« Cycle (théorie des graphes) » : différence entre les versions
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Je trouve la définitions un peu trompeuse il me semble important de préciser qu'on ne peut pas repasser par une arête même si c'est évident. |
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{{Voir homonymes|Cycle}}
[[Fichier:Graph cycle.svg|thumb|Dans ce graphe, le cycle rouge est élémentaire. Le cycle bleu ne l'est pas. La chaine verte n'est pas fermée et ne forme donc pas un cycle.]]
Si la chaîne est ''élémentaire'', c'est-à-dire ne passe pas deux fois par un même sommet, alors on parle de '''cycle élémentaire'''. Un cycle élémentaire ne contient pas d'autre cycle. Dans un cycle élémentaire, le degré des sommets est deux.▼
Dans un [[graphe non orienté]], un '''cycle''' est une suite d'arêtes consécutives distinctes ([[Chaîne (graphe)|chaine]] simple)<!-- orthographe réformée, pas de circonflexe --> dont les deux sommets extrémités sont identiques. Dans les [[Graphe orienté|graphes orientés]], la notion équivalente est celle de ''[[Circuit (graphe)|circuit]]'', même si on parle parfois aussi de ''cycle'' (par exemple dans l'expression [[graphe acyclique orienté]]).
Lorsque que le cycle contient un nombre impair d'arêtes on l'appelle naturellement un '''cycle impair'''. Cette notion joue un rôle fondamental.▼
Le terme de ''cycle'' désigne parfois aussi le [[graphe cycle]] <math>C_n</math> constitué d'un cycle élémentaire de longueur ''n''.
Dans les graphes pondérés, le poids d'un cycle est la somme des poids des arêtes qu'il contient. Si ce poids est négatif, on parle de '''cycle absorbant'''. ▼
== Terminologie ==
▲Si la
La '''longueur''' d'un cycle élémentaire est le nombre de ses arêtes (ou de ses sommets). Étant donné un graphe <math>G</math>, la longueur minimale de ses cycles s'appelle la '''[[Maille (théorie des graphes)|maille]]''' de <math>G</math>, tandis que la longueur maximale de ses cycles s'appelle la '''circonférence''' de <math>G</math>.
Si, dans un graphe, deux sommets d'un cycle sont reliés par une arête qui n'appartient pas au cycle, cette arête est appelée '''corde''' du cycle. Un cycle de G est [[Lexique de la théorie des graphes#I|induit]] dans <math>G</math> lorsqu'il n'a pas de cordes. Un graphe est dit '''[[Graphe cordal|cordal]]''' ou '''triangulé''' si chacun de ses cycles de quatre sommets ou plus possède une corde.
▲Lorsque
▲Dans les [[Lexique de la théorie des graphes#P|graphes pondérés]], le '''poids''' d'un cycle est la somme des poids des arêtes qu'il contient. Si ce poids est négatif, on parle de '''cycle absorbant'''.
== Présence de cycles ==
{{Théorème|Un [[graphe (mathématiques discrètes)|graphe simple]] de degré minimal <math>\delta \ge 2</math> possède un cycle de longueur au moins égale à <math>(\delta + 1)</math>.}}
{{Démonstration|1=
[[Fichier:Cycles and minimal degree.svg|right|450px]]
<math>G</math> comporte au moins une chaine, puisque <math>\delta \ge 2</math>. Soit <math>(v_0, v_1, \cdots, v_n)</math> la plus longue de ces chaînes.
Considérons les voisins de <math>v_n</math>. Ils font tous partie de cette chaine, car sinon on pourrait construire une chaine plus longue en concaténant un voisin n'appartenant pas à la chaine.
Soit <math>v_m</math> le voisin dont l'indice <math>_m</math> est minimal (c.à.d. le plus éloigné de <math>v_n</math>). Le long de la chaine, <math>v_m</math> est situé à au moins <math>\deg(v_n)</math> sommets de <math>v_n</math> car le graphe est simple. Comme <math>\deg(v_n) \ge \delta</math>, le sommet <math>v_m</math> est au moins à <math>\delta</math> sommets de <math>v_n</math> via cette chaine.
Le cycle <math>(v_m,v_{m+1}, \cdots, v_n, v_m)</math> est ainsi de longueur au moins égale à <math>\delta + 1</math>.
}}
Un graphe non orienté sans cycles s'appelle une [[Arbre (graphe)|forêt]]. Le théorème précédent a pour conséquence qu'une forêt comporte forcément des sommets de degré zéro (isolés) ou de degré un (feuilles). Cette condition n'est pas suffisante, un graphe de degré minimal zéro ou un peut quand même comporter des cycles.
== Problèmes liés ==
* Le problème du [[graphe hamiltonien|cycle hamiltonien]] consiste à trouver un cycle élémentaire passant par tous les sommets.
* Le problème du [[graphe eulérien|cycle eulérien]] consiste à trouver un cycle passant exactement une fois par chaque arête.
* Le [[problème du postier chinois]] consiste à trouver un plus court cycle passant au moins une fois par chaque arête.
== Voir aussi ==
* [[Graphe acyclique]]
{{portail|mathématiques|informatique théorique}}
[[Catégorie:Concept en théorie des graphes]]
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