Zornin lemma

Zornin lemma, tunnettu myös nimellä Kuratowskin-Zornin lemma, on joukko-opin perustulos joka kuuluu seuraavasti:

Jokaisella osittain järjestetyllä joukolla, jossa jokaisella ketjulla on yläraja, on vähintään yksi maksimaalinen alkio.

Zornin lemma on nimetty matemaatikko Max Zornin mukaan.

Zornin lemmassa esiintyvät käsitteet määritellään seuraavasti: Olkoon (P,≤) osittain järjestetty joukko. Osajoukko T on täysin järjestetty jos jokaisella s, t ∈ T on voimassa joko s ≤ t tai t ≤ s. Tällaisella joukolla T on yläraja u ∈ P jos t ≤ u kaikilla t ∈ T. Huomaa, että u on P:n alkio, mutta ei välttämättä kuulu T:hen. P:n maksimaalinen alkio on sellainen alkio m∈P, että ainoa alkio x ∈ P, jolle x ≥ m on x = m.

Kuten hyvinjärjestyslause, Zornin lemma on yhtäpitävä valinta-aksiooman kanssa siinä mielessä, että toinen lause seuraa toisesta kunhan joukko-opin Zermelon-Fraenkelin aksioomat oletetaan tunnetuiksi. Zornin lemman avulla voidaan todistaa monia kuuluisia lauseita, kuten esimerkiksi funktionaalianalyysin Hahnin-Banachin lause, jokaisella vektoriavaruuden olevan kanta, Tihonovin lause, jonka mukaan kompaktien avaruuksien tulo on kompakti, jokaisella ykkösellisellä renkaalla olevan maksimaalinen ideaali ja jokaisella kunnalla olevan algebrallinen sulkeuma.

Jos matematiikassa joudutaan tekemään valintoja äärellisestä joukosta, voidaan yleensä tapaus tapaukselta tarkastaa toteuttaako tietty alkio annetut ehdot. Monesti matematiikassa joudutaan kuitenkin valitsemaan alkioita äärettömästä joukosta, vieläpä voidaan joutua valitsemaan useita alkioita samanaikaisesti. Tällöin Zornin lemma on käyttökelpoinen.

Zornin lemmaa käytetään useimmiten siten, että ensin etsitään jotkin struktuurit, jotka toteuttavat todistettavana asiana olevat ehdot. Näille asetetaan paremmuusjärjestys ja Zornin lemmaa käytetään sen osoittamiseen, että tässä paremmuusjärjestyksessä on olemassa paras vaihtoehto.