« Cycle (théorie des graphes) » : différence entre les versions
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Je trouve la définitions un peu trompeuse il me semble important de préciser qu'on ne peut pas repasser par une arête même si c'est évident. |
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{{Voir homonymes|Cycle}}
[[Fichier:Graph cycle.
Dans un [[graphe non orienté]], un '''cycle''' est une suite d'arêtes consécutives distinctes ([[Chaîne (graphe)|chaine]] simple)<!-- orthographe réformée, pas de circonflexe --> dont les deux sommets extrémités sont identiques. Dans les [[Graphe orienté|graphes orientés]], la notion équivalente est celle de ''[[Circuit (graphe)|circuit]]'', même si on parle parfois aussi de ''cycle'' (par exemple dans l'expression [[graphe acyclique orienté]]).
Le terme de ''cycle'' désigne parfois aussi le [[graphe cycle]] <math>C_n</math> constitué d'un cycle élémentaire de longueur ''n''.
== Terminologie ==
Si la chaine est élémentaire, c'est-à-dire ne passe pas deux fois par un même sommet, alors on parle de '''cycle élémentaire'''. Un cycle élémentaire ne contient pas d'autre cycle. Dans un cycle élémentaire,
La '''longueur''' d'un cycle élémentaire est le nombre de ses
Si, dans un graphe, deux sommets d'un cycle sont reliés par une arête qui n'appartient pas au cycle, cette arête est appelée '''corde''' du cycle. Un cycle de G est [[Lexique de la théorie des graphes#I|induit]] dans <math>G</math> lorsqu'il n'a pas de cordes. Un graphe est dit '''[[Graphe cordal|cordal]]''' ou '''triangulé''' si chacun de ses cycles de quatre sommets ou plus possède une corde.
Ligne 18 :
== Présence de cycles ==
{{Théorème|Un [[graphe (mathématiques discrètes)|graphe simple]] de degré minimal <math>\delta \ge 2</math> possède un cycle de longueur au moins égale à <math>(\delta + 1)</math>.}}
{{Démonstration|1=
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<math>G</math> comporte au moins une chaine, puisque <math>\delta \ge 2</math>. Soit <math>(v_0, v_1, \cdots, v_n)</math> la plus longue de ces chaînes.
Considérons les voisins de <math>v_n</math>. Ils font tous partie de cette chaine, car sinon on pourrait construire une chaine plus longue en concaténant un
Soit <math>v_m</math> le voisin dont l'indice <math>_m</math> est minimal (c.à.d. le plus éloigné de <math>v_n</math>). Le long de la chaine, <math>v_m</math> est situé à au moins <math>\deg(v_n)</math> sommets de <math>v_n</math> car le graphe est simple. Comme <math>\deg(v_n) \ge \delta</math>, le sommet <math>v_m</math> est au moins à <math>\delta</math> sommets de <math>v_n</math> via cette chaine.
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