« Algèbre vertex » : différence entre les versions
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[[Fichier:Richard Borcherds.jpg|vignette|Richard Borcherds]]
En [[mathématiques]], une '''algèbre vertex''' est une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] qui joue un rôle important en [[théorie conforme des champs]] et dans les domaines proches en [[physique]]. Ces structures ont aussi montré leur utilité en [[mathématiques]] dans des contextes comme l'étude du [[groupe Monstre]] et la [[correspondance de Langlands géométrique]].
Les algèbres vertex ont été introduites par [[Richard Ewen Borcherds|Richard Borcherds]] en [[1986]]<ref>{{Article |langue= |auteur1= |prénom1=Richard E. |nom1=Borcherds |titre=Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=83 |numéro=10 |date=1986-05-01 |issn=0027-8424 |issn2=1091-6490 |pmid=16593694 |pmcid=PMC323452 |doi=10.1073/pnas.83.10.3068 |lire en ligne=https://www.pnas.org/content/83/10/3068 |pages=
Les [[Axiome|axiomes]] des algèbres vertex sont une version algébrique de ce que les physiciens appellent une [[algèbre chirale]], dont la définition rigoureuse a été donnée par [[Alexander
== Définition ==
Une '''algèbre vertex''' est un [[espace vectoriel]] <math>V</math> , muni d'un élément unité <math>1</math> , d'un [[endomorphisme]] <math>T</math> appelé opérateur de translation et d'une application (linéaire) de multiplication
:<math>Y: V \otimes V \to V((z))</math>,
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:<math>(a, b) \mapsto Y(a,z)b = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}=a(z)b</math>,
# (
#:<math>Y(1,z)a = a = az^0\,</math> et <math>Y(a,z)1 \in a + zV[[z]]\,</math> (autrement dit, <math>a_n1=0</math> pour <math>n\geq0</math> et <math>a_{-1}1=a</math>),
# (
#:<math>Y(a,z)Tb - TY(a,z)b = \frac{d}{dz}Y(a,z)b</math>,
# (4 points)
#: tel que <math>Y(a,z)Y(b,w)c</math>, <math>Y(b,w)Y(a,z)c</math>, et <math>Y(Y(a,z-w)b,w)c</math> sont les expansions de <math>X(a,b,c;z,w)</math> dans <math>V((z))((w))</math>, <math>V((w))((z))</math>, et <math>V((w))((z-w))</math>, respectivement.
L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs <math>Y: V \to \mathcal{F}(V)</math> (où <math>\mathcal{F}(V)</math> est l'ensemble des champs sur <math>V</math>, c'est-à-dire l'ensemble des séries <math>a(z)\in(\operatorname{End}V)[[z,z^{-1}]]</math> telles que pour tout vecteur <math>b\in V</math> on a <math>a(z)b\in V((z))</math> ) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un ''opérateur vertex'') à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et <math>T</math> est un [[générateur infinitésimal]] des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.
'''Remarque ''': l'axiome de translation entraîne que <math>Ta = a_{-2}1</math>, donc <math>T</math> est uniquement déterminé par <math>Y</math>.
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=== Algèbres vertex universelles affines ===
Soit <math>(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])</math> une [[algèbre de Lie]] de dimension finie et <math>\kappa</math> une [[forme bilinéaire symétrique]] définie sur <math>\mathfrak{g}</math> supposée invariante (i.e. <math>\forall x,y,z\in \mathfrak{g},~\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])</math> ). On pose <math>\hat{\mathfrak{g}}:=\mathfrak{g}[t,t^{-1}]\oplus\mathbb{C1}</math> l'[[algèbre de Kac-Moody]] affine associée à <math>\mathfrak{g}</math>. Soit l'espace vectoriel
{{Retrait|<math> V^{\kappa}(\mathfrak{g}):=U(\hat{\mathfrak{g}})\otimes_{U(\mathfrak{g}[t]\oplus\mathbb{C1})}\mathbb{C}</math>,}}
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