Octonion déployé

En mathématiques, les octonions fendus sont une extension non-associative des quaternions (ou des quaternions fendus). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions fendus ont une signature de fente (4,4) où les octonions ont une signature définie positive (8,0).

Définition

La construction de Cayley-Dickson

Les octonions et les octonions fendus peuvent être obtenus par la construction de Cayley-Dickson en définissant une multiplication sur les paires de quaternions. Nous introduisons une nouvelle unité imaginaire ℓ et nous écrivons une paire de quaternions (a, b) sous la forme a + ℓb. Le produit est défini par la règle suivante :

$(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda d{\bar {b}})+\ell ({\bar {a}}d+cb)$

où

$\lambda =\ell ^{2}.$

Si $\lambda \,$ est choisi égal à - 1, nous obtenons les octonions. Si, à la place, il est choisi égal à + 1, nous obtenons les octonions fendus. On peut aussi obtenir les octonions fendus via un doublement de Cayley-Dickson des quaternions fendus. Ici, quel que soit le choix de $\lambda \,$ (±1), cela donnera les octonions fendus. Voir aussi les nombres complexes fendus en général.

La table de multiplication

Une base pour les octonions fendus est donnée par l'ensemble {1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk}. Chaque octonion fendu x peut être écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base,

$x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,$

avec des coefficients réels x_a. Par linéarité, la multiplication des octonions fendus est complètement déterminée par la table de multiplication suivante :

$1\,$	$i\,$	$j\,$	$k\,$	$\ell \,$	$\ell i\,$	$\ell j\,$	$\ell k\,$
$i\,$	$-1\,$	$k\,$	$-j\,$	$-\ell i\,$	$\ell \,$	$-\ell k\,$	$\ell j\,$
$j\,$	$-k\,$	$-1\,$	$i\,$	$-\ell j\,$	$\ell k\,$	$\ell \,$	$-\ell i\,$
$k\,$	$j\,$	$-i\,$	$-1\,$	$-\ell k\,$	$-\ell j\,$	$\ell i\,$	$\ell \,$
$\ell \,$	$\ell i\,$	$\ell j\,$	$\ell k\,$	$1\,$	$i\,$	$j\,$	$k\,$
$\ell i\,$	$-\ell \,$	$-\ell k\,$	$\ell j\,$	$-i\,$	$1\,$	$k\,$	$-j\,$
$\ell j\,$	$\ell k\,$	$-\ell \,$	$-\ell i\,$	$-j\,$	$-k\,$	$1\,$	$i\,$
$\ell k\,$	$-\ell j\,$	$\ell i\,$	$-\ell \,$	$-k\,$	$j\,$	$-i\,$	$1\,$

Le conjugué, la norme et l'inverse

Le conjugué d'un octonion fendu x est donné par

${\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k$

comme pour les octonions. La forme quadratique (ou norme carrée) sur x est donnée par

$N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2})$

Cette norme est la norme pseudo-euclidienne standard sur $\mathbb {R} ^{4,4}\,$. En raison de la signature de fente, la norme N est isotropique, ce qui signifie qu'il existe des éléments x différents de zéro pour lesquels N(x) = 0. Un élément x possède un inverse (à deux faces) $x^{-1}\,$ si et seulement si N(x) ≠ 0. Dans ce cas, l'inverse est donné par

$x^{-1}={\frac {\bar {x}}{N(x)}}\,$.

Propriétés

Les octonions fendus, comme les octonions, ne sont pas commutatifs ni associatifs. Comme les octonions, aussi, ils forment une algèbre de composition puisque la forme quadratique N est multiplicative. C’est-à-dire,

$N(xy)=N(x)N(y)\,$.

Les octonions fendus satisfont les identités de Moufang et ainsi forment une algèbre alternative. Par conséquent, par le théorème d'Artin, la sous-algèbre générée par deux éléments quelconques est associative. L'ensemble de tous les éléments inversibles (i.e. ces éléments pour lesquels N(x) ≠ 0) forment une boucle de Moufang.

Les octonions hyperboliques

Les octonions fendus sont de manière calculatoire, équivalents aux octonions hyperboliques à partir du programme des hypernombres. Le cas ci-dessus de $\lambda =\ell ^{2}=+1\,$ correspond au $\epsilon \,$ arithmétique, qui est désigné par le troisième niveau des hypernombres (sur 10; le premier correspond aux nombres réels, et le deuxième aux nombres imaginaires).

Les octonions fendus en physiques

Les octonions fendus sont utilisés dans la description d'une loi physique, e.g. en théorie des cordes. L'équation de Dirac en physique (l'équation de mouvement d'une particule de spin libre 1/2, comme un électron ou un proton) peut être exprimée avec l'arithmétique des octonions fendus (voir les références ci-dessous).

Algèbre matricielle-vectorielle de Zorn

Puisque les octonions fendus ne sont pas associatifs, ils ne peuvent pas être représentés par les matrices ordinaires (la multiplication matricielle est toujours associative). Zorn a trouvé une manière de les représenter sous la forme de "matrices" contenant à la fois des scalaires et des vecteurs en utilisant une version modifiée de la multiplication matricielle. Plus précisément, définissons qu'une matrice-vecteur est une matrice 2 x 2 de la forme

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}$

où a et b sont des nombres réels et v et w des vecteurs dans $\mathbb {R} ^{3}\,$. Définissons la multiplication de ces matrices par la règle suivante

${\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}$

où . est le produit scalaire et x le produit vectoriel ordinaire de 3 vecteurs. Avec l'addition et la multiplication scalaire définie comme d'habitude dans l'ensemble de toutes les matrices de cette sorte forme une algèbre à huit dimensions non associative unitaire sur les réels, appelée algèbre matricielle-vectorielle de Zorn.

Définissons le "déterminant" d'un matrice vecteur par la règle

$\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$.

Ce déterminant est une forme quadratique de l'algèbre de Zorn qui satisfait la loi de composition :

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$.

L'algèbre matricielle-vectorielle de Zorn est, en fait, isomorphe à l'algèbre des octonions fendus. Ecrivons un octonion x sous la forme

$x=(a+\mathbf {a} )+\ell (b+\mathbf {b} )\,$

où a et b sont des nombres réels, a et b sont des quaternions purs qui sont vus comme des vecteurs dans $\mathbb {R} ^{3}\,$. L'isomorphisme des octonions fendus vers l'algèbre de Zorn est donné par

$x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {a} +\mathbf {b} \\-\mathbf {a} +\mathbf {b} &a-b\end{bmatrix}}\,$.

Cet isomorphisme préserve la norme puisque $N(x)=\det(\phi (x))\,$.

Références

Pour la physique sur l'arithmétique des octonions fendus, voir

• M. Gogberashvili, Octonionic Electrodynamics, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 7099-7104. doi:10.1088/0305-4470/39/22/020
• J. Köplinger, Dirac equation on hyperbolic octonions. Appl. Math. Computation (2006) doi:10.1016/j.amc.2006.04.005