« Algèbre vertex » : différence entre les versions

Une '''algèbre vertex''' est un espace vectoriel ''<math>V''</math> , muni d'un élément unité <math>1</math> , d'un endomorphisme ''<math>T''</math> et d'une application de multiplication

# (Translation) ''<math>T(1) = 0''</math>, et pour tous <math>a, b \in V\,</math>,

#: tel que ''<math>Y(a,z)Y(b,w)c''</math>, ''<math>Y(b,w)Y(a,z)c''</math>, et ''<math>Y(Y(a,z-w)b,w)c''</math> sont les expansions de ''<math>X(a,b,c;z,w)''</math> dans ''<math>V((z))((w))''</math>, ''<math>V((w))((z))''</math>, et ''<math>V((w))((z-w))''</math>, respectivement.

associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un ''opérateur vertex'') à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et ''<math>T''</math> est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.

Remarque : l'axiome de translation entraîne que ''<math>Ta = a''<sub>a_{-2}1</submath>''1'', donc ''<math>T''</math> est uniquement déterminé par ''<math>Y''</math>.

Une algèbre vertex ''<math>V''</math> est '''Z'''<submath>\mathbb{Z}_+</submath>-'''graduée''' si

et si ''<math>a''\in ∈ V<sub>V_{k}</submath> et ''<math>b''\in ∈ V<sub>mV_m</submath> implique ''a''<sub>n</submath>a_nb\in ''b'' ∈ V<sub>V_{k+m-n-1}</submath>.

Une '''algèbre vertex conforme''' est une algèbre vertex '''Z'''<submath>\mathbb{Z}_+</submath>-graduée munie d'un '''élément de Virasoro''' ω ∈ ''V''<submath>2\omega\in V_2</submath>, tel que l'opérateur vertex associé

où ''<math>c''</math> est une constante appelée la ''charge centrale'' ou le ''rang'' de ''<math>V''</math>. En particulier, ceci munit ''<math>V''</math> d'une action de l'algèbre de Virasoro.