^{2}}{2s}})^{3}-4t{\frac {t^{2}}{2s}}a_{1}+10t^{2}a_{0}=0~$

Qui se simplifie sous la forme :

$8sa_{1}^{2}-2{\frac {t^{3}}{s}}a_{1}+{\frac {t^{6}}{8s^{3}}}=0~$

En multipliant par 8s³, on obtient :

$64s^{4}a_{1}^{2}-16s^{2}t^{3}a_{1}+t^{6}=0~$

Cette expression se factorise sous la forme :

$(8s^{2}a_{1}-t^{3})^{2}=0~$

D'ou l'on déduit :

$a_{1}={\frac {t^{3}}{8s^{2}}}~$

En repportant tous les coefficients que l'on a calculé dans l'équation à résoudre, on obtient :

${\frac {2s^{2}}{5t}}x^{5}+sx^{4}+tx^{3}+{\frac {t^{2}}{2s}}x^{2}+{\frac {t^{3}}{8s^{2}}}x+a_{0}=0~$

En multipliant tous les termes par :

$5.2^{4}.s^{3}t~$

On obtient :

$2^{5}s^{5}x^{5}+5.2^{4}s^{4}tx^{4}+10.2^{3}.s^{3}t^{2}x^{3}+10.2^{2}s^{2}t^{3}x^{2}+5.2st^{4}x+5.2^{4}s^{3}ta_{0}=0~$

Qui peut s'écrire sous la forme :

$(2sx+t)^{5}=t^{5}-5.2^{4}s^{3}ta_{0}~$

C'est ce que l'on devait démontrer.

 

Et l'on en déduit les trois racines :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle x_1 = \frac{1}{a}\left(\sqrt[n]{c} - b \right) ~}

$x_{2}={\frac {1}{a}}\left(j{\sqrt[{n}]{c}}-b\right)~$

$x_{3}={\frac {1}{a}}\left(j^{2}{\sqrt[{n}]{c}}-b\right)~$

Deuxième cas : Certains coefficients de l'équation à résoudre sont nuls.

La méthode ne permet pas, en général, d'aboutir.

L'équation peut même ètre non résoluble par radicaux comme c'est le cas des équations du type :

$ax^{5}+bx+c=0~$

Dont on démontre qu'elles ne sont pas en général résolubles par radicaux pour b différent de 0.

Exemples

Les deux exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif, ou est un nombre complexe quelconque.

Exemple 1

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 6x^{3}-6x^{2}+12x+7=0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^{2}+5X-3=0$

qui a pour racine :

$\qquad {\frac {b}{d}}={\frac {1}{2}}et{\frac {c}{e}}=-3$

On peut choisir :

$\qquad b=1,c=-3,d=2,e=1$

d'où :

$\qquad a=e^{3}a_{2}+3ce^{2}a_{3}=-60$

$\qquad f=d^{3}a_{2}+3bd^{2}a_{3}=24$

En posant :

$\qquad j=e^{\frac {2i\pi }{3}}$

On obtient les trois racines suivantes :

$\qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}$

$\qquad x_{2}={\frac {j{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}$

$\qquad x_{3}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-(-3){\sqrt[{3}]{24}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{-60}}-{\sqrt[{3}]{24}}}}={\frac {j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}-3{\sqrt[{3}]{2}}}{2j^{2}{\sqrt[{3}]{5}}+{\sqrt[{3}]{2}}}}$

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

$\qquad 14x^{5}-36x^{4}+32x^{3}-24x^{2}-2x-3=0$

On a alors :

• $\qquad a_{5}=14$
• $\qquad a_{4}=-36$
• $\qquad a_{3}=32$
• $\qquad a_{2}=-24$
• $\qquad a_{1}=-2$
• $\qquad a_{0}=-3$

Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.

$\qquad 10a_{5}a_{2}^{2}-20a_{5}a_{3}a_{1}+a_{3}^{3}-4a_{4}a_{3}a_{2}+8a_{4}^{2}a_{1}=10*14*24^{2}+20*14*32*2+32^{3}-4*36*32*24-8*36^{2}*2=0$ $\qquad 8a_{4}a_{1}^{2}-20a_{4}a_{2}a_{0}+a_{2}^{3}-4a_{3}a_{2}a_{1}+10a_{3}^{2}a_{0}=-8*36*2^{2}+20*36*24*3-24^{3}-4*32*24*2-10*32^{2}*3=0$

La résolvante de Sotta est :

$\qquad 2X^{2}+3X-2=0$

qui a pour racine :

$\qquad {\frac {b}{d}}={\frac {1}{2}}et{\frac {c}{e}}=-2$

On peut choisir :

$\qquad b=1,c=2,d=2,e=-1$

d'où :

$\qquad a=e^{5}a_{4}+5ce^{4}a_{5}=176$

$\qquad f=d^{5}a_{4}+5bd^{4}a_{5}=-32$

L'une des racines de l'équation sera :

$\qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{176}}-2{\sqrt[{5}]{-32}}}{2{\sqrt[{5}]{176}}-(-1){\sqrt[{5}]{-32}}}}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

On obtient alors les cinq racines suivantes :

$\qquad x_{1}={\frac {{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

$\qquad x_{2}={\frac {e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {2i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

$\qquad x_{3}={\frac {e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {4i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

$\qquad x_{4}={\frac {e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {6i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

$\qquad x_{5}={\frac {e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}+2{\sqrt[{5}]{2}}}{2e^{\frac {8i\pi }{5}}{\sqrt[{5}]{11}}-{\sqrt[{5}]{2}}}}$

Equations dont l'équation résolvante admet une racine double

Soit

$\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

Une équation à résoudre satisfaisant les conditions de résolubilité et dont l'équation résolvante admet une racine double α.

α est alors racine multiple d'ordre n-1 de l'équation à résoudre et la racine simple β manquante est obtenue par la relation :

$\beta =(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}.\alpha ^{n-1}}}$

Plus précisément, l'équation à résoudre peut alors s'écrire :

$(X-\alpha )^{n-1}(a_{n}X-(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{\alpha ^{n-1}}})=0~$

Remarque : Les racines α et β ne sont pas égales sinon tous les coefficients de l'équation résolvante seraient nul.

Autres méthodes de résolution d'équations

• Méthode de Tschirnhaus
• Méthode de Bézout
• Méthode de Cardan
• Méthode de Ferrari
• Méthode de Descartes
• Méthode d'Hermite