« Algèbre vertex » : différence entre les versions
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[[Fichier:Richard Borcherds.jpg|vignette|Richard Borcherds]]
En [[mathématiques]], une '''algèbre vertex''' est une [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] qui joue un rôle important en [[théorie conforme des champs]] et dans les domaines proches en [[physique]]. Ces structures ont aussi montré leur utilité en [[mathématiques]] dans des contextes comme l'étude du [[groupe Monstre]] et la [[correspondance de Langlands géométrique]].
Les algèbres vertex ont été introduites par [[Richard Ewen Borcherds|Richard Borcherds]] en [[1986]]<ref>{{Article |langue= |auteur1= |prénom1=Richard E. |nom1=Borcherds |titre=Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences |volume=83 |numéro=10 |date=1986-05-01 |issn=0027-8424 |issn2=1091-6490 |pmid=16593694 |pmcid=PMC323452 |doi=10.1073/pnas.83.10.3068 |lire en ligne=https://www.pnas.org/content/83/10/3068 |pages=
Les [[Axiome|axiomes]] des algèbres vertex sont une version algébrique de ce que les physiciens appellent une [[algèbre chirale]], dont la définition rigoureuse a été donnée par [[Alexander
== Définition ==
Une '''algèbre vertex''' est un [[espace vectoriel]] <math>V</math> , muni d'un élément unité <math>1</math> , d'un [[endomorphisme]] <math>T</math> appelé opérateur de translation et d'une application (linéaire) de multiplication
:<math>Y: V \otimes V \to V((z))</math>
qu'on écrit
:<math>(a, b) \mapsto Y(a,z)b = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n b z^{-n-1}=a(z)b</math>,
# (
#:
# (
#:
# (4 points)
#: tel que <math>Y(a,z)Y(b,w)c</math>, <math>Y(b,w)Y(a,z)c</math>, et <math>Y(Y(a,z-w)b,w)c</math> sont les expansions de <math>X(a,b,c;z,w)</math> dans <math>V((z))((w))</math>, <math>V((w))((z))</math>, et <math>V((w))((z-w))</math>, respectivement.
L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs <math>Y: V \to \mathcal{F}(V)</math> (où <math>\mathcal{F}(V)</math> est l'ensemble des champs sur <math>V</math>, c'est-à-dire l'ensemble des séries <math>a(z)\in(\operatorname{End}V)[[z,z^{-1}]]</math> telles que pour tout vecteur <math>b\in V</math> on a <math>a(z)b\in V((z))</math> ) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un ''opérateur vertex'') à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et <math>T</math> est un [[générateur infinitésimal]] des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.
'''Remarque ''': l'axiome de translation entraîne que <math>Ta = a_{-2}1</math>, donc <math>T</math> est uniquement déterminé par <math>Y</math>. ▼
'''Remarque ''': l'axiome des 4 points peut être remplacé par l'axiome suivant appelé axiome de localité :{{Retrait|Pour tous <math>a,b\in V</math> il existe <math>N\in\mathbb{N}</math> tel que <math>(z-w)^N[a(z),b(w)]=0</math> (où <math>[a(z),b(w)]=(a(z)b(w)-b(w)a(z)</math> ).}}
▲associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un ''opérateur vertex'') à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et <math>T</math> est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.
== Identités de Borcherds ==
▲Remarque : l'axiome de translation entraîne que <math>Ta = a_{-2}1</math>, donc <math>T</math> est uniquement déterminé par <math>Y</math>.
Soient <math>a,b\in V</math>. Le calcul explicite de <math>[a(z),b(w)]=\sum_{m,n\in\mathbb{Z}}[a_m,b_n]z^{-m-1}w^{-n-1}</math> donne les deux égalités suivantes appelées ''identités de Borcherds'' : pour tous <math>m,n\in\mathbb{Z}</math>,
*<math>[a_m,b_n]=\sum_{i\geq0}\binom{m}{i}(a_ib)_{m+n-i}</math>,
*<math>(a_mb)_n=\sum_{j\geq0}(-1)^j\binom{m}{j}(a_{m-j}b_{n+j}-(-1)^mb_{m+n-j}a_j)</math>,
où <math>\binom{m}{i}=\frac{m(m-1)\ldots(m-i+1)}{i(i-1)\ldots1}</math>, pour tout <math>i\geq0</math>.
== Algèbres vertex commutatives ==
Une algèbre vertex <math>V</math> est dite ''commutative'' si pour tout <math>a,b\in V</math>, les opérateurs vertex associés commutent (i.e. <math>[a(z),b(w)]=0</math>). En particulier cela signifie que <math>N=0</math> pour tous vecteurs <math>a,b\in V</math> dans l'axiome de localité. Une condition équivalente est <math>[a_m,b_n]=0</math> pour tous <math>a,b\in V</math> et tous entiers <math>m,n\in\mathbb{Z}</math>.
et si <math>a\in V_{k}</math> et <math>b\in V_m</math> implique <math>a_nb\in V_{k+m-n-1}</math>.▼
Une algèbre vertex commutative admet une structure d'[[b:Algèbre_différentielle|algèbre différentielle]] (i.e. algèbre commutative unitaire munie d'une dérivation). En effet, une algèbre vertex commutative possède une structure d'algèbre commutative unitaire via le produit{{Retrait|<math>a\cdot b=:ab:=a_{-1}b</math>,}}où l'unité est <math>1</math> et l'opérateur de translation <math>T</math> agit comme une dérivation sur <math>V</math> (il vérifie la [[Formule de Leibniz|relation de Leibniz]]) :{{Retrait|<math>T(a\cdot b)=(Ta)\cdot b+a\cdot(Tb)</math>.}}Réciproquement toute algèbre différentielle admet une structure d'algèbre vertex commutative.
* <math>L_0 a = n a\,</math>▼
* <math>Y(L_{-1} a, z) = \frac{d}{dz} Y(a, z) = [Y(a,z),T]\,</math>▼
* <math>[L_m, L_n]a = (m - n)L_{m + n}a + \delta_{m + n, 0} \frac{m^3-m}{12}ca\,</math>▼
== Exemples ==
où <math>c</math> est une constante appelée la ''charge centrale'' ou le ''rang'' de <math>V</math>. En particulier, ceci munit <math>V</math> d'une action de l'algèbre de Virasoro.▼
=== Algèbres vertex universelles affines ===
Soit <math>(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])</math> une [[algèbre de Lie]] de dimension finie et <math>\kappa</math> une [[forme bilinéaire symétrique]] définie sur <math>\mathfrak{g}</math> supposée invariante (i.e. <math>\forall x,y,z\in \mathfrak{g},~\kappa([x,y],z)=\kappa(x,[y,z])</math> ). On pose <math>\hat{\mathfrak{g}}:=\mathfrak{g}[t,t^{-1}]\oplus\mathbb{C1}</math> l'[[algèbre de Kac-Moody]] affine associée à <math>\mathfrak{g}</math>. Soit l'espace vectoriel
{{Retrait|<math> V^{\kappa}(\mathfrak{g}):=U(\hat{\mathfrak{g}})\otimes_{U(\mathfrak{g}[t]\oplus\mathbb{C1})}\mathbb{C}</math>,}}
où <math>U(\hat{\mathfrak{g}})</math> est l'[[Algèbre enveloppante|algèbre universelle enveloppante]] de <math>\hat{\mathfrak{g}}</math> et où <math>\mathbb{C}</math> est une représentation de dimension <math>1</math> de <math>\mathfrak{g}[t]\oplus\mathbb{C1}</math> sur laquelle <math>\mathfrak{g}[t]</math> agit trivialement et <math>\mathbb{1}</math> agit comme l'identité.
Le [[théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt]], nous donne l'isomorphisme d'espaces vectoriels suivant :
{{Retrait|<math> V^{\kappa}(\mathfrak{g})\simeq U(\mathfrak{g}\otimes t^{-1}\mathbb{C}[t^{-1}])</math>.}}
Les éléments de <math>V^{\kappa}(\mathfrak{g})</math> s'identifient aux éléments de <math>U(\mathfrak{g}\otimes t^{-1}\mathbb{C}[t^{-1}])</math>. Pour <math>x\in\mathfrak{g}</math> et <math>n\in\mathbb{Z}</math>, posons <math>x_n:=x\otimes t^n=xt^n</math>. Soit <math>\{x^i; 1\leq i\leq\dim\mathfrak{g}\}</math> une base ordonnée de <math>\mathfrak{g}</math>. Alors une base de <math>V^\kappa(\mathfrak{g})</math> est donnée par : <math>x^{i_1}_{n_1}\ldots x^{i_m}_{n_m}1</math>, où <math>n_1\leq n_2\leq\ldots\leq n_m<0</math> tels que si <math>n_j=n_{j+1}</math> alors <math>i_j\leq i_{j+1}</math>.
L'<nowiki/>''algèbre vertex universelle'' affine associée à <math>(\mathfrak{g},\kappa)</math> est l'algèbre vertex <math>(V^{\kappa}(\mathfrak{g}),1,T,Y)</math> où l'opérateur translation est donné par{{Retrait|<math>T1=0,\quad Tx_n=-nx_{n-1},~\quad x\in\mathfrak{g},\quad n\in\mathbb{Z}</math>, }}et l'opérateur vertex est défini par{{Retrait|<math>Y(1,z)=\operatorname{Id}_{V^\kappa(\mathfrak{g})},\quad Y(x^i_{(-1)}1,z)=x^i(z)=\underset{n\in\Z}{\sum}x^i_{(n)}z^{-n-1}
</math> et <math>Y(x^{i_1}_{(n_1)}\ldots x^{i_m}_{(n_m)}1,z)=\frac{1}{(-n_1-1)!\ldots(-n_m-1)!}:\partial_z^{-n_1-1}x^{i_1}(z)\ldots \partial_z^{-n_m-1}x^{i_m}(z):
</math>}}où <math>:\partial^{-n_1-1}x^{i_1}(z)\ldots\partial^{-n_m-1}x^{i_m}(z):</math> est le [[produit normé ordonné]].
==== Algèbre vertex d'Heisenberg ====
Si <math>(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])</math> est une algèbre de Lie complexe de dimension <math>1</math> (i.e. <math>\mathfrak{g}\simeq\mathbb{C}</math>) et <math>\kappa</math> une forme bilinéaire symétrique invariante non dégénérée alors l'algèbre vertex universelle <math>V^{\kappa}(\mathfrak{g})</math> est appelée ''algèbre vertex d'Heisenberg'' de <math>(\mathfrak{g},\kappa)</math>.
==== Algèbre vertex universelle affine associée à <math>\hat{\mathfrak{g}}</math> de niveau <math>k</math>====
Si <math>(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])</math> est une algèbre de Lie simple et <math>\kappa=\frac{k}{2h^\vee}\kappa_\mathfrak{g}</math> (<math>k\in\mathbb{C}</math>) où <math>\kappa_\mathfrak{g}</math> est la [[forme de Killing]] de <math>\mathfrak{g}</math> et <math>h^\vee</math> le dual du [[nombre de Coxeter]]. L'algèbre vertex universelle <math>V^{\kappa}(\mathfrak{g})</math> est appelée l'algèbre vertex universelle affine associée à <math>\hat{\mathfrak{g}}</math> de niveau <math>k</math>. On la note <math>V^{k}(\mathfrak{g})</math>.
=== Algèbre vertex de Virasoro ===
Soit <math>Vir</math> l'[[algèbre de Virasoro]] et soit <math>c\in\mathbb{C}</math>. On considère l'espace vectoriel <math>Vir_c=U(Vir)\otimes_{U(\mathbb{C}[[t]]\partial_t\otimes\mathbb{C}C)}\mathbb{C}_c</math> où <math>\mathbb{C}_c</math> est une représentation de dimension <math>1</math> sur laquelle <math>C</math> agit par multiplication par <math>c</math> et <math>\mathbb{C}[[t]]\partial_t</math> agit trivialement. On peut définir une structure d'algèbre vertex sur <math>Vir_c</math> dont une base est donnée par les éléments de la forme
<math>L_{j_1}\ldots L_{j_m}1</math> avec <math>j_1\leq\ldots\leq j_m</math>. Cette algèbre vertex est appelée l'''algèbre vertex de Virasoro'' de charge centrale <math>c</math>.
== Algèbre vertex conforme ==
▲Une algèbre vertex <math>V</math> est <math>\mathbb{Z}_+</math>-''graduée'' si <math>V = \bigoplus_{n=0}^\infty V_n\,</math>et si <math>a\in V_{k}</math> et <math>b\in V_m</math> implique <math>a_nb\in V_{k+m-n-1}</math>.
Une algèbre vertex est dite ''conforme'' si elle est <math>\mathbb{Z}_+</math>-graduée et s'il existe un élément <math>\omega\in V_2</math> dit ''conforme'', tel que l'opérateur vertex associé{{Retrait|<math>Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \omega_{n} {z^{-n-1}} = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}</math> vérifie, pour tout <math>a\in V_n</math>, les conditions suivantes :}}
▲*
▲*
▲où <math>c</math> est une constante appelée la ''charge centrale'' ou le ''rang'' de <math>V</math>.
'''Remarque''' : ceci munit <math>V</math> d'une action de l'[[algèbre de Virasoro]] <math>Vir</math>.
'''Exemple''' : l'algèbre vertex de Virasoro <math>Vir_c</math> est conforme de charge centrale <math>c</math>. Un vecteur conforme est donné par <math>\omega=L_{-2}1.</math>
== Références ==
<references />
*{{Ouvrage|langue=
*{{Ouvrage
{{Portail|algèbre}}
[[Catégorie:Algèbre non associative|Vertex]]
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