Diracin yhtälö

Diracin yhtälö on Paul Diracin vuonna 1928 kehittämä relativistinen kvanttimekaaninen aaltoyhtälö, joka kuvaa spin-1/2-hiukkasia. Dirac päätyi yhtälöönsä havaittuaan, että Oskar Kleinin ja Walter Gordonin kehittämä aaltoyhtälö johtaa negatiivisiin todennäköisyyksiin, koska se on ajan suhteen toista kertalukua. Niinpä Dirac haki ratkaisua tekemällä vapaalle hiukkaselle ensimmäistä kertalukua olevan yritteen

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-i\hbar c\alpha _{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}+\beta mc^{2}\right)\Psi$.

Kun vaaditaan, että yhtälön oikean puolen operaattori on hermiittinen ja neliöitynä antaa Kleinin-Gordonin yhtälön, päädytään siihen, että $\alpha _{k}$ ja $\beta$ eivät voi olla lukuja, vaan vähintään 4x4-matriiseja. Tällöin myös aaltofunktiolla $\Psi$ on neljä komponenttia. Niistä kaksi on positiivisen energian tiloja ja kaksi negatiivisen energian tiloja. Negatiivisen energian tilat tulkitaan antihiukkasiksi. Hiukkasen ja antihiukkasen tilat puolestaan ovat spin-1/2-hiukkasen kaksi eri spintilaa ("spin ylös" ja "spin alas"). Näin Diracin yhtälö tuo luonnollisella tavalla teoriaan spinin.

Tavallisesti yhtälö esitetään muodossa, jossa se on kerrottu $\beta$:lla ja määritelty $\beta =\gamma ^{0}$, $\beta \alpha _{k}=\gamma ^{k}$, jolloin yhtälö saa muodon

$(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\Psi =0$.

Gammamatriisit toteuttavat ns. Cliffordin algebrana tunnetut antikommutaatiorelaatiot: $\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }$, missä $g^{\mu \nu }$ on metrinen perustensori $\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)$.

Lähteet

• Niskanen, Jouni: Kvanttimekaniikka II. Helsinki: Limes ry, 2003.